2020年新教材高中物理 單元素養(yǎng)評價（四）（含解析）新人教版必修2

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1、單元素養(yǎng)評價（四） (第八章) (90分鐘　100分) 【合格性考試】(60分鐘　60分) 一、選擇題(本題共9小題,每小題3分,共27分) 1.如圖所示,甲圖表示籃球運動員起跳離開地面,乙圖表示蹦床運動員起跳離開蹦床,對于上述兩個過程下列說法正確的是 (　　) A.甲圖中地面對運動員做了功,乙圖中蹦床對運動員也做了功 B.甲圖中地面對運動員不做功,乙圖中蹦床對運動員也不做功 C.甲圖中地面對運動員不做功,乙圖中蹦床對運動員做了功 D.甲圖中地面對運動員做了功,乙圖中蹦床對運動員不做功 【解析】選C。甲圖中地面對運動員的支持力沒有位移,故地面對運動員不做功,乙圖中蹦床對

2、運動員的支持力有位移,故蹦床對運動員做功,故C正確,A、B、D錯誤。 2.如圖所示,質量為m的飛機在水平甲板上,受到與豎直方向成θ角的斜向下的拉力F作用,沿水平方向移動了距離s,飛機與水平面之間的摩擦力大小為f,則在此過程中 (　　) A.摩擦力做的功為fs　　　 B.力F做的功為Fscosθ C.重力做的功為mgs D.力F做的功為Fssinθ 【解析】選D。摩擦力大小為f,則摩擦力所做的功為:Wf=-fs,故A錯誤;由題意可知,拉力與位移方向上的夾角為90°-θ,則根據功的公式可得:WF=Fscos(90°-θ)=fssinθ,故B錯誤,D正確;由于豎直方向上沒有位移,故重力

3、不做功,故C錯誤。 3.在里約奧運會女子十米臺決賽中,中國選手、四川妹子任茜為中國代表團拿下里約奧運會的第20枚金牌,也成為了中國奧運史上第一個00后冠軍。她在某次練習跳水時保持同一姿態(tài)在空中下落一段距離,重力對她做功950 J,她克服阻力做功50 J。任茜在此過程中 (　　) A.機械能減小了60 J　　 B.動能減少了950 J C.動能增加了900 J D.重力勢能減小了1 000 J 【解析】選C。除重力外,人克服阻力做功50 J,故機械能減小50 J,故A錯誤;重力做功950 J,人克服阻力做功50 J,由動能定理,故動能增加(950-50) J= 900 J,故B錯誤,

4、C正確;重力對人做功為950 J,是正功,則人重力勢能減小950 J,故D錯誤。 【補償訓練】 質量為m的物體在空中以0.9g(g為重力加速度)的加速度下落,在物體下落h高度的過程中,正確的是 (　　) A.重力勢能減小了0.9mgh B.動能增大了0.9mgh C.動能增大了0.1mgh D.機械能損失了0.9mgh 【解析】選B。重力做功等于重力勢能的減少量,而W=mgh,故A錯誤;物體在空中以0.9g(g為重力加速度)的加速度下落,故合力F=0.9mg,由動能定理得,ΔEk=Fh=0.9mgh,故B正確,C錯誤;機械能損失為0.1mgh,故D錯誤。 4.在一次長途騎行中,

5、道路地勢較為平坦,全程近似勻速前進,運動員與車加上行李總質量約為100 kg,騎行過程中所受阻力恒為車和人總重的0.01倍,請估算運動員在路上騎行功率約為 (　　) A.500 W　　　B.300 W　　　C.50 W　　　D.5 W 【解析】選C。設人車的速度大小為5 m/s,人在勻速行駛時,人和車的受力平衡,阻力的大小為:f=0.01mg=0.01×1 000 N=10 N,此時的功率為:P=Fv=fv=10× 5 W=50 W,故C正確,A、B、D錯誤。 5.“殲-20”是中國自主研制的雙發(fā)重型隱形戰(zhàn)斗機,該機將擔負中國未來對空、對海的主權維護任務。在某次起飛中,質量為m的“殲-

