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1、
8.3 等比數(shù)列
核心考點·精準研析
考點一 等比數(shù)列根本量的運算?
1.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S3=14,a3=8,那么a6等于 ( )
A.16 B.32 C.64 D.128
2.(2021·贛州模擬)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和,假設S4,S3,S5成等差數(shù)列,那么
{an}的公比q的值為 ( )
A. B.-2 C.1 D.-2 或1
3.等比數(shù)列{an}滿足a1=3,a1+a3+a5=21,那么a3+a5+a7= ( )
A.21 B.42 C.63 D.84
4.(
2、2021·全國卷Ⅲ)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項的和為15,且a5=3a3+4a1,那么a3= ( )
A.16 B.8 C.4 D.2
5.Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和,假設存在m∈N*,滿足=9,=,那么數(shù)列{an}的公比為 ( )
A.-2 B.2 C.-3 D.3
【解析】1.選C.因為S3=14,a3=8,所以q≠1,
所以, 解得a1=2,q=2或a1=18,q=-(舍),
所以a6=a1q5=2×32=64.
2.選B.由S4,S3,S5成等差數(shù)列知等比數(shù)列{an}的公比q≠1,因此得2S3=S5+S4,即
=+,
化簡
3、整理得q3(q+2)(q-1)=0,
所以q=0(舍去),q=1(舍去)或q=-2.故q=-2.
3.選B.設數(shù)列{an}的公比為q,那么a1(1+q2+q4)=21,又a1=3,所以q4+q2-6=0,所以q2=2(q2=-3舍去),所以a3=6,a5=12,a7=24,所以a3+a5+a7=42.
4.選C.設該等比數(shù)列的首項為a1,公比為q,
由得,a1q4=3a1q2+4a1,
因為a1>0且q>0,那么可解得q=2,
又因為a1(1+q+q2+q3)=15,
即可解得a1=1,那么a3=a1q2=4.
5.選B.設公比為q,假設q=1,那么=2,與題中條件矛盾,故q≠
4、1.因為==qm+1=9,所以qm=8.所以==qm=8=,
所以m=3,所以q3=8,所以q=2.
把T1條件“S3=14,a3=8〞改為“a3=9,S3=27〞其他條件不變,那么公比q的值為
( )
A.1 B.-
C.1或- D.-1或 -
【解析】選C.當公比q=1時,
a1=a2=a3=9,所以S3=3×9=27.符合題意.
當q≠1時,S3=,
所以27=,所以a1=27-18q,
因為a3=a1q2,所以(27-18q)·q2=9,
所以(q-1)2(2q+1)=0,所以q=-.
綜上q=1或q=-.
解決等比數(shù)列有關問題
5、的常用思想方法
(1)方程的思想:等比數(shù)列中有五個量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二〞,通過列方程(組)求出關鍵量a1和q,問題便可迎刃而解.
(2)分類討論的思想:等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論,將q分為q=1和q≠1兩種情況進行討論.
【秒殺絕招】
1.應用轉化法解T2
選B.由S4,S3,S5成等差數(shù)列,得2S3=S5+S4,即2(a1+a2+a3)=2(a1+a2+a3+a4)+a5,整理得a5=-2a4,所以=-2,即q=-2.應選B.
2.應用等比數(shù)列性質解T3:
選B.設數(shù)列{an}的公比為q,那么a1(1+q2+q4)=21,又a1=3,
6、所以q4+q2-6=0,所以q2=2(q2=-3舍去),所以a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42,所以a3+a5+a7=42.
考點二 等比數(shù)列的判斷與證明?
【典例】1.數(shù)列{an}中,a1=1,假設an=2an-1+1(n≥2),那么a5的值是________.?
【解題導思】
序號
聯(lián)想解題
(1)
由an=2an-1+1(n≥2)及a1=1,聯(lián)想到數(shù)列的遞推公式求a5
(2)
由an=2an-1+1(n≥2)聯(lián)想到轉化法求通項公式
【解析】因為an=2an-1+1,所以an+1=2(an-1+1),所以=2,又a1=1,所以{an+1}是以2為
7、首項,2為公比的等比數(shù)列,即an+1=2×2n-1=2n,所以a5+1=25,即a5=31.
