高等數(shù)學(xué)：7-2 向量及其運算

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1、7.2一、一、向量及其線性運算向量及其線性運算 二、二、向量的坐標表示向量的坐標表示 三、三、向量的數(shù)量積與向量積向量的數(shù)量積與向量積 向量及其運算 第七七章 表示法表示法:向量的模向量的模 : 向量的大小向量的大小,12,M M記記作作一、向量及其線性運算一、向量及其線性運算 OM 0向量向量:(又稱又稱矢量矢量). 1M2M既有既有大小大小, 又有又有方向方向的量稱為的量稱為向量向量自由向量自由向量: 與起點無關(guān)的向量與起點無關(guān)的向量.單位向量單位向量: 模為模為 1 的向量的向量,零向量零向量: 模為模為 0 的向量的向量,記作記作有向線段有向線段 M1 M2 ,或或 a ,a或或.a或

2、或記作記作 e 或或e .或或 a .1向量的概念向量的概念向徑向徑:以原點以原點O為起點為起點 的向量的向量叫做向徑叫做向徑.或或0.OM常用粗體常用粗體r表示，即表示，即 .r OMa規(guī)定規(guī)定: 零向量與任何向量平行零向量與任何向量平行 ;若向量若向量 a 與與 b大小相等大小相等, 方向相同方向相同, 則稱則稱 a 與與 b 相等相等,記作記作 ab ;若向量若向量 a 與與 b 方向相同或相反方向相同或相反,則稱則稱 a 與與 b 平行平行, ab ;與與 a 的模相同的模相同, 但方向相反的向量稱為但方向相反的向量稱為 a 的的負向量負向量,記作記作因平行向量可平移到同一直線上因平行

3、向量可平移到同一直線上, 故兩向量平行又稱故兩向量平行又稱 兩向量兩向量共線共線 .若若 k (3)個向量經(jīng)平移可移到同一平面上個向量經(jīng)平移可移到同一平面上 , 則稱此則稱此 k 個向量個向量共面共面 .記作記作a ;2向量的線性運算向量的線性運算1. 向量的加法向量的加法三角形法則三角形法則:平行四邊形法則平行四邊形法則:運算規(guī)律運算規(guī)律 : 交換律交換律結(jié)合律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個向量相加三角形法則可推廣到多個向量相加 .babbacba )()(cbacbaacba cb)(cbacba )(aaba ba cbabbs3a4a5a2a1a54321aaaaas2. 向量的減法向量

4、的減法ab)( ab有時特別當(dāng),ab aa )( aaabababa0可見可見aa 1;1aa3. 向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法 是一個數(shù)是一個數(shù) ,規(guī)定規(guī)定 :0 時時，0, 時時0, 時時它的模為它的模為運算律運算律 : 結(jié)合律結(jié)合律分配律分配律因此因此aa 與與同同向向； 與與 a 的乘積是一個新向量的乘積是一個新向量, 記作記作.a;aa 與與反反向向.0aaa)(aa)(aa)( a()a ba)(ba 0,a 若若aae 則則有有與與 同同方方向向的的單單位位向向量量.1aaaeaa 它的方向為它的方向為例例1. 設(shè)設(shè) M 為為MBACD解解:ABCD 對角線的交點對角線的交點,b

5、a,aAB ,bDAACMC2MA2BDMD2MB2.,MDMCMBMAba表示與試用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMD1向量在數(shù)軸上的投影向量在數(shù)軸上的投影二、向量的坐標表示二、向量的坐標表示 有向線段的值的概念有向線段的值的概念: 設(shè)有一數(shù)軸設(shè)有一數(shù)軸x， AB是軸是軸x上的有向線段上的有向線段 如果數(shù)如果數(shù)滿足滿足 , AB且當(dāng)且當(dāng) AB與與x軸同向時軸同向時是正的，是正的， 當(dāng)當(dāng) AB反向時反向時是負的，是負的， 與與x軸軸那么數(shù)那么數(shù)叫做軸叫做軸x上上有向線段的有向線段的 AB的值的值， 記作記作 AB,即即= AB。(1) 兩向量的夾角兩向量的