6、20”以恒定的功率P起動,其起飛過程的速度隨時間變化圖像如圖所示,經時間t0飛機的速度達到最大值為vm時,剛好起飛。關于起飛過程,下列說法正確的是 (　　) A.飛機所受合力不變,速度增加越來越慢 B.飛機所受合力增大,速度增加越來越快 C.該過程克服阻力所做的功為Pt0-m D.平均速度為 【解題指南】解答本題可按以下思路進行: (1)根據P=Fv分析牽引力的變化,從而確定出合力的變化。 (2)由牛頓第二定律分析加速度的變化情況,即可分析速度變化快慢情況。 (3)將飛機的運動與勻速直線運動對比,分析其平均速度。 (4)根據動能定理分析該過程克服阻力所做的功。 【解

7、析】選C。根據圖像可知,圖像的斜率為加速度,所以起飛中,斜率越來越小,加速度越來越小,速度增加越來越慢,根據牛頓第二定律F合=ma,加速度減小,合外力減小,故A、B錯誤;根據動能定理可知:m-0=Pt0-Wf,解得:Wf=Pt0-m,故C正確;因為不是勻變速運動,所以平均速度不等于,故D錯誤。 6.一足夠長的傳送帶與水平面的夾角為θ,傳送帶以一定的速度勻速運動。某時刻在傳送帶適當?shù)奈恢梅派暇哂幸欢ǔ跛俣鹊奈飰K(如圖甲所示),以此時為t=0時刻,作出小物塊之后在傳送帶上的運動速度隨時間的變化關系,如圖乙所示(圖中取沿斜面向下的運動方向為正方向,其中v1>v2)。已知傳送帶的速度保持不變,g取1

8、0 m/s2,則 (　　) A.0~t1時間內,物塊對傳送帶做正功 B.物塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)μ

9、在t1時刻后,物塊速度先增大后不變,摩擦力先做正功,后做負功,D正確。 【補償訓練】 如圖,足夠長的水平傳送帶以恒定速率運行。將一滑塊從傳送帶左端由靜止輕輕放上傳送帶,滑塊將先加速運動一段距離,滑塊與傳送帶間的滑動摩擦力記作f。下列判斷正確的是 (　　) A.傳送帶功率始終不變 B.摩擦力f對滑塊所做的功等于滑塊增加的動能 C.摩擦力f對滑塊和傳送帶所做的總功等于傳送帶輸出的機械能 D.傳送帶克服摩擦力f所做的功等于滑塊與傳送帶接觸面上摩擦產生的熱 【解析】選B。由于水平傳送帶足夠長,所以滑塊將先勻加速運動后做勻速直線運動,滑塊先受摩擦力作用后不受摩擦力作用,所以傳送帶受力發(fā)

10、生改變,而水平傳送速率不變,根據傳送帶做功的功率P=Fv傳可知傳送帶功率發(fā)生改變,故A錯誤;根據動能定理可得摩擦力f對滑塊所做的功等于滑塊增加的動能,故B正確;摩擦力f對滑塊所做的功為Wf1=fx物,摩擦力f對傳送帶所做的功Wf2=-fx傳,滑塊與傳送帶接觸面上摩擦產生的熱為Q=fx相對,所以摩擦力f對滑塊和傳送帶所做的總功等于滑塊與傳送帶接觸面上摩擦產生的熱,故C錯誤;根據功能原理可得傳送帶克服摩擦力f所做的功等于傳送帶輸出的機械能,故D錯誤。 7.如圖所示,一根繩的兩端分別固定在兩座猴山的A、B處,A、B兩點水平距離為16 m,豎直距離為2 m,A、B間繩長為20 m。一質量為10 kg

11、的猴子抓住套在繩子上的光滑圓環(huán)從A處滑到B處。以A點所在水平面為零重力勢能參考平面,則猴子在滑行過程中重力勢能的最小值約為(繩子處于拉直狀態(tài)) (　　) A.-1.2×103 J B.-7.5×102 J C.-6.0×102 J D.-2.0×102 J 【解析】選B。設繩子的長度為l,AB之間的距離為d,平衡時繩子與豎直方向的夾角為θ,猴子受重力和兩個拉力而平衡,故: l左sinθ+l右sinθ=d,其中:l=l左+l右, 故sinθ===0.8,可得:θ=53°; A、B兩點的豎直距離為2 m, 故l右cosθ-l左cosθ=2 m, 而l=l左+l右=20 m,

