2019高考物理一輪復(fù)習 第一章 運動的描述 勻變速直線運動的研究 第4講 運動圖象 追及、相遇問題學案

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1、 第4 講　運動圖象　追及、相遇問題 　運動圖象問題的應(yīng)用[學生用書P8] 【題型解讀】 運動學圖象主要有x－t、v－t、a－t圖象，應(yīng)用圖象解題時主要看圖象中的“軸”“線”“斜率”“點”“面積”“截距”六要素： 一般意義 x－t圖象 v－t圖象 a－t圖象 軸 圖象描述哪兩個物理量之間的關(guān)系 縱軸—位移 橫軸—時間 縱軸—速度 橫軸—時間 縱軸—加速度 橫軸—時間 線 表示物理量y隨物理量x的變化過程和規(guī)律 運動物體的位移與時間的關(guān)系 運動物體的速度與時間的關(guān)系 運動物體的加速度與時間的關(guān)系 斜率 k＝，定性表示y隨x變化的快慢 某點的

2、斜率表示該點的瞬時速度 某點的斜率表示該點的加速度 某點的斜率表示該點加速度的變化率 點 兩線交點表示對應(yīng)縱、橫坐標軸物理量相等 兩線交點表示兩物體相遇 兩線交點表示兩物體該時刻速度相同 兩線交點表示兩物體該時刻加速度相同 面積 圖線和時間軸所圍的面積，也往往代表一個物理量，這要看兩物理量的乘積有無意義 無意義 圖線和時間軸所圍的面積，表示物體運動的位移 圖線和時間軸所圍的面積，表示物體的速度變化量 截距 圖線在坐標軸上的截距一般表示物理過程的“初始”情況 在縱軸上的截距表示t＝0時的位移 在縱軸上的截距表示t＝0時的速度 在縱軸上的截距表示t＝0時的加速度

3、 【典題例析】 　 (多選)(2016·高考全國卷Ⅰ)甲、乙兩車在平直公路上同向行駛，其v－t圖象如圖所示．已知兩車在t＝3 s時并排行駛，則(　　) A．在t＝1 s時，甲車在乙車后 B．在t＝0時，甲車在乙車前7.5 m C．兩車另一次并排行駛的時刻是t＝2 s D．甲、乙車兩次并排行駛的位置之間沿公路方向的距離為40 m [審題指導(dǎo)]　由圖象中的斜率、面積分別可得甲、乙兩車運動時的加速度、位移等運動信息，再根據(jù)3 s時并排尋找兩車間的相對運動情況，從而解決問題． [解析]　根據(jù)題述，兩車在t＝3 s時并排行駛，由圖線與橫軸所圍面積表示位移可知，在t＝1 s時，甲車和乙

4、車并排行駛，選項A、C錯誤．由圖象可知，在t＝1 s時甲車速度為10 m/s，乙車速度為15 m/s，0～1 s時間內(nèi)，甲車行駛位移為x1＝5 m，乙車行駛位移為x2＝12.5 m，所以在t＝0時，甲車在乙車前7.5 m，選項B正確．從t＝1 s到t＝3 s，甲、乙兩車兩次并排行駛的位置之間沿公路方向的距離為x＝×(10＋30)×2 m＝40 m，選項D正確． [答案]　BD 【遷移題組】 遷移1　x－t圖象 1．甲、乙兩人同時同地出發(fā)騎自行車做直線運動，前1小時內(nèi)的位移－時間圖象如圖所示．下列表述正確的是(　　) A．0.2～0.5小時內(nèi)，甲的加速度比乙的大 B．0.2～0

5、.5小時內(nèi)，甲的速度比乙的大 C．0.6～0.8小時內(nèi)，甲的位移比乙的小 D．0.8小時內(nèi)，甲、乙騎行的路程相等 解析：選B.在0.2～0.5小時內(nèi)，位移－時間圖象是傾斜的直線，則物體做勻速直線運動，所以在0.2～0.5小時內(nèi)，甲、乙兩人的加速度都為零，選項A錯誤；位移－時間圖象的斜率絕對值大小反映了物體運動速度的大小，斜率絕對值越大，速度越大，故0.2～0.5小時內(nèi)甲的速度大于乙的速度，選項B正確；由位移－時間圖象可知，0.6～0.8小時內(nèi)甲的位移大于乙的位移，選項C錯誤；由位移－時間圖象可知，0.8小時內(nèi)甲、乙往返運動過程中，甲運動的路程大于乙運動的路程，選項D錯誤． 遷移2　v