6、夾角設(shè)設(shè)a, b是兩個非零向量，是兩個非零向量， 在空間任取一點在空間任取一點O， 作作 ,ab OAOB規(guī)定不超過規(guī)定不超過的的 AOB叫做叫做向量向量a與與b 的夾角的夾角. 記作記作 ( , ),( , ).AOBAOBa bb a或OABab(2) 點點A在在x軸上的投影軸上的投影 過過A點作與點作與x軸垂直的平面，軸垂直的平面， 交交x軸與軸與A點點, 則點則點A叫做點叫做點A在在x軸上的投影軸上的投影.AAx( , )a b(3). (3). 向量在軸上的投影向量在軸上的投影設(shè)向量設(shè)向量 AB 的兩個端點的兩個端點A，B在在x軸上的投影分別為軸上的投影分別為 與與xA B ABA

7、.B 則有向線段則有向線段 A B 的值的值 A B 叫做向量叫做向量 AB x軸上的軸上的投影投影， 在在記作記作 . xABA BPrj. xABA B或或 它是一個數(shù)值，它是一個數(shù)值， 可以取正，可以取正，可以取負，可以取負，也可以取零也可以取零 uOM ()uuuababOua則則 a 在軸在軸 u 上的上的投影為投影為 設(shè)設(shè) a 與與 u 軸正向的夾角為軸正向的夾角為 ,M即即 cos)(aaucosa投影的性質(zhì)投影的性質(zhì)MM定理定理1 Prjuaa設(shè)立方體的一條對角線為設(shè)立方體的一條對角線為OM, 一條棱為一條棱為 OA, 且且 ,OAa 求求OA 在在 OM 方向上的投影方向上的

8、投影. 解解: 如圖所示如圖所示, 記記 MOA = , cos AOMOAOM13 3a acosPrjOAOAOM222aaaa 例例2.2 向量的坐標表示向量的坐標表示在空間直角坐標系下在空間直角坐標系下,設(shè)點設(shè)點 M , ),(zyxM則則沿三個坐標軸方向的沿三個坐標軸方向的分向量分向量,),(zyxxOyzMNBCA,軸上的單位向量分別表示以zyxkji的坐標為的坐標為此式稱為向量此式稱為向量 r 的的坐標分解式坐標分解式 ,任意向量任意向量 r 可用向徑可用向徑 OM 表示表示.NMONOMOCOBOA記記 , ixOA, jyOB rkzjyix稱為向量,kzOC kzjyixr

9、ikjr.,的坐標稱為向量 rzyx設(shè)設(shè) 1111( ,)M x y z和和 2222(,)Mxyz是空間直角坐標系中是空間直角坐標系中的任意兩點，的任意兩點，12,M Ma如圖下圖所示如圖下圖所示 因為因為M2M1Oyxzr2r1122121,M MOMOMrr 1111,xyzrijk2222,xyzrijk所以所以12222111()()M Mxyzxyzaijkijk212121()()()xx iyyjzz kxyzaaaijk其中其中 212121, xyzaxxayyazz上式稱為上式稱為向量向量 12aM M 按基本單位向量的分解式按基本單位向量的分解式. (,).xyza a

10、a則則),(zzyyxxbababa),(zyxaaa，為實數(shù)設(shè)設(shè)),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb baa在在AB所在直線上求一點所在直線上求一點 M , 使使解解: 設(shè)設(shè) M 的坐標為的坐標為, ),(zyx如圖所示如圖所示ABMAB, ),(111zyxA),(222zyxB及實數(shù), 1得得.MBAMAMMBAM111(,)xx yy zzMB222(,)xx yy zz12xxxxM111(,)xx yy zz例例3. 已知兩點已知兩點222(,)xx yy zz222(,)xxyyzz即即121xxx121yyy121zzz得得定比分點公式定比分點公式:,121xx,12