12、 故l右cosθ=7 m, 故以A點所在水平面為參考平面,猴子在滑行過程中重力勢能最小值約為: Ep=-mgl右cosθ=-10×10×7 J=-700 J=-7×102 J, 考慮繩子有微小的形變,故猴子實際最低點可能的重力勢能約為-7.5×102 J,故A、C、D錯誤,B正確。 8.蹦極是一項既驚險又刺激的運動,深受年輕人的喜愛。如圖所示,蹦極者從P點由靜止跳下,到達A處時彈性繩剛好伸直,繼續(xù)下降到最低點B處,B離水面還有數(shù)米距離。蹦極者(視為質點)在其下降的整個過程中,重力勢能的減少量為ΔE1,繩的彈性勢能的增加量為ΔE2,克服空氣阻力做的功為W,則下列說法正確的是 (　　)

13、 A.蹦極者從P到A的運動過程中,機械能守恒 B.蹦極者與繩組成的系統(tǒng)從A到B的運動過程中,機械能守恒 C.ΔE1-ΔE2>W D.ΔE1>ΔE2 【解析】選D。蹦極者從P到A的過程中,除了重力做功以外,有空氣阻力做功,機械能不守恒,故A錯誤;從A到B的過程中,有重力、彈力和阻力做功,對于系統(tǒng),除了重力和彈力做功以外,有阻力做功,系統(tǒng)機械能不守恒,故B錯誤;根據功能關系知,由于動能變化量為零,重力勢能的減小量等于彈性勢能的增加量與克服阻力做功之和,即ΔE1=W+ΔE2,故C錯誤,D正確。 9.如圖所示,一光滑細桿固定在水平面上的C點,細桿與水平面的夾角為30°,一原長為L的輕質彈

14、性繩,下端固定在水平面上的B點,上端與質量為m的小環(huán)相連,當把小環(huán)拉到A點時,AB與地面垂直,彈性繩長為2L,將小環(huán)從A點由靜止釋放,當小環(huán)運動到AC的中點D時,速度達到最大。重力加速度為g,下列說法正確的是 (　　) A.在下滑過程中小環(huán)的機械能先減小后增大 B.小環(huán)剛釋放時的加速度大小為g C.小環(huán)到達AD的中點時,彈性繩的彈性勢能為零 D.小環(huán)的最大速度為 【解析】選B。小環(huán)受重力、支持力和拉力,拉力先做正功后做負功,故環(huán)的機械能先增加后減小,故A錯誤;在A位置,環(huán)受到重力、拉力、支持力,根據牛頓第二定律有:mgsin30°+Fcos60°=ma,在D點,環(huán)的速度最大,說明

15、加速度為零,彈性繩長度為2L,故:mgsin30°=Fcos60°,聯(lián)立解得:a=g,故B正確;小環(huán)到達AD中點時,彈性繩的長度為2L,伸長量為L,故彈性勢能不為零,故C錯誤;小環(huán)和彈性繩系統(tǒng)的機械能守恒,在D點速度最大,此時彈性繩長度等于初位置彈性繩的長度,故初位置和D位置環(huán)的機械能相等,故:mg2Lcos60°=mv2,解得:v=,故D錯誤。 二、實驗題(共5分) 10.某同學為了驗證機械能守恒定律設計了如圖所示的實驗裝置,在高為H的水平桌面上固定一個弧形軌道,軌道末端切線與桌面重合。實驗時多次把小球從軌道上由靜止釋放,記下每次釋放小球時小球距桌面的高度h,小球做平拋運動的水平位移x。

16、 (1)該同學利用圖像處理數(shù)據。不考慮軌道摩擦,為了得到線性關系的圖像以便進行定量分析,該同學應作出下列哪個圖像____________。? A.x-h圖像 B.x2-h圖像 C.x-圖像 D.x2-圖像 (2)若根據上題選擇作出的圖像得到的圖線斜率為k,則在誤差范圍內k與H滿足關系____________時,即可證明小球在運動過程中機械能守恒。? 【解析】(1)根據H=gt2得, 平拋運動的時間t=, 則小球到達底端的速度v==x。 小球在軌道運動的過程中,重力勢能的減小量為mgh, 動能的增加量mv2=mx2·=, 若機械能守恒有h=, 可知x2=4Hh,

