高等數(shù)學(xué)：7-2 向量及其運(yùn)算

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1、7.2一、一、向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算 二、二、向量的坐標(biāo)表示向量的坐標(biāo)表示 三、三、向量的數(shù)量積與向量積向量的數(shù)量積與向量積 向量及其運(yùn)算 第七七章 表示法表示法:向量的模向量的模 : 向量的大小向量的大小,12,M M記記作作一、向量及其線性運(yùn)算一、向量及其線性運(yùn)算 OM 0向量向量:(又稱又稱矢量矢量). 1M2M既有既有大小大小, 又有又有方向方向的量稱為的量稱為向量向量自由向量自由向量: 與起點(diǎn)無關(guān)的向量與起點(diǎn)無關(guān)的向量.單位向量單位向量: 模為模為 1 的向量的向量,零向量零向量: 模為模為 0 的向量的向量,記作記作有向線段有向線段 M1 M2 ,或或 a ,a或或.a或

2、或記作記作 e 或或e .或或 a .1向量的概念向量的概念向徑向徑:以原點(diǎn)以原點(diǎn)O為起點(diǎn)為起點(diǎn) 的向量的向量叫做向徑叫做向徑.或或0.OM常用粗體常用粗體r表示，即表示，即 .r OMa規(guī)定規(guī)定: 零向量與任何向量平行零向量與任何向量平行 ;若向量若向量 a 與與 b大小相等大小相等, 方向相同方向相同, 則稱則稱 a 與與 b 相等相等,記作記作 ab ;若向量若向量 a 與與 b 方向相同或相反方向相同或相反,則稱則稱 a 與與 b 平行平行, ab ;與與 a 的模相同的模相同, 但方向相反的向量稱為但方向相反的向量稱為 a 的的負(fù)向量負(fù)向量,記作記作因平行向量可平移到同一直線上因平行

3、向量可平移到同一直線上, 故兩向量平行又稱故兩向量平行又稱 兩向量兩向量共線共線 .若若 k (3)個(gè)向量經(jīng)平移可移到同一平面上個(gè)向量經(jīng)平移可移到同一平面上 , 則稱此則稱此 k 個(gè)向量個(gè)向量共面共面 .記作記作a ;2向量的線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算1. 向量的加法向量的加法三角形法則三角形法則:平行四邊形法則平行四邊形法則:運(yùn)算規(guī)律運(yùn)算規(guī)律 : 交換律交換律結(jié)合律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個(gè)向量相加三角形法則可推廣到多個(gè)向量相加 .babbacba )()(cbacbaacba cb)(cbacba )(aaba ba cbabbs3a4a5a2a1a54321aaaaas2. 向量的減法向量

4、的減法ab)( ab有時(shí)特別當(dāng),ab aa )( aaabababa0可見可見aa 1;1aa3. 向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法 是一個(gè)數(shù)是一個(gè)數(shù) ,規(guī)定規(guī)定 :0 時(shí)時(shí)，0, 時(shí)時(shí)0, 時(shí)時(shí)它的模為它的模為運(yùn)算律運(yùn)算律 : 結(jié)合律結(jié)合律分配律分配律因此因此aa 與與同同向向； 與與 a 的乘積是一個(gè)新向量的乘積是一個(gè)新向量, 記作記作.a;aa 與與反反向向.0aaa)(aa)(aa)( a()a ba)(ba 0,a 若若aae 則則有有與與 同同方方向向的的單單位位向向量量.1aaaeaa 它的方向?yàn)樗姆较驗(yàn)槔?. 設(shè)設(shè) M 為為MBACD解解:ABCD 對(duì)角線的交點(diǎn)對(duì)角線的交點(diǎn),b

5、a,aAB ,bDAACMC2MA2BDMD2MB2.,MDMCMBMAba表示與試用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMD1向量在數(shù)軸上的投影向量在數(shù)軸上的投影二、向量的坐標(biāo)表示二、向量的坐標(biāo)表示 有向線段的值的概念有向線段的值的概念: 設(shè)有一數(shù)軸設(shè)有一數(shù)軸x， AB是軸是軸x上的有向線段上的有向線段 如果數(shù)如果數(shù)滿足滿足 , AB且當(dāng)且當(dāng) AB與與x軸同向時(shí)軸同向時(shí)是正的，是正的， 當(dāng)當(dāng) AB反向時(shí)反向時(shí)是負(fù)的，是負(fù)的， 與與x軸軸那么數(shù)那么數(shù)叫做軸叫做軸x上上有向線段的有向線段的 AB的值的值， 記作記作 AB,即即= AB。(1) 兩向量的夾角兩向量的

