2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 數(shù)列 8.3 等比數(shù)列練習(xí) 理 北師大版

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1、 8.3 等比數(shù)列 核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析 考點(diǎn)一　等比數(shù)列根本量的運(yùn)算? 1.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S3=14,a3=8,那么a6等于 (　　) A.16 B.32 C.64 D.128 2.(2021·贛州模擬)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,假設(shè)S4,S3,S5成等差數(shù)列,那么 {an}的公比q的值為 (　　) A. B.-2 C.1 D.-2 或1 3.等比數(shù)列{an}滿足a1=3,a1+a3+a5=21,那么a3+a5+a7= (　　) A.21 B.42 C.63 D.84 4.(

2、2021·全國卷Ⅲ)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項(xiàng)的和為15,且a5=3a3+4a1,那么a3= (　　) A.16 B.8 C.4 D.2 5.Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,假設(shè)存在m∈N*,滿足=9,=,那么數(shù)列{an}的公比為 (　　) A.-2 B.2 C.-3 D.3 【解析】1.選C.因?yàn)镾3=14,a3=8,所以q≠1, 所以, 解得a1=2,q=2或a1=18,q=-(舍), 所以a6=a1q5=2×32=64. 2.選B.由S4,S3,S5成等差數(shù)列知等比數(shù)列{an}的公比q≠1,因此得2S3=S5+S4,即 =+, 化簡

3、整理得q3(q+2)(q-1)=0, 所以q=0(舍去),q=1(舍去)或q=-2.故q=-2. 3.選B.設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,那么a1(1+q2+q4)=21,又a1=3,所以q4+q2-6=0,所以q2=2(q2=-3舍去),所以a3=6,a5=12,a7=24,所以a3+a5+a7=42. 4.選C.設(shè)該等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1,公比為q, 由得,a1q4=3a1q2+4a1, 因?yàn)閍1>0且q>0,那么可解得q=2, 又因?yàn)閍1(1+q+q2+q3)=15, 即可解得a1=1,那么a3=a1q2=4. 5.選B.設(shè)公比為q,假設(shè)q=1,那么=2,與題中條件矛盾,故q≠

4、1.因?yàn)?=qm+1=9,所以qm=8.所以==qm=8=, 所以m=3,所以q3=8,所以q=2. 把T1條件“S3=14,a3=8〞改為“a3=9,S3=27〞其他條件不變,那么公比q的值為 (　　) A.1 B.- C.1或- D.-1或 - 【解析】選C.當(dāng)公比q=1時, a1=a2=a3=9,所以S3=3×9=27.符合題意. 當(dāng)q≠1時,S3=, 所以27=,所以a1=27-18q, 因?yàn)閍3=a1q2,所以(27-18q)·q2=9, 所以(q-1)2(2q+1)=0,所以q=-. 綜上q=1或q=-. 　解決等比數(shù)列有關(guān)問題

5、的常用思想方法 (1)方程的思想:等比數(shù)列中有五個量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二〞,通過列方程(組)求出關(guān)鍵量a1和q,問題便可迎刃而解. (2)分類討論的思想:等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對公比q的分類討論,將q分為q=1和q≠1兩種情況進(jìn)行討論. 【秒殺絕招】 1.應(yīng)用轉(zhuǎn)化法解T2 選B.由S4,S3,S5成等差數(shù)列,得2S3=S5+S4,即2(a1+a2+a3)=2(a1+a2+a3+a4)+a5,整理得a5=-2a4,所以=-2,即q=-2.應(yīng)選B. 2.應(yīng)用等比數(shù)列性質(zhì)解T3: 選B.設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,那么a1(1+q2+q4)=21,又a1=3,

6、所以q4+q2-6=0,所以q2=2(q2=-3舍去),所以a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42,所以a3+a5+a7=42. 考點(diǎn)二　等比數(shù)列的判斷與證明? 【典例】1.數(shù)列{an}中,a1=1,假設(shè)an=2an-1+1(n≥2),那么a5的值是________.? 【解題導(dǎo)思】 序號 聯(lián)想解題 (1) 由an=2an-1+1(n≥2)及a1=1,聯(lián)想到數(shù)列的遞推公式求a5 (2) 由an=2an-1+1(n≥2)聯(lián)想到轉(zhuǎn)化法求通項(xiàng)公式 【解析】因?yàn)閍n=2an-1+1,所以an+1=2(an-1+1),所以=2,又a1=1,所以{an+1}是以2為