17、為了得出線性圖線,應作x2-h圖像。故選B。 (2)根據x2=4Hh知,圖線的斜率k=4H。 答案:(1)B　(2)k=4H 三、計算題(本題共3小題,共28分。要有必要的文字說明和解題步驟,有數(shù)值計算的要注明單位) 11.(9分)滑板是年輕人十分喜歡的極限運動,現(xiàn)有一場地規(guī)格如圖,是用鋼制作的,阻力非常小,可以忽略。g取10 m/s2。 (1)一人以6 m/s的速度從4 m的高臺滑下,求到2 m高臺處其速度有多大? (2)在(1)的條件下,求他所能到達的離地最大高度有多少? (3)若他從2 m高臺開始下滑,為能到達4 m高臺,求下滑最小速度是多少? 【解題指南】解答本題可

18、按以下思路進行: (1)對該過程運用動能定理,求出到達2 m高臺的速度大小。 (2)上升到最大高度時速度為零,對整個過程運用動能定理求出上升的最大高度。 (3)對該過程運用動能定理,抓住末動能為零,求出下滑的最小速度。 【解析】(1)人從4 m的高臺滑到2 m高臺的過程,根據動能定理得: mg(h0-h1)=m-m (2分) 代入數(shù)據解得:v1= m/s≈8.72 m/s(1分) (2)設上升離地的最大高度為H,對全過程運用動能定理得: -mg(H-h0)=0-m (2分) 代入數(shù)據解得:H=5.8 m(1分) (3)設下滑的最小速度為vx,根據動能定理得: -mg(h0

19、-h1)=0-m (2分) 代入數(shù)據解得:vx≈6.32 m/s(1分) 答案:(1)8.72 m/s　(2)5.8 m　(3)6.32 m/s 12.(9分)泥石流在暴發(fā)時通常沿山體傾瀉而下具有極快的速度與巨大的能量破壞性極大,嚴重威脅著人們的生命安全,因此人們要對一些自然災害進行必要的了解并予以防范。課題小組對泥石流的威力進行了模擬研究,他們設計了如圖的模型:在足夠長的斜面上放置一個質量m=4 kg的物體,使該物體從靜止開始,讓其在隨位移均勻減小的沿斜面向下的推力作用下運動,斜面的傾角θ=37°,物體與斜面間的動摩擦因數(shù)μ=0.8,其中推力F與物體到出發(fā)點的距離的函數(shù)關系式為F=80

20、-20x(N),其中0≤x≤4 m,g取10 m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8。求: (1)物體的速度達到最大時到出發(fā)點的距離x1。 (2)物體在斜面上運動的最大位移xm。 【解析】(1)當物體的加速度a=0時,物體的速度最大, 設此時推力大小為F1,則有: F1+mgsinθ-μmgcosθ=0 (2分) F1=80-20x1 (1分) 解得x1=3.92 m(1分) (2)物體在斜面上運動的位移最大時,其速度為零,設物體在斜面上運動的過程中推力F對物體所做的功為W,則由動能定理得: mgxmsinθ-μmgxmcosθ+W=0 (2分) 設推力

21、F=0時物體到出發(fā)點的距離為x2有: 80-20x2=0 (1分) 又W=·x2 (1分) 解得:xm=100 m(1分) 答案:(1)3.92 m　(2)100 m 13.(10分)一人拉著行李箱(可視為質點)停在傾角為37°的斜面上接電話,某時刻突然松手,行李箱沿斜面向下運動,如圖所示,松手時行李箱距離斜面底端 4.5 m,水平面上距離斜面底端s=7 m處有一壕溝,設行李箱與斜面和水平面間的動摩擦因數(shù)均為0.25,且從斜面運動到水平面時速度大小不變,g取10 m/s2, sin37°=0.6,cos37°=0.8,則: (1)通過計算說明,行李箱是否能滑入壕溝? (2

22、)人在行李箱運動0.5 s后,立即勻速率追趕行李箱。若行李箱不能滑入壕溝,求人在行李箱停下前追上行李箱的最小速率;若行李箱能滑入壕溝,求人在行李箱滑入壕溝前追上行李箱的最小速率。 【解析】(1)設行李箱在水平面上滑行的最大距離為L。 已知松手時行李箱距離斜面底端的距離s1=4.5 m 根據動能定理得: mgs1sin37°-μmgcos37°·s1-μmgL=0 (2分) 解得 L=7.2 m>s=7 m 所以行李箱能滑入壕溝 (1分) (2)根據牛頓第二定律得,行李箱下滑的加速度 a1==gsin37°-μgcos37°=(6-0.25×8) m/s2=4 m/s2, (1分