答案:31
【一題多解】由an=2an-1+1(n≥2)及a1=1,聯(lián)想到數(shù)列的遞推公式求a5,當n=2得a2=3,同理得a3=7,a4=15,a5=31.
答案:31
2.數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(n∈N*),假設bn=an+1-2an,求證:{bn}是等比數(shù)列.
【解題導思】
序號
題目拆解
(1)①Sn+1=4an+2(n∈N*)
②出現(xiàn)Sn+2=4an+1+2(n∈N*)
(2)①bn=an+1-2an
②證明{bn}是等比數(shù)列
8、把n換為n+1
左式和式子相減an+2=4an+1-4an,
把n換為n+1得出bn+1
轉化為證明為常數(shù)
【證明】因為an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-4an-2=4an+1-4an,
所以===
=2.
因為S2=a1+a2=4a1+2,所以a2=5.
所以b1=a2-2a1=3.
所以數(shù)列{bn}是首項為3,公比為2的等比數(shù)列.
假設本例2中的條件不變,試求{an}的通項公式.
【解析】由題知bn=an+1-2an=3·2n-1,
所以-=,
故是首項為,公差為的等差數(shù)列.
所以=+(n-1)·=,
所以an=(3n-1)·2n-2.
【繼
9、續(xù)探究】假設將本例中“Sn+1=4an+2〞改為“Sn+1=2Sn+(n+1)〞,其他不變,求數(shù)列{an}的通項公式.
【解析】由得n≥2時,Sn=2Sn-1+n.
所以Sn+1-Sn=2Sn-2Sn-1+1,所以an+1=2an+1,
所以an+1+1=2(an+1),n≥2,(*)
又a1=1,S2=a1+a2=2a1+2,即a2+1=2(a1+1),
所以當n=1時(*)式也成立,
故{an+1}是以2為首項,以2為公比的等比數(shù)列,
所以an+1=2·2n-1=2n,所以an=2n-1.
1.等比數(shù)列的四種常用判定方法
(1)定義法:假設=q(q為非零
10、常數(shù),n∈N*)或=q(q為非零常數(shù)且n≥2,
n∈N*),那么{an}是等比數(shù)列.
(2)等比中項法:假設數(shù)列{an}中,an≠0且=an·an+2(n∈N*),那么{an}是等比數(shù)列.
(3)通項公式法:假設數(shù)列{an}的通項公式可寫成an=c·qn-1(c,q均是不為0的常
數(shù),n∈N*),那么{an}是等比數(shù)列.
(4)前n項和公式法:假設數(shù)列{an}的前n項和Sn=k·qn-k(k為常數(shù)且k≠0,q≠0,1),那么{an}是等比數(shù)列.
2.證明某數(shù)列不是等比數(shù)列
假設證明某數(shù)列不是等比數(shù)列,那么只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可.
(2021·全國卷Ⅰ改編)數(shù)列
11、{an}滿足a1=1,nan+1=2(n+1)an,設bn=.
(1)求b1,b2,b3.
(2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列,并說明理由.
(3)求{bn}的前10項和S10.
【解析】(1)由條件可得an+1=an.將n=1代入得a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.將n=2代入得a3=3a2,所以a3=12.從而b1=1,b2=2,b3=4.
(2){bn}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.
理由:由條件可得=,即bn+1=2bn,又b1=1,所以{bn}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.
(3)由(2)可得Sn==2n-1,所以S10=210-1=1 023.
考點三
12、等比數(shù)列的性質及其應用?
命
題
精
解
讀
1.考什么:等比數(shù)列通項公式、前n項和公式、性質和最值問題
2.怎么考:等比數(shù)列性質、等比數(shù)列前n項和的性質作為考查等比數(shù)列運算知識的最正確載體,試題常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),有時也會出現(xiàn)在解答題中
3.新趨勢:以數(shù)列為載體與函數(shù)、不等式知識結合等問題.解題過程中常常滲透數(shù)學運算核心素養(yǎng).