7、首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,即an+1=2×2n-1=2n,所以a5+1=25,即a5=31. 答案:31 【一題多解】由an=2an-1+1(n≥2)及a1=1,聯(lián)想到數(shù)列的遞推公式求a5,當(dāng)n=2得a2=3,同理得a3=7,a4=15,a5=31. 答案:31 2.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(n∈N*),假設(shè)bn=an+1-2an,求證:{bn}是等比數(shù)列. 【解題導(dǎo)思】 序號 題目拆解 (1)①Sn+1=4an+2(n∈N*) ②出現(xiàn)Sn+2=4an+1+2(n∈N*) (2)①bn=an+1-2an ②證明{bn}是等比數(shù)列

8、把n換為n+1 左式和式子相減an+2=4an+1-4an, 把n換為n+1得出bn+1 轉(zhuǎn)化為證明為常數(shù) 【證明】因?yàn)閍n+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-4an-2=4an+1-4an, 所以=== =2. 因?yàn)镾2=a1+a2=4a1+2,所以a2=5. 所以b1=a2-2a1=3. 所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列. 假設(shè)本例2中的條件不變,試求{an}的通項(xiàng)公式. 【解析】由題知bn=an+1-2an=3·2n-1, 所以-=, 故是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列. 所以=+(n-1)·=, 所以an=(3n-1)·2n-2. 【繼

9、續(xù)探究】假設(shè)將本例中“Sn+1=4an+2〞改為“Sn+1=2Sn+(n+1)〞,其他不變,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. 【解析】由得n≥2時,Sn=2Sn-1+n. 所以Sn+1-Sn=2Sn-2Sn-1+1,所以an+1=2an+1, 所以an+1+1=2(an+1),n≥2,(*) 又a1=1,S2=a1+a2=2a1+2,即a2+1=2(a1+1), 所以當(dāng)n=1時(*)式也成立, 故{an+1}是以2為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列, 所以an+1=2·2n-1=2n,所以an=2n-1. 　 1.等比數(shù)列的四種常用判定方法 (1)定義法:假設(shè)=q(q為非零

10、常數(shù),n∈N*)或=q(q為非零常數(shù)且n≥2, n∈N*),那么{an}是等比數(shù)列. (2)等比中項(xiàng)法:假設(shè)數(shù)列{an}中,an≠0且=an·an+2(n∈N*),那么{an}是等比數(shù)列. (3)通項(xiàng)公式法:假設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可寫成an=c·qn-1(c,q均是不為0的常 數(shù),n∈N*),那么{an}是等比數(shù)列. (4)前n項(xiàng)和公式法:假設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=k·qn-k(k為常數(shù)且k≠0,q≠0,1),那么{an}是等比數(shù)列. 2.證明某數(shù)列不是等比數(shù)列 假設(shè)證明某數(shù)列不是等比數(shù)列,那么只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可. (2021·全國卷Ⅰ改編)數(shù)列

11、{an}滿足a1=1,nan+1=2(n+1)an,設(shè)bn=. (1)求b1,b2,b3. (2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列,并說明理由. (3)求{bn}的前10項(xiàng)和S10. 【解析】(1)由條件可得an+1=an.將n=1代入得a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.將n=2代入得a3=3a2,所以a3=12.從而b1=1,b2=2,b3=4. (2){bn}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列. 理由:由條件可得=,即bn+1=2bn,又b1=1,所以{bn}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列. (3)由(2)可得Sn==2n-1,所以S10=210-1=1 023. 考點(diǎn)三　