23、) 行李箱到達底端的速度 v1== m/s=6 m/s(1分) 在斜面上運動的時間 t1== s=1.5 s(1分) 行李箱在水平面上的加速度大小 a2=μg=0.25×10 m/s2=2.5 m/s2(1分) 行李箱運動到壕溝處的速度 v2== m/s=1 m/s, (1分) 則在水平面上運動的時間 t2== s=2 s, (1分) 可知人的最小速率 v== m/s=3.83 m/s(1分) 答案:(1)行李箱能滑入壕溝　(2)3.83 m/s 【等級性考試】(30分鐘　40分) 14.(5分)某興趣小組對一輛自制遙控小車的性能進行研究,他們讓這輛小車在水平的直

24、軌道上由靜止開始運動,并將小車運動的全過程記錄下來,通過處理轉化為v-t圖像,如圖所示(除2~10 s時間段內的圖像為曲線外,其余時間段圖像均為直線)。已知小車運動的過程中,2~14 s時間段內小車的功率保持不變,在14 s末停止遙控而讓小車自由滑行。小車的質量為2 kg,可認為在整個過程中小車所受到的阻力大小不變,小車在2~10 s內的位移大小為 (　　) A.19 m B.21 m C.45 m D.48 m 【解析】選A。減速階段,小車只受摩擦力,加速度為:a==0.75 m/s2,故摩擦力為:f=ma=1.5 N,勻速運動階段,牽引力等于阻力,則有:P=Fv=1.5×3 W=4

25、.5 W。對2~10 s的過程運用動能定理得:Pt-fs1=m-m,代入數(shù)據得:s1=19 m。故A正確,B、C、D錯誤。 15.(5分)質量為M的長木板放在光滑的水平面上,如圖,一質量為m的滑塊,以某一速度v沿長木板表面從A點滑到B點,在木板上前進了L,而長木板前進了l,若滑塊與木板間動摩擦因數(shù)為μ,則 (　　) A.摩擦力對M做的正功大小等于摩擦力對m做的負功 B.摩擦產生的熱量為μmgL C.摩擦力對m做的功為μmgL D.摩擦產生的熱量為μmg(L+l) 【解析】選B。M、m之間的摩擦力大小相等,但m的位移比M的位移大,根據W=Fscosθ,摩擦力對M做的正功小于摩

26、擦力對m做的負功,故A錯誤;根據Q=fs相對,摩擦產生的熱量為Q=μmgL,故B正確,D錯誤;摩擦力對m做的功為W=f(l+L)=μmg(l+L),故C錯誤。 16.(5分)(多選)如圖所示為一滑草場。某條滑道由上、下兩段高均為h,與水平面傾角分別為45°和37°的滑道組成,滑草車與草地之間的動摩擦因數(shù)為μ。質量為m的載人滑草車從坡頂由靜止開始自由下滑,經過上、下兩段滑道后,最后恰好靜止于滑道的底端(不計滑草車在兩段滑道交接處的能量損失,sin37°=0.6,cos37°=0.8)。則 (　　) A.動摩擦因數(shù)μ= B.載人滑草車最大速度為 C.載人滑草車克服摩擦力做功為mgh

27、 D.載人滑草車在下段滑道上的加速度大小為g 【解題指南】解答本題時應從以下兩點進行分析: (1)在下落全過程根據動能定理列方程,求出動摩擦因數(shù)。 (2)載人滑草車在剛好滑到第一個滑道末端時速度最大,根據動能定理列方程求出最大速度。 【解析】選A、B。質量為m的載人滑草車從坡頂由靜止開始自由下滑,經過兩個滑道到達滑道底部速度為零,由動能定理得2mgh-μmgcos45° -μmgcos37°=0解得μ=,A正確;剛好滑到第一個滑道末端時速度最大,mgh-μmgcos45°=,解得v=,B正確;經過上、下兩段滑道后,最后恰好靜止于滑道的底端,載人滑草車克服摩擦力做功為2mgh,C項錯

