2021版高考數(shù)學一輪復習 第二章 函數(shù)及其應用 2.4 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)練習 理 北師大版

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1、 2.4 指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 核心考點·精準研析 考點一　指數(shù)冪的化簡與求值? 1.以下等式成立的是 (　　) A.(-2)-2=4 B.2a-3=(a>0) C.(-2)0=-1 D.()4=(a>0) 2.(2021·全國卷Ⅱ)2021年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球反面軟著陸,我國航天事業(yè)取得又一重大成就,實現(xiàn)月球反面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系.為解決這個問題,發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋〞,鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點的軌道運行.L2點是平衡點,位于地月連線的延長線上.設地球質量為M1,月球質量為M2,地月距離為

2、R,L2點到月球的距離為r,根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律,r滿足方程: +=(R+r).設α=,由于α的值很小,因此在近似計算中≈3α3,那么r的近似值為 (　　) A.R B.R C.R D.R 3.設2x=8y+1,9y=3x-9,那么x+y的值為________.? 4.f(x)=2x+2-x,假設f(a)=3,那么f(2a)等于________.? 【解析】1.選D.對于A,(-2)-2=,故A錯誤;對于B,2a-3=,故B錯誤;對于C,(-2)0=1,故C錯誤;對于D,()4=. 2.選D.由題可知M1+M2=M1,把α=代入得:M1+M2=M1, =[-

3、]M1=M1=M1, 由題中給出的≈3α3, 所以≈3,r3≈R3,r≈R. 3.因為2x=8y+1=23(y+1),所以x=3y+3, 因為9y=3x-9=32y,所以x-9=2y, 解得x=21,y=6,所以x+y=27. 答案:27 4.由f(a)=3得2a+2-a=3, 所以(2a+2-a)2=9,即22a+2-2a+2=9. 所以22a+2-2a=7,故f(2a)=22a+2-2a=7. 答案:7 　指數(shù)冪運算的一般原那么 (1)有括號的先算括號里的,無括號的先做指數(shù)運算. (2)先乘除后加減,負指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù). (3)底數(shù)是負數(shù),先確定符號;底

4、數(shù)是小數(shù),先化成分數(shù);底數(shù)是帶分數(shù)的,先化成假分數(shù). (4)假設是根式,應化為分數(shù)指數(shù)冪,盡可能用冪的形式表示,運用指數(shù)冪的運算性質來解答. (5)運算結果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù),也不能既有分母又含有負指數(shù),形式力求統(tǒng)一. 考點二　指數(shù)函數(shù)的圖像及應用? 【典例】1.0

5、序號 聯(lián)想解題 1 由0

6、b應滿足的條件是b∈[-1,1]. 答案:[-1,1] 1.指數(shù)函數(shù)圖像的畫法(判斷)及應用方法 (1)畫(判斷)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的圖像,應抓住三個關鍵點:(1,a),(0,1),. (2)與指數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)的圖像的研究,往往利用相應指數(shù)函數(shù)的圖像,通過平移、對稱變換得到其圖像. (3)一些指數(shù)方程、不等式問題的求解,往往利用相應的指數(shù)型函數(shù)圖像數(shù)形結合求解. 2.指數(shù)函數(shù)的圖像與底數(shù)大小的比較 在第一象限內,指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的圖像越高,底數(shù)越大. 【秒殺絕招】 　T2可用排除法解決,T3可利用2x+1的取值范圍直接求解.

7、 1.不管a為何值,函數(shù)y=(a-1)2x-恒過定點,那么這個定點的坐標是 (　　) A. B. C.　 D. 【解析】選C.y=(a-1)2x-=a-2x, 令2x-=0,得x=-1, 故函數(shù)y=(a-1)2x-恒過定點. 2.函數(shù)y=ax-(a>0,且a≠1)的圖像可能是 (　　) 【解析】選D.假設a>1,那么y=ax-在R上是增函數(shù), 當x=0時,y=1-∈(0,1),A,B不滿足. 假設0

