高等數學：7-2 偏導數

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1、定定義義 設設函函數數),(yxfz 在在點點),(00yx的的某某一一鄰鄰域域內內有有定定義義，當當y固固定定在在0y而而x在在0 x處處有有增增量量x 時時，相相應應地地函函數數有有增增量量 ),(),(0000yxfyxxf ，如如果果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存存在在，則則稱稱此此極極限限為為函函數數),(yxfz 在在點點),(00yx處處對對x的的偏偏導導數數，記記為為一、偏導數的定義及其計算法一、偏導數的定義及其計算法同同理理可可定定義義函函數數),(yxfz 在在點點),(00yx處處對對y的的偏偏導導數數， 為為yyxfyyxfy ),(),(lim00

2、000 記記為為00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy. .00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.如如果果函函數數),(yxfz 在在區(qū)區(qū)域域D內內任任一一點點),(yx處處對對x的的偏偏導導數數都都存存在在，那那么么這這個個偏偏導導數數就就是是x、y的的函函數數，它它就就稱稱為為函函數數),(yxfz 對對自自變變量量x的的偏偏導導數數， 記記作作xz ，xf ，xz或或),(yxfx.同理可以定義函數同理可以定義函數),(yxfz 對自變量對自變量y的偏導的偏導數，記作數，記作yz ，yf ，yz或或),

3、(yxfy.偏導數的概念可以推廣到二元以上函數偏導數的概念可以推廣到二元以上函數如如 在在 處處 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 例例1 1 求求 223yxyxz 在在點點)2 , 1(處處的的偏偏導導數數解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 偏導數偏導數xu 是一個整體記號，不能拆分是一個整體記號，不能拆分;有關偏導數的幾點說明：有關偏導數的幾點說明：、

4、求分界點、不連續(xù)點處的偏導數要用求分界點、不連續(xù)點處的偏導數要用定義求；定義求；.),()0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(22的偏導數的偏導數求求設設yxfyxyxyxxyyxf 例例 5 5解解,)0 , 0(),(時時當當 yx22222)(2)(),(yxxyxyxyyxfx ,)()(22222yxxyy 22222)(2)(),(yxxyyyxxyxfy ,)()(22222yxyxx ,)0 , 0(),(時時當當 yx按定義可知：按定義可知：xfxffxx )0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0, 00lim0 xxyfyffyy )0 , 0(), 0(l

5、im)0 , 0(0, 00lim0 yy,)0 , 0(),(0)0 , 0(),()()(),(22222 yxyxyxxyyyxfx.)0 , 0(),(0)0 , 0(),()()(),(22222 yxyxyxyxxyxfy、偏導數存在與連續(xù)的關系、偏導數存在與連續(xù)的關系例如例如,函數函數 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定義知在依定義知在)0 , 0(處，處，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函數在該點處并不連續(xù)但函數在該點處并不連續(xù). 偏導數存在偏導數存在 連續(xù)連續(xù).一元函數中在某點可導一元函數中在某點可導 連續(xù)，連續(xù)，多元函數中在某點偏導數存在

6、多元函數中在某點偏導數存在 連續(xù)，連續(xù)，xz y0 ),( yxfz Mxz xyxfyxxfx ),(),(lim00000 Mxz 由一元函數導數的幾何意義：由一元函數導數的幾何意義：z= f (x,y) 0),(yyyxfzL：L得得曲曲線線= tan .y =y0)( y,x? Myz同理，同理，.MTx固定固定 y =y0偏導數的幾何意義M ),( yxfz Myz yy,xfyy,xfy )()(lim z= f (x,y)L)( y,xx =x0固定固定 x =x0Tx.xz y0偏導數的幾何意義M ),( yxfz Myz yy,xfyy,xfy )()(lim Myz 由一元

7、函數導數的幾何意義：由一元函數導數的幾何意義：z= f (x,y) xxy,xfz)(L得得曲曲線線= tan .)( y,xx =x0固定固定 x =x0Tx Ty.xz y0偏導數的幾何意義 偏導數偏導數),(00yxfx就是曲面被平面就是曲面被平面0yy 所截得的曲線在點所截得的曲線在點0M處的切線處的切線xTM0對對x軸的軸的斜率斜率. 偏導數偏導數),(00yxfy就是曲面被平面就是曲面被平面0 xx 所截得的曲線在點所截得的曲線在點0M處的切線處的切線yTM0對對y軸的軸的斜率斜率.幾何意義幾何意義: :),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxf

8、yxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函數數),(yxfz 的的二二階階偏偏導導數數為為純偏導純偏導混合偏導混合偏導定義：二階及二階以上的偏導數統稱為高階偏導數定義：二階及二階以上的偏導數統稱為高階偏導數. .二、高階偏導數二、高階偏導數例例 6 設設13323 xyxyyxz， 求求22xz 、xyz 2、yxz 2、22yz 及33xz . 解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx原函數圖形原函數圖形偏導函數圖形偏導函數圖形

9、偏導函數圖形偏導函數圖形二階混合偏二階混合偏導函數圖形導函數圖形觀察上例中原函數、偏導函數與二階混合偏導觀察上例中原函數、偏導函數與二階混合偏導函數圖象間的關系：函數圖象間的關系：例例 7 7 設設byeuaxcos ，求二階偏導數，求二階偏導數. 解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 問題：問題：混合偏導數都相等嗎？混合偏導數都相等嗎？.),()0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(223的二階混合偏導數的二階混合偏導數求求設設yxfyxy

10、xyxyxyxf 例例 8 8解解,)0 , 0(),(時時當當 yx2223222)(2)(3),(yxyxxyxyxyxfx ,)(232224222yxyxyxyx ,)(2),(22223223yxyxyxxyxfy ,)0 , 0(),(時時當當 yx按定義可知：按定義可知：xfxffxx )0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0, 00lim0 xxyfyffyy )0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0, 00lim0 yyyfyffxxyxy )0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0, 0 xfxffyyxyx )0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0.

11、 1 ).0 , 0()0 , 0(yxxyff 顯然顯然定理定理 如果函數如果函數),(yxfz 的兩個二階混合偏導數的兩個二階混合偏導數xyz 2及及yxz 2在區(qū)域在區(qū)域 D D 內連續(xù)，那末在該區(qū)域內這內連續(xù)，那末在該區(qū)域內這兩個二階混合偏導數必相等兩個二階混合偏導數必相等例例 9 9 驗證函數驗證函數22ln),(yxyxu 滿足拉普拉滿足拉普拉斯方程斯方程 . 02222 yuxu問題：問題：具備怎樣的條件才能使混合偏導數相等？具備怎樣的條件才能使混合偏導數相等？解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yx

12、xyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 2222yuxu. 0 2222222222)()(yxyxyxxy 證畢證畢偏導數的定義偏導數的定義偏導數的計算、偏導數的幾何意義偏導數的計算、偏導數的幾何意義高階偏導數高階偏導數（偏增量比的極限）（偏增量比的極限） 純偏導純偏導混合偏導混合偏導（相等的條件）（相等的條件）三、小結三、小結若函數若函數),(yxf在 點在 點),(000yxP連連續(xù)，能否斷定續(xù)，能否斷定),(yxf在點在點),(000yxP的偏導數必定存在？的偏導數必定存在？思考題思考題思考題解答思考題解答不能不能.,),(22yxyxf 在在)0 , 0(處處連連續(xù)續(xù),但但 )0 , 0()0 , 0(yxff 不存在不存在.例如例如,作作 業(yè)業(yè)習題習題7-21（1）（）（4）（）（6）；）；3, 4, 6, 8