學
霸
好
方
法
1.與等比數(shù)列性質有關的運算問題解題思路
在等比數(shù)列中但凡涉及兩項的乘積問題,首先考慮其項數(shù)和是否相等,假設相等那么利用等比數(shù)列的性質進行運算
2.交匯問題
以數(shù)列為載體與函數(shù)性質、不等式等知識結合考查,
13、注意分類討論思想的應用
等比數(shù)列項的性質應用
【典例】等比數(shù)列{an}中,a4+a8=-2,那么a6(a2+2a6+a10)的值為 ( )
A.4 B.6 C.8 D.-9
【解析】選A.a6(a2+2a6+a10)=a6a2+2+a6a10=+2a4a8+=(a4+a8)2,因為a4+a8=-2,所以a6(a2+2a6+a10)=4.
1.等比數(shù)列性質的應用可以分為哪些變形?
提示:通項公式的變形、等比中項的變形、前n項和公式的變形.
2.在解決等比數(shù)列項的性質的有關問題時,如何迅速挖掘隱含條件利用性質解題?
提示:在等比數(shù)列中但凡涉及兩項的乘積問題,首先考
14、慮其項數(shù)和是否相等,假設項數(shù)和相等,那么利用等比數(shù)列的性質進行運算.
提醒:根據題目條件,認真分析,發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口.
等比數(shù)列中的最值與范圍問題
【典例】設等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10,a2+a4=5,那么a1a2…an的最大值為________.
【思路探究】利用等比數(shù)列通項公式求出首項a1與公比q,再將a1a2…an的最值問題利用指數(shù)冪的運算法那么轉化為二次函數(shù)最值問題.
【解析】設等比數(shù)列{an}的公比為q,那么由a1+a3=10,a2+a4=q(a1+a3)=5,知q=.又a1+a1q2=10,所以a1=8.
故a1a2…an==23n·
15、==.
記t=-+=-(n2-7n),
結合n∈N*可知n=3或4時,t有最大值6.
又y=2t為增函數(shù),從而a1a2…an的最大值為26=64.
答案:64
求等比數(shù)列中的最值與范圍問題有哪些方法?
提示:求解此類問題的常用思路是根據題目所給條件建立關于變量n的函數(shù)關系進行求解.有時也應用根本不等式.
1.等比數(shù)列{an}滿足a1=,a3a5=4(a4-1),那么a2= ( )
A.2 B.1 C. D.
【解析】選C.設公比為q,因為a3a5=,a3a5=4(a4-1),所以=4(a4-1),所以-4a4+4=0,所以a4=2.又因為q3===8,所
16、以q=2,所以a2=a1q=×2=.
2.正數(shù)組成的等比數(shù)列{an},假設a1·a20=100,那么a7+a14的最小值為
( )
A.20 B.25 C.50 D.不存在
【解析】選A.(a7+a14)2=++2a7·a14≥4a7a14=4a1a20=400(當且僅當a7=a14時取等號).所以a7+a14≥20.
1.數(shù)列{an}滿足log2an+1=1+log2an(n∈N*),且a1+a2+a3+…+a10=1,那么log2(a101+a102+…+a110)=________.?
【解析】因為log2an+1=1+log2an,可得log2an+1=
17、log22an,所以an+1=2an,所以數(shù)列{an}是以a1為首項,2為公比的等比數(shù)列,又a1+a2+…+a10=1,所以a101+a102+…+a110=
(a1+a2+…+a10)×2100=2100,
所以log2(a101+a102+…+a110)=log22100=100.
答案:100
2.設等比數(shù)列{an}的公比為q,前n項和Sn>0(n=1,2,3,…),求q的取值范圍.
【解析】因為數(shù)列{an}為等比數(shù)列,Sn>0,
所以a1=S1>0,q≠0.當q=1時,Sn=na1>0;
當q≠0且q≠1時,Sn=>0,即>0,
所以或所以-11.
綜上,q的取值范圍為(-1,0)∪(0,+∞).
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2021版高考數(shù)學一輪復習 第八章 數(shù)列 8.3 等比數(shù)列練習 理 北師大版