12、等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用? 命 題 精 解 讀 1.考什么:等比數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、性質(zhì)和最值問題 2.怎么考:等比數(shù)列性質(zhì)、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)作為考查等比數(shù)列運(yùn)算知識的最正確載體,試題常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),有時也會出現(xiàn)在解答題中 3.新趨勢:以數(shù)列為載體與函數(shù)、不等式知識結(jié)合等問題.解題過程中常常滲透數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng). 學(xué) 霸 好 方 法 1.與等比數(shù)列性質(zhì)有關(guān)的運(yùn)算問題解題思路 在等比數(shù)列中但凡涉及兩項(xiàng)的乘積問題,首先考慮其項(xiàng)數(shù)和是否相等,假設(shè)相等那么利用等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算 2.交匯問題 以數(shù)列為載體與函數(shù)性質(zhì)、不等式等知識結(jié)合考查,

13、注意分類討論思想的應(yīng)用 等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)應(yīng)用 【典例】等比數(shù)列{an}中,a4+a8=-2,那么a6(a2+2a6+a10)的值為 (　　) A.4 B.6 C.8 D.-9 【解析】選A.a6(a2+2a6+a10)=a6a2+2+a6a10=+2a4a8+=(a4+a8)2,因?yàn)閍4+a8=-2,所以a6(a2+2a6+a10)=4. 1.等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用可以分為哪些變形? 提示:通項(xiàng)公式的變形、等比中項(xiàng)的變形、前n項(xiàng)和公式的變形. 2.在解決等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)的有關(guān)問題時,如何迅速挖掘隱含條件利用性質(zhì)解題? 提示:在等比數(shù)列中但凡涉及兩項(xiàng)的乘積問題,首先考

14、慮其項(xiàng)數(shù)和是否相等,假設(shè)項(xiàng)數(shù)和相等,那么利用等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算. 提醒:根據(jù)題目條件,認(rèn)真分析,發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口. 等比數(shù)列中的最值與范圍問題 【典例】設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10,a2+a4=5,那么a1a2…an的最大值為________. 【思路探究】利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)a1與公比q,再將a1a2…an的最值問題利用指數(shù)冪的運(yùn)算法那么轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題. 【解析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,那么由a1+a3=10,a2+a4=q(a1+a3)=5,知q=.又a1+a1q2=10,所以a1=8. 故a1a2…an==23n·

15、==. 記t=-+=-(n2-7n), 結(jié)合n∈N*可知n=3或4時,t有最大值6. 又y=2t為增函數(shù),從而a1a2…an的最大值為26=64. 答案:64 求等比數(shù)列中的最值與范圍問題有哪些方法? 提示:求解此類問題的常用思路是根據(jù)題目所給條件建立關(guān)于變量n的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解.有時也應(yīng)用根本不等式. 1.等比數(shù)列{an}滿足a1=,a3a5=4(a4-1),那么a2= (　　) A.2 B.1 C. D. 【解析】選C.設(shè)公比為q,因?yàn)閍3a5=,a3a5=4(a4-1),所以=4(a4-1),所以-4a4+4=0,所以a4=2.又因?yàn)閝3===8,所

16、以q=2,所以a2=a1q=×2=. 2.正數(shù)組成的等比數(shù)列{an},假設(shè)a1·a20=100,那么a7+a14的最小值為 (　　) A.20　 B.25 C.50　 D.不存在 【解析】選A.(a7+a14)2=++2a7·a14≥4a7a14=4a1a20=400(當(dāng)且僅當(dāng)a7=a14時取等號).所以a7+a14≥20. 1.數(shù)列{an}滿足log2an+1=1+log2an(n∈N*),且a1+a2+a3+…+a10=1,那么log2(a101+a102+…+a110)=________.? 【解析】因?yàn)閘og2an+1=1+log2an,可得log2an+1=

17、log22an,所以an+1=2an,所以數(shù)列{an}是以a1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,又a1+a2+…+a10=1,所以a101+a102+…+a110= (a1+a2+…+a10)×2100=2100, 所以log2(a101+a102+…+a110)=log22100=100. 答案:100 2.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,前n項(xiàng)和Sn>0(n=1,2,3,…),求q的取值范圍. 【解析】因?yàn)閿?shù)列{an}為等比數(shù)列,Sn>0, 所以a1=S1>0,q≠0.當(dāng)q=1時,Sn=na1>0; 當(dāng)q≠0且q≠1時,Sn=>0,即>0, 所以或所以-11. 綜上,q的取值范圍為(-1,0)∪(0,+∞). 可修改 歡迎下載 精品 Word