8、公共點,那么b的取值范圍為________.? 【解析】作出曲線y=|2x-1|的圖像與直線y=b如下列圖.由圖像可得b的取值范圍是(0,1). 答案:(0,1) 考點三　指數(shù)函數(shù)的性質及應用? 命 題 精 解 讀 1.考什么:(1)求指數(shù)函數(shù)的單調性,利用指數(shù)函數(shù)的單調性比較大小、求值或解不等式、求參數(shù)值等問題.(2)考查數(shù)學運算、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng). 2.怎么考:指數(shù)函數(shù)的奇偶性、單調性,函數(shù)的周期性以及對稱性等知識單獨或交匯考查,也可能以分段函數(shù)的形式呈現(xiàn). 3.新趨勢:以指數(shù)函數(shù)為載體,單調性與比較大小、求參數(shù)值或范圍交匯考查,指數(shù)函數(shù)與其他根本初等

9、函數(shù)交匯,指數(shù)函數(shù)的圖像與對稱性、交點個數(shù)、不等式交匯考查. 學 霸 好 方 法 1.比較指數(shù)式的大小的方法 (1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪,再利用單調性比較大小. (2)不能化成同底數(shù)的,一般引入“1〞“0〞等中間量比較大小. (3)在研究指數(shù)型函數(shù)的單調性時,當?shù)讛?shù)a與“1〞的大小關系不確定時,要分類討論. 2.指數(shù)函數(shù)單調性的判斷 (1)求單調區(qū)間必須先求定義域. (2)根據(jù)底數(shù)a進行判斷,01為增函數(shù). (3)指數(shù)型函數(shù)的單調性根據(jù)復合函數(shù)“同增異減〞. 比較指數(shù)式的大小 【典例】f(x)=2x-2-x,a=,b=,那么f(a),

10、f(b)的大小關系是________.? 【解析】易知f(x)=2x-2-x在R上為增函數(shù), 又a==>=b. 所以f(a)>f(b). 答案:f(b)1時,代入不成立.故a的值為. 答案: 2.當

11、a<0時,不等式f(a)<1可化為-7<1,即<8,即<,因為0<<1,所以a>-3,所以-3

12、. B. C.(-∞,1)　 D.(-∞,1] 2.函數(shù)f(x),假設在其定義域內存在實數(shù)x滿足f(-x)=-f(x),那么稱函數(shù)f(x)為“局部奇函數(shù)〞,假設函數(shù)f(x)=4x-m·2x-3是定義在R上的“局部奇函數(shù)〞,那么實數(shù)m的取值范圍是 (　　) A.[-2,2) B.[-2,+∞) C.(-∞,2) D.[-4,-2) 【解析】1.選C.因為2x>0,所以不等式(3m-1)2x<1對于任意x∈(-∞,-1]恒成立,等價于3m-1<=對于任意x∈(-∞,-1]恒成立. 因為x≤-1,所以≥=2. 所以3m-1<2,解得m<1, 所以m的取值范圍

13、是(-∞,1). 2.選B.根據(jù)“局部奇函數(shù)〞的定義可知,方程f(-x)=-f(x)有解即可,即4-x-m·2-x-3=-(4x-m·2x-3),所以4-x+4x-m(2-x+2x)-6=0, 化為(2-x+2x)2-m(2-x+2x)-8=0有解, 令2-x+2x=t(t≥2),那么有t2-mt-8=0在[2,+∞)上有解,設g(t)=t2-mt-8,那么g(2)≤0,得m≥-2,綜上可得實數(shù)m的取值范圍為[-2,+∞). 任意x∈[-2,-1],都有3m-1<成立與存在x∈[-2,-1],使得3m-1<成立一樣嗎? 提示:不一樣,前者3m-1比的最小值還要小,而后者只需小于它

14、的最大值即可. 1.(2021·西安模擬)f(x)=2x-2-x,a=,b=,c=log2,那么f(a),f(b), f(c)的大小關系為 (　　)　 A.f(b)=b>0, c=log2<0,那么a>b>c,所以f(c)

15、么x2+1≤4-2x,即x2+2x-3≤0,所以-3≤x≤1,所以≤y≤2. 3.假設函數(shù)f(x)=a|x+1|(a>0,且a≠1)的值域為[1,+∞),那么f(-4)與f(1)的關系是 (　　) A.f(-4)>f(1) B.f(-4)=f(1) C.f(-4)1,所以f(-4)=a3,f(1)=a2,由指數(shù)函數(shù)的單調性知a3>a2,所以f(-4)>f(1). 1.0y>1,那么以下各式中正確的

16、選項是 (　　) A.xaay　 D.ax>ya 【解析】選B.對于A,因為>1,所以=>=1,所以xa>ya,所以A錯誤; 0y>1,所以axy0=1,所以ax