6、夾角設(shè)設(shè)a, b是兩個(gè)非零向量，是兩個(gè)非零向量， 在空間任取一點(diǎn)在空間任取一點(diǎn)O， 作作 ,ab OAOB規(guī)定不超過規(guī)定不超過的的 AOB叫做叫做向量向量a與與b 的夾角的夾角. 記作記作 ( , ),( , ).AOBAOBa bb a或OABab(2) 點(diǎn)點(diǎn)A在在x軸上的投影軸上的投影 過過A點(diǎn)作與點(diǎn)作與x軸垂直的平面，軸垂直的平面， 交交x軸與軸與A點(diǎn)點(diǎn), 則點(diǎn)則點(diǎn)A叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)A在在x軸上的投影軸上的投影.AAx( , )a b(3). (3). 向量在軸上的投影向量在軸上的投影設(shè)向量設(shè)向量 AB 的兩個(gè)端點(diǎn)的兩個(gè)端點(diǎn)A，B在在x軸上的投影分別為軸上的投影分別為 與與xA B ABA

7、.B 則有向線段則有向線段 A B 的值的值 A B 叫做向量叫做向量 AB x軸上的軸上的投影投影， 在在記作記作 . xABA BPrj. xABA B或或 它是一個(gè)數(shù)值，它是一個(gè)數(shù)值， 可以取正，可以取正，可以取負(fù)，可以取負(fù)，也可以取零也可以取零 uOM ()uuuababOua則則 a 在軸在軸 u 上的上的投影為投影為 設(shè)設(shè) a 與與 u 軸正向的夾角為軸正向的夾角為 ,M即即 cos)(aaucosa投影的性質(zhì)投影的性質(zhì)MM定理定理1 Prjuaa設(shè)立方體的一條對(duì)角線為設(shè)立方體的一條對(duì)角線為OM, 一條棱為一條棱為 OA, 且且 ,OAa 求求OA 在在 OM 方向上的投影方向上的

8、投影. 解解: 如圖所示如圖所示, 記記 MOA = , cos AOMOAOM13 3a acosPrjOAOAOM222aaaa 例例2.2 向量的坐標(biāo)表示向量的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系下在空間直角坐標(biāo)系下,設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) M , ),(zyxM則則沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量分向量,),(zyxxOyzMNBCA,軸上的單位向量分別表示以zyxkji的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為此式稱為向量此式稱為向量 r 的的坐標(biāo)分解式坐標(biāo)分解式 ,任意向量任意向量 r 可用向徑可用向徑 OM 表示表示.NMONOMOCOBOA記記 , ixOA, jyOB rkzjyix稱為向量,kzOC kzjyixr

9、ikjr.,的坐標(biāo)稱為向量 rzyx設(shè)設(shè) 1111( ,)M x y z和和 2222(,)Mxyz是空間直角坐標(biāo)系中是空間直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn)，的任意兩點(diǎn)，12,M Ma如圖下圖所示如圖下圖所示 因?yàn)橐驗(yàn)镸2M1Oyxzr2r1122121,M MOMOMrr 1111,xyzrijk2222,xyzrijk所以所以12222111()()M Mxyzxyzaijkijk212121()()()xx iyyjzz kxyzaaaijk其中其中 212121, xyzaxxayyazz上式稱為上式稱為向量向量 12aM M 按基本單位向量的分解式按基本單位向量的分解式. (,).xyza a

10、a則則),(zzyyxxbababa),(zyxaaa，為實(shí)數(shù)設(shè)設(shè)),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb baa在在AB所在直線上求一點(diǎn)所在直線上求一點(diǎn) M , 使使解解: 設(shè)設(shè) M 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為, ),(zyx如圖所示如圖所示ABMAB, ),(111zyxA),(222zyxB及實(shí)數(shù), 1得得.MBAMAMMBAM111(,)xx yy zzMB222(,)xx yy zz12xxxxM111(,)xx yy zz例例3. 已知兩點(diǎn)已知兩點(diǎn)222(,)xx yy zz222(,)xxyyzz即即121xxx121yyy121zzz得得定比分點(diǎn)公式定比分點(diǎn)公式:,121xx,12