28、誤;在下段滑道上沿滑道方向mgsin37°-μmgcos37°=ma,a=g(sin37°-cos37°) =-g,則D項錯誤。故選A、B。 17.(10分)實驗小組利用圖甲所示裝置進行驗證機械能守恒定律實驗,某同學選擇一條較為滿意的紙帶,如圖乙所示,他舍棄前面密集的點,以O為起點,從A點開始選取紙帶上連續(xù)點A、B、C…,測出O到A,B、C……的距離分別為h1,h2,h3…電源頻率為f1,重力加速度為g。 (1)為減少阻力對實驗的影響,下列操作可行的有____________。? A.選用鐵質重錘 B.安裝打點計時器時使兩限位孔在同一豎直線上 C.釋放紙帶前,手應提紙帶上端并

29、使紙帶豎直 D.重錘下落時手始終提住紙帶上端,保持紙帶豎直 (2)打B點時,重錘的速度vB為____________,該實驗過程沒有考慮各種阻力的影響,這屬于本實驗的_________(選填“偶然”或“系統(tǒng)”)誤差。? (3)用實驗測得的數(shù)據作出v2-h圖像如圖丙,圖線不過坐標原點的原因是___ ___________,?圖線斜率接近____________可驗證重錘下落過程機械能守恒。? 【解析】(1)為了減小阻力的影響,實驗時重錘選擇質量大一些的,體積小一些的,故A正確;安裝打點計時器使兩限位孔在同一豎直線上,從而減小阻力的影響,故B正確;釋放紙帶前,手應提紙帶上端并使紙帶豎直,

30、可以減小阻力,故C正確;重錘下落過程中,手不能拉著紙帶,故D錯誤。故選A、B、C。 (2)B點的瞬時速度等于AC段的平均速度, 則vB==,實驗中的各種阻力的影響不可避免,屬于系統(tǒng)誤差。 (3)用實驗測得數(shù)據畫出v2-h圖像圖線不過坐標原點,即h=0時,速度不為零,可知打下O點時重錘速度不為零。 若機械能守恒, 有:mgh=mv2, 即v2=2gh, v2-h圖線的斜率在誤差允許的范圍內k=2g,則機械能守恒。 答案:(1)A、B、C　(2)　系統(tǒng) (3)打下O點時重錘速度不為零　2g 18.(15分)我國將于2022年舉辦冬奧會,跳臺滑雪是其中最具觀賞性的項目之一。如圖所

31、示,質量m=60 kg的運動員從長直助滑道AB的A處由靜止開始以加速度a=3.6 m/s2勻加速滑下,到達助滑道末端B時速度vB=24 m/s,A與B的豎直高度差H=48 m。為了改變運動員的運動方向,在助滑道與起跳臺之間用一段彎曲滑道銜接,其中最低點C處附近是一段以O為圓心的圓弧。助滑道末端B與滑道最低點C的高度差h=5 m,運動員在B、C間運動時阻力做功W=-1 530 J,g取 10 m/s2。 (1)求運動員在AB段下滑時受到阻力Ff的大小。 (2)若運動員能夠承受的最大壓力為其所受重力的6倍,則C點所在圓弧的半徑R至少應為多大。 【解題指南】解答本題時應從以下四點進行分

32、析: (1)由運動學公式求出滑道AB的長度。 (2)分析運動員在AB段的受力情況,運用牛頓第二定律求解運動員在AB段下滑時受到阻力Ff。 (3)對BC段應用動能定理,求出運動員通過C點時的速度。 (4)運動員通過C點時重力和支持力的合力提供向心力。 【解析】(1)運動員在AB上做初速度為零的勻加速直線運動,設AB的長度為x,則有 =2ax ①(2分) 由牛頓第二定律知mg-Ff=ma ②(3分) 聯(lián)立①②式,代入數(shù)據解得Ff=144 N③(2分) (2)設運動員到達C點時的速度為vC,在由B到C的過程中 mgh+W=m-m ④(3分) 設運動員在C點所受的支持力為FN,由牛頓第二定律知 FN-mg= ⑤(3分) 由運動員能夠承受的最大壓力為其所受重力的6倍,聯(lián)立④⑤式,代入數(shù)據解得 R=12.5 m⑥(2分) 答案:(1)144 N　(2)12.5 m - 15 -