11、1yy121zz1, 當(dāng)當(dāng)時時點點 M 為為 AB 的中點的中點 ,于是得于是得x,221xx y,221yy z221zz xyz中點公式中點公式:ABMoABM.MBAM3. 向量的模與方向余弦的坐標表示向量的模與方向余弦的坐標表示對于非零向量對于非零向量 12,M Ma, 我們用我們用a與三條坐標軸的夾角與三條坐標軸的夾角來表示它的方向來表示它的方向. xyzOM2M1M稱稱,為非零向量為非零向量a 的方向角的方向角 xayaza12coscos ;xaM Ma12coscos;yaM Ma12coscos .zaM Ma我們把我們把 cos,cos,cos叫做向量叫做向量a的的方向余弦

12、方向余弦顯然顯然 222.xyzaaaa由此得由此得 xyzOM2M1Mxayaza222coscoscos222222xyzxyzaaaaaa1.1aeaa1(,)xyza aaa1(cos ,cos,cos )aaaa(cos ,cos,cos ).cosxaa222;xxyzaaaa222cos;yyxyzaaaaaa222cos.zzxyzaaaaaaea是與是與a同方向的單位向量。同方向的單位向量。)2,2,2(1M和和, )0,3, 1(2M的模的模 、在三個坐標軸上的投影、方向余弦和方、在三個坐標軸上的投影、方向余弦和方解解:,21,23)20計算向量計算向量( 1, 1,2 )

13、 222( 1)1(2) 2 1cos,2 1cos,2 2cos2 2,3 ,3 3421MM(21MM21MM即在三坐標軸投影分別為：即在三坐標軸投影分別為：1,1,2.xyzaaa 例例4. 已知兩點已知兩點向角向角.解解: 已知已知角依次為角依次為,43求點求點 A 的坐標的坐標 . ,34則則222cos1coscos14 因點因點 A 在第一卦限在第一卦限 ,故故1,2cos 于是于是1cos63,2xaOA 故點故點 A 的坐標為的坐標為 (3,3 2,3).向徑向徑 OA 與與 x 軸軸 y 軸的夾軸的夾 ,6AO且22cos632,yaOA 例例5. 設(shè)點設(shè)點 A 位于第一卦

14、限位于第一卦限,12cos63.zaOA xOyzANyazaxa1兩向量的數(shù)量積兩向量的數(shù)量積2兩向量的向量積兩向量的向量積 三、數(shù)量積 向量積 第七七章 1M一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積沿與力夾角為沿與力夾角為 的直線移動的直線移動,W1. 定義定義設(shè)向量設(shè)向量的夾角為的夾角為 ,稱稱 記作記作數(shù)量積數(shù)量積 (點積點積) .引例引例. 設(shè)一物體在常力設(shè)一物體在常力 F 作用下作用下, F位移為位移為 s , 則力則力F 所做的功為所做的功為cossFsFW2Mbacosba的與為baba,s記作記作故故abj rPb2. 性質(zhì)性質(zhì)為兩個非零向量為兩個非零向量, 則有則有baj rP

15、cosbcosa ba b baaj rPbaaa) 1 (2aba,)2(0baba ba0ba則2),(ba0,0ba0,a 當(dāng)當(dāng)時時上的投影為在 ab,0,時當(dāng)同理bbacosba3. 運算律運算律(1) 交換律交換律(2) 結(jié)合律結(jié)合律),(為實數(shù)abbaba)()( ba)(ba)()(ba( ) ( )ab)(ba(3) 分配律分配律cbcacba例例1. 證明三角形余弦定理證明三角形余弦定理2222coscabab 證證: 如圖如圖 . 則則2222coscabab ,aBC,bACcBAABCabcbac2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,設(shè)設(shè)c

