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1、中檔題專練(六)
1.在平面直角坐標系xOy中,設銳角a的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓交于點
P(xi,yi),將射線OP繞坐標原點。按逆時針方向旋轉-后與單位圓交于點Q(x2,y2),記
f( a )=+y2.
(1)求函數(shù)f(頻值域；
⑵設4ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c若f(C)= 一,且a= 一,c=1,求b.
2.(2018南京、鹽城高三年級第二次模擬考試)調查某地居民每年到商場購物次數(shù) m與商場 面積S、到商場距離d的關系，得到關系式m=k一(k為常數(shù),k>0),如圖,某投資者計劃在與商 場A相距10 km的新區(qū)新建商場B,且商場B的面積與商場
2、A的面積之比為 入(0<入運1)每 年居民到商場A購物的次數(shù)”與“每年居民到商場 B購物的次數(shù)”分別為m1、m2,稱滿足 m1b>0)的左、右焦點
分別為Fi、F2,點P(3,1)在橢圓上ZPF1F2的面積
3、為2
⑴①求橢圓C的標準方程；
②若/FiQF2=-，求 QFi QF2 的值.
(2)直線y=x+k與橢圓C相交于A,B兩點，若以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，求實數(shù)k的化
答案精解精析
1.解析 (1)由題意得yi=sin a而sin
一 =cos a ,
所以 f( a 尸sin+cos = sin 一 ,
因為aC -，所以 a + C 一 - ,
故*妁值域為(1, 一］.
(2)因為f(C尸"sin -=—,且易知CC -，所以C=-,
在3BC中,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,
即 1=2+b2-2 —^^,解彳# b=1.
2 .解析
4、 設商場A、B的面積分別為Si km2、S2km2,點P到A、B的距離分別為di km、d2 km, 則 S2=入 1(0< 入 <1),幃k一,m2=k一,k 為常數(shù),k>0.
(1)在/TAB 中,AB=10,PA=15, /PAB=60 ,
由余弦定理，得 =PB2=AB2+PA2-2AB PAcos60 =102+152-2 X0X15*=175.
又=PA2=225,
貝^ m1-m2=k-—k—=k-—k一=kS1 -——,
將入=，=225, =175 代入，得 m「m2=kS1 -—-.
因為kS1>0,所以m1>m2,即居住在P點處的居民不在商場B相對于A的“更強
5、吸引區(qū)域”內.
⑵以A為原點,AB所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則A(0,0),B(10,0)，設
P(x,y),
由m1
6、以--10<——-2,整理得4 "5 —+1<0,
解得一< 入<1.
所以，所求人的取值范圍是一.
3 .解析(1)①由條件可知一+-1,c=2,
又 a2=b2+c2,所以 a2=12,b2=4,
所以橢圓C的標準方程為一+—=1.
②當/F〔QF2=一時，
所以 QF1 QF2=—.
⑵設 A(X1,y1),B(X2,y2),由— — 得 4x2+6kx+3k2-12=0, --
貝U X1+X2=—-X1X2=,y1y2=.
因為以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，則 , =X1X2+y1y2=k2-6=0,
解得k= 土二此時A =120>0|足條件，
因此k= 土 .
高考數(shù)學中檔題專練六