11、1yy121zz1, 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)點(diǎn)點(diǎn) M 為為 AB 的中點(diǎn)的中點(diǎn) ,于是得于是得x,221xx y,221yy z221zz xyz中點(diǎn)公式中點(diǎn)公式:ABMoABM.MBAM3. 向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示對(duì)于非零向量對(duì)于非零向量 12,M Ma, 我們用我們用a與三條坐標(biāo)軸的夾角與三條坐標(biāo)軸的夾角來表示它的方向來表示它的方向. xyzOM2M1M稱稱,為非零向量為非零向量a 的方向角的方向角 xayaza12coscos ;xaM Ma12coscos;yaM Ma12coscos .zaM Ma我們把我們把 cos,cos,cos叫做向量叫做向量a的的方向余弦

12、方向余弦顯然顯然 222.xyzaaaa由此得由此得 xyzOM2M1Mxayaza222coscoscos222222xyzxyzaaaaaa1.1aeaa1(,)xyza aaa1(cos ,cos,cos )aaaa(cos ,cos,cos ).cosxaa222;xxyzaaaa222cos;yyxyzaaaaaa222cos.zzxyzaaaaaaea是與是與a同方向的單位向量。同方向的單位向量。)2,2,2(1M和和, )0,3, 1(2M的模的模 、在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影、方向余弦和方、在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影、方向余弦和方解解:,21,23)20計(jì)算向量計(jì)算向量( 1, 1,2 )

13、 222( 1)1(2) 2 1cos,2 1cos,2 2cos2 2,3 ,3 3421MM(21MM21MM即在三坐標(biāo)軸投影分別為：即在三坐標(biāo)軸投影分別為：1,1,2.xyzaaa 例例4. 已知兩點(diǎn)已知兩點(diǎn)向角向角.解解: 已知已知角依次為角依次為,43求點(diǎn)求點(diǎn) A 的坐標(biāo)的坐標(biāo) . ,34則則222cos1coscos14 因點(diǎn)因點(diǎn) A 在第一卦限在第一卦限 ,故故1,2cos 于是于是1cos63,2xaOA 故點(diǎn)故點(diǎn) A 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 (3,3 2,3).向徑向徑 OA 與與 x 軸軸 y 軸的夾軸的夾 ,6AO且22cos632,yaOA 例例5. 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) A 位于第一卦

14、限位于第一卦限,12cos63.zaOA xOyzANyazaxa1兩向量的數(shù)量積兩向量的數(shù)量積2兩向量的向量積兩向量的向量積 三、數(shù)量積 向量積 第七七章 1M一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積沿與力夾角為沿與力夾角為 的直線移動(dòng)的直線移動(dòng),W1. 定義定義設(shè)向量設(shè)向量的夾角為的夾角為 ,稱稱 記作記作數(shù)量積數(shù)量積 (點(diǎn)積點(diǎn)積) .引例引例. 設(shè)一物體在常力設(shè)一物體在常力 F 作用下作用下, F位移為位移為 s , 則力則力F 所做的功為所做的功為cossFsFW2Mbacosba的與為baba,s記作記作故故abj rPb2. 性質(zhì)性質(zhì)為兩個(gè)非零向量為兩個(gè)非零向量, 則有則有baj rP

15、cosbcosa ba b baaj rPbaaa) 1 (2aba,)2(0baba ba0ba則2),(ba0,0ba0,a 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)上的投影為在 ab,0,時(shí)當(dāng)同理bbacosba3. 運(yùn)算律運(yùn)算律(1) 交換律交換律(2) 結(jié)合律結(jié)合律),(為實(shí)數(shù)abbaba)()( ba)(ba)()(ba( ) ( )ab)(ba(3) 分配律分配律cbcacba例例1. 證明三角形余弦定理證明三角形余弦定理2222coscabab 證證: 如圖如圖 . 則則2222coscabab ,aBC,bACcBAABCabcbac2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,設(shè)設(shè)c