16、 c4. 數(shù)量積的坐標表示數(shù)量積的坐標表示設(shè)設(shè)則, 10zzyyxxbababa,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxii jjkk jikjik baxxa byyzza ba b當(dāng)當(dāng)為非零向量時為非零向量時,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于由于 bacosbaba baba,兩向量的夾角公式兩向量的夾角公式 , 得得)(MB () ,M A BM(1,1,1),(2,2,1),(2,1,2),MAB AMB . A解解:,21,211 1, 1,0 1則則AMBcos1002212 3AMB求求M

17、BMAMA MB故故( , , ).1 1 0 例例2. 已知三點已知三點2兩向量的向量積兩向量的向量積引例引例. 設(shè)設(shè)O 為杠桿為杠桿L 的支點的支點 , 有一個與杠桿夾角為有一個與杠桿夾角為OQOLPQ符合右手規(guī)則符合右手規(guī)則OQFFsinOPsinOPMFOPOPM M矩是一個向量矩是一個向量 M :的力的力 F 作用在杠桿的作用在杠桿的 P點上點上 ,則力則力 F 作用在杠桿上的力作用在杠桿上的力FoPFMFM 向量向量方向方向 :(叉積叉積)記作記作且符合且符合a到到b右手規(guī)則右手規(guī)則模模 :向量積向量積 ,，的夾角為設(shè)ba,c,acbccsinabbac稱稱c的與為向量babacb

18、a引例中的力矩引例中的力矩FOPM思考思考: 右圖三角形面積右圖三角形面積ab12sina b S定義新的向量定義新的向量c12ab1. 定義定義2. 性質(zhì)性質(zhì)為非零向量為非零向量, 則則，0sin0或即aa) 1 (0ba,)2(0baba,0,0時當(dāng)baba0basinab03. 運算律運算律(2) 分配律分配律(3) 結(jié)合律結(jié)合律證證明明略略abcba )(cbca() ()ab () ()ab()()abba) 1 (證明證明:sina ba b )(kajaiazyx)(kbjbibzyx4. 向量積的坐標表示式向量積的坐標表示式設(shè)設(shè)則則,kajaiaazyx,kbjbibbzyxb

19、a)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk若非零若非零a與與b平行，則平行，則 sin00,a ba b,0a bsin0,a ba b或或從而所以所以()()(),yzzyzxxzxyyxa ba ba ba ba ba babijk00,0,0, yzzyzxxzxyyxa ba ba ba ba ba b由上式推得向量由上式推得向量 ,xyzaaaaijkxyzbbbbijk平行的充要條件是平行的充要條件是yzxx

20、yzaaabbb 向量積的行列式計算法向量積的行列式計算法kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaabaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyxyzyzaaibb xzxzaajbb xyxyaakbb (2,2,2)AB , )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形角形 ABC 的面積的面積 . 解解: 如圖所示如圖所示,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三求三(1,2,4)AC 例例4.

21、已知三點已知三點例例5 已知已知 ,aijk ,bj求與求與a 和和b都垂直的單位都垂直的單位 向量向量 解解 設(shè)設(shè) ,ca b則則 ijkc 111111100001ijkik ( 1,0,1). 111010所以所以 22( 1)12,c 從而與從而與a 和和b都垂直的單位向量都垂直的單位向量為為 1eccc1( 1,0,1)211(,0,),2211(,0,).22ec或或 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)設(shè)設(shè)1. 向量運算向量運算加減加減:數(shù)乘數(shù)乘:點積點積:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉積叉積:kjixayazaxbybzbba思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè)設(shè)計算計算并求并求夾角夾角 的正弦與余弦的正弦與余弦 .)3, 1, 1 (,321cos1211sin答案答案:2. 用向量方法證明正弦定理用向量方法證明正弦定理:CcBbAasinsinsinba,1baba,2jibkjia,baba及BabcAC證證: 由三角形面積公式由三角形面積公式AcbsinBacsinBbAasinsin所以所以CcsinCbasin因因ABACSABC21BCBA21CACB21ABACBCBACACBBabcAC作業(yè)