高等數(shù)學(xué)：2-5極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限

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1、 第二章 三三 、兩個重要極限、兩個重要極限 二、極限存在準(zhǔn)則二、極限存在準(zhǔn)則 2.5 2.5 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限一、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系一、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系一、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系一、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系定理定理1 0lim( )xxf xA 的充分必要條件是：的充分必要條件是： 對任意數(shù)列對任意數(shù)列xn，xnx0， 當(dāng)當(dāng)xnx0(n)時，時， 都有都有 lim().nnf xA 定理定理1經(jīng)常被用于證明某些極限不存在經(jīng)常被用于證明某些極限不存在.例例1. 證明證明xx1sinlim0不存在不存在 .證證: 取兩個趨于取兩個趨于 0 的數(shù)列

2、的數(shù)列21nxn及221nxn有有nnx1sinlimnnx1sinlim由定理由定理 1 知知xx1sinlim0不存在不存在 .),2, 1(n02sinlimnn1)2sin(lim2nn(1)( )( )( );g xf xh x定理定理2 2(兩邊夾法則兩邊夾法則) 如果函數(shù)如果函數(shù)g(x), f(x), h(x)滿足：滿足：(2) lim( )lim ( )xXxXg xh xa二、極限存在準(zhǔn)則二、極限存在準(zhǔn)則lim( ).xXf xa例例2. 證明證明11211lim222nnnnnn證證: 利用兩邊夾法則利用兩邊夾法則 .1211222nnnnn22nnn22nn且且22lim

3、nnnn1lim1nn1lim22nnn211limnn1nnlim1211222nnnn1由由g(n)h(n)定理定理3（收斂準(zhǔn)則收斂準(zhǔn)則）定理定理4（收斂準(zhǔn)則收斂準(zhǔn)則） 單調(diào)遞減且有下界的數(shù)列必有極限單調(diào)遞減且有下界的數(shù)列必有極限 單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列必有極限單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列必有極限單調(diào)遞增（遞減）且有上界（下界）數(shù)列必有極限單調(diào)遞增（遞減）且有上界（下界）數(shù)列必有極限121nnxxxxMmxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnnx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xx( 證明略 )ab例例3 已知數(shù)列已知數(shù)列 nx滿足：滿足： 112,2 (2,3).nnx

4、xxn證明數(shù)列證明數(shù)列 收斂收斂 nx證證 先用數(shù)學(xué)歸納法證明先用數(shù)學(xué)歸納法證明 2,(1,2,).nxn（1）當(dāng)）當(dāng)n=1時，時， 122,x 結(jié)論成立結(jié)論成立 （2）當(dāng)）當(dāng)n=k時，時，xk2,則則 12kkxx222.由數(shù)學(xué)歸納法知由數(shù)學(xué)歸納法知 xn2.再證明該數(shù)列單調(diào)遞增再證明該數(shù)列單調(diào)遞增 2,(1,2,)nxn21111, , (1,2,)24nnnxx12nnnnxxxx2112nnxx1121,421,(1,2,)nnxxn由定理由定理2知數(shù)列收斂知數(shù)列收斂 故極限存在，故極限存在，備用題備用題 1.1.設(shè)設(shè) )(211nnnxaxx),2,1(n,0a,01x, 且且求求.

5、limnnx解：解：設(shè)設(shè)Axnnlim則由遞推公式有則由遞推公式有1()2aAAAaA)(211nnnxaxxnxnxaannxx1)1(212nxa)1(21aa1數(shù)列單調(diào)遞減有下界，數(shù)列單調(diào)遞減有下界，,01x故故axnnlim利用極限存在準(zhǔn)則,0nx1sincosxxx圓扇形圓扇形AOB的面積的面積三、三、 兩個重要極限兩個重要極限 0sin1. lim1xxx 證證: 當(dāng)當(dāng)即即xsin21x21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x時，時，2(0)x0lim cos1,xx 0sinlim1xxx 顯然有顯然有AOB 的面積的面積AOD的面積的面積11sincosxx

6、x故有故有OBAx1DC為了方便地求函數(shù)的極限，可記住下列結(jié)果：為了方便地求函數(shù)的極限，可記住下列結(jié)果：lim( )0 x (1) limcos( )1;x sin( )(2) lim1.( )xx (,0)2x 時，時，0sinlimxxx xt 0sinlim1ttt 0sinlim1xxx例例4. 求求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim0=1 1 1 例例5. 求求.arcsinlim0 xxx解解: 令令,arcsin xt 則則,sintx 因此因此原式原式tttsinlim0 1lim0tt

7、tsin1xOy12-12 arcsinyx 20sinlimx2x2x21例例6. 求求.cos1lim20 xxx解解: 原式原式 =2220sin2limxxx2121212.1lim(1)exxx我們可以通過列出函數(shù)我們可以通過列出函數(shù) 11xyx的部分取值列表的部分取值列表 來觀察該函數(shù)值的變化趨勢來觀察該函數(shù)值的變化趨勢 xy102.5941002.70510002.7169100002.718151000002.71827xy-102.88-1002.732-10002.720-100002.7183-1000002.7182811xyx的值無限接近于一個常數(shù)的值無限接近于一個常

8、數(shù) 2.718281828459045e 由此可得由此可得:=1100lim(1)lim(1)ezxzxzx1lim(1)exxx令令z=1/x,則則x時，時， z0，1lim(1)xxxe10lim(1)zzz為了方便地求函數(shù)的極限，可記住下面結(jié)果：為了方便地求函數(shù)的極限，可記住下面結(jié)果：lim( )0 x 1()lim 1( );xxe lim0f xA limg xB( )lim( )g xf x .BA例例6. 求求.)1 (lim1xxx解解: 令,xt則xxx)1 (lim1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1說明說明 ：若利用若利用, e)1 (lim)()(1

9、)(xxx則則 原式原式111e)1 (limxxxlimx例例7. 求求.)cos(sinlim11xxxx解解: 原式原式 =2)cos(sinlim211xxxx2)sin1 (lim2xxx)sin1(2xexx22sinx2sin1例例8 求求 1lim.1xxxx解解 1lim1xxxx1lim 1(1)1xxxx2lim 11xxx21122lim11xxxxx由于由于 22limlim2111xxxxx 所以所以211212limlim111xxxxxxxxx2.e的不同數(shù)列的不同數(shù)列內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)極限與數(shù)列極限關(guān)系的應(yīng)用函數(shù)極限與數(shù)列極限關(guān)系的應(yīng)用(1) 利用數(shù)列

10、極限判別函數(shù)極限不存在利用數(shù)列極限判別函數(shù)極限不存在 (2) 數(shù)列極限存在的兩邊夾法則數(shù)列極限存在的兩邊夾法則法法1 找一個數(shù)列找一個數(shù)列:nx,0 xxn)(0nxxn且且使使)(limnnxf法法2 找兩個趨于找兩個趨于0 xnx及 ,nx使)(limnnxf)(limnnxf不存在不存在 .函數(shù)極限存在的函數(shù)極限存在的兩邊夾法則兩邊夾法則2. 兩個重要極限兩個重要極限( )0sin( )(1)lim1( )xxx ( )1(2)lim (1)e( )xx 或或1( )( )0lim (1( )exxx 思考與練習(xí)思考與練習(xí)填空題填空題 ( 14 );_sinlim. 1xxx;_1sinlim. 2xxx;_1sinlim. 30 xxx;_)11 (lim. 4nnn0101e