16、 c4. 數(shù)量積的坐標(biāo)表示數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)設(shè)則, 10zzyyxxbababa,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxii jjkk jikjik baxxa byyzza ba b當(dāng)當(dāng)為非零向量時(shí)為非零向量時(shí),cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于由于 bacosbaba baba,兩向量的夾角公式兩向量的夾角公式 , 得得)(MB () ,M A BM(1,1,1),(2,2,1),(2,1,2),MAB AMB . A解解:,21,211 1, 1,0 1則則AMBcos1002212 3AMB求求M

17、BMAMA MB故故( , , ).1 1 0 例例2. 已知三點(diǎn)已知三點(diǎn)2兩向量的向量積兩向量的向量積引例引例. 設(shè)設(shè)O 為杠桿為杠桿L 的支點(diǎn)的支點(diǎn) , 有一個(gè)與杠桿夾角為有一個(gè)與杠桿夾角為OQOLPQ符合右手規(guī)則符合右手規(guī)則OQFFsinOPsinOPMFOPOPM M矩是一個(gè)向量矩是一個(gè)向量 M :的力的力 F 作用在杠桿的作用在杠桿的 P點(diǎn)上點(diǎn)上 ,則力則力 F 作用在杠桿上的力作用在杠桿上的力FoPFMFM 向量向量方向方向 :(叉積叉積)記作記作且符合且符合a到到b右手規(guī)則右手規(guī)則模模 :向量積向量積 ,，的夾角為設(shè)ba,c,acbccsinabbac稱稱c的與為向量babacb

18、a引例中的力矩引例中的力矩FOPM思考思考: 右圖三角形面積右圖三角形面積ab12sina b S定義新的向量定義新的向量c12ab1. 定義定義2. 性質(zhì)性質(zhì)為非零向量為非零向量, 則則，0sin0或即aa) 1 (0ba,)2(0baba,0,0時(shí)當(dāng)baba0basinab03. 運(yùn)算律運(yùn)算律(2) 分配律分配律(3) 結(jié)合律結(jié)合律證證明明略略abcba )(cbca() ()ab () ()ab()()abba) 1 (證明證明:sina ba b )(kajaiazyx)(kbjbibzyx4. 向量積的坐標(biāo)表示式向量積的坐標(biāo)表示式設(shè)設(shè)則則,kajaiaazyx,kbjbibbzyxb

19、a)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk若非零若非零a與與b平行，則平行，則 sin00,a ba b,0a bsin0,a ba b或或從而所以所以()()(),yzzyzxxzxyyxa ba ba ba ba ba babijk00,0,0, yzzyzxxzxyyxa ba ba ba ba ba b由上式推得向量由上式推得向量 ,xyzaaaaijkxyzbbbbijk平行的充要條件是平行的充要條件是yzxx

20、yzaaabbb 向量積的行列式計(jì)算法向量積的行列式計(jì)算法kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaabaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyxyzyzaaibb xzxzaajbb xyxyaakbb (2,2,2)AB , )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形角形 ABC 的面積的面積 . 解解: 如圖所示如圖所示,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三求三(1,2,4)AC 例例4.

21、已知三點(diǎn)已知三點(diǎn)例例5 已知已知 ,aijk ,bj求與求與a 和和b都垂直的單位都垂直的單位 向量向量 解解 設(shè)設(shè) ,ca b則則 ijkc 111111100001ijkik ( 1,0,1). 111010所以所以 22( 1)12,c 從而與從而與a 和和b都垂直的單位向量都垂直的單位向量為為 1eccc1( 1,0,1)211(,0,),2211(,0,).22ec或或 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)設(shè)設(shè)1. 向量運(yùn)算向量運(yùn)算加減加減:數(shù)乘數(shù)乘:點(diǎn)積點(diǎn)積:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉積叉積:kjixayazaxbybzbba思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè)設(shè)計(jì)算計(jì)算并求并求夾角夾角 的正弦與余弦的正弦與余弦 .)3, 1, 1 (,321cos1211sin答案答案:2. 用向量方法證明正弦定理用向量方法證明正弦定理:CcBbAasinsinsinba,1baba,2jibkjia,baba及BabcAC證證: 由三角形面積公式由三角形面積公式AcbsinBacsinBbAasinsin所以所以CcsinCbasin因因ABACSABC21BCBA21CACB21ABACBCBACACBBabcAC作業(yè)