6、－t圖象 2．(多選)如圖所示為一個質(zhì)點做直線運動的v－t圖象，則下列說法中正確的是(　　) A．質(zhì)點在0～5 s內(nèi)的位移為5 m B．質(zhì)點在整個運動過程中，10～12 s內(nèi)的加速度最大 C．質(zhì)點在10 s末離出發(fā)點最遠 D．質(zhì)點在8～12 s內(nèi)的平均速度為4 m/s 解析：選AB.根據(jù)速度圖象中圖線與時間軸所圍的面積表示位移可知，質(zhì)點在0～5 s內(nèi)的位移x＝×2×5 m＝5 m，選項A正確；由v－t圖象的斜率表示加速度可知，0～5 s內(nèi)的加速度大小a1＝ m/s2，8～10 s內(nèi)的加速度大小a2＝ m/s2＝2 m/s2，10～12 s內(nèi)的加速度大小a3＝6 m/s2，所以質(zhì)

7、點在整個運動過程中，10～12 s內(nèi)的加速度最大，選項B正確；質(zhì)點在11 s末離出發(fā)點最遠，選項C錯誤；質(zhì)點在8～12 s內(nèi)的位移x＝8 m，平均速度為＝ m/s＝2 m/s，選項D錯誤． 遷移3　a－t圖象 3．一輛摩托車在t＝0時刻由靜止開始在平直的公路上行駛，其運動過程的a－t圖象如圖所示，根據(jù)已知信息，可知(　　) A．摩托車的最大動能 B．摩托車在30 s末的速度大小 C．在0～30 s的時間內(nèi)牽引力對摩托車做的功 D．10 s末摩托車開始反向運動 解析：選B.由圖可知，摩托車在0～10 s內(nèi)做勻加速運動，在10～30 s內(nèi)做減速運動，故10 s末速度最大，動能最

8、大，由v＝at可求出最大速度，但摩托車的質(zhì)量未知，故不能求最大動能，A錯誤；根據(jù)a－t圖線與t軸所圍的面積表示速度變化量，可求出30 s內(nèi)速度的變化量，由于初速度為0，則可求摩托車在30 s末的速度大小，B正確；在10～30 s內(nèi)牽引力是變力，由于不能求出位移，故不能求出牽引力對摩托車做的功，C錯誤；由圖線與時間軸圍成的面積表示速度變化量可知，30 s內(nèi)速度變化量為零，所以摩托車一直沿同一方向運動，D錯誤． 遷移4　非常規(guī)運動圖象 4．(多選) 一個物體沿直線運動，從t＝0時刻開始，物體的－t的圖象如圖所示，圖線與縱橫坐標軸的交點分別為0.5 m/s和－1 s，由此可知(　　)

9、A．物體做勻加速直線運動 B．物體做變加速直線運動 C．物體的初速度大小為0.5 m/s D．物體的初速度大小為1 m/s 解析：選AC.圖線的斜率為0.5 m/s2、縱截距為0.5 m/s.由位移公式x＝v0t＋at2兩邊除以對應(yīng)運動時間t為＝v0＋at，可得縱截距的物理意義為物體運動的初速度，斜率的物理意義為物體加速度的一半.所以物體做初速度為v0＝0.5 m/s，加速度大小為a＝1 m/s2的勻加速直線運動． (1)圖象問題常見的是x－t和v－t圖象，在處理特殊圖象的相關(guān)問題時，可以把處理常見圖象的思想以及方法加以遷移，通過物理情境遵循的規(guī)律，從圖象中提取有用的信息，根據(jù)相

10、應(yīng)的物理規(guī)律或物理公式解答相關(guān)問題．處理圖象問題可參考如下操作流程： (2)處理特殊圖象的問題時，在必要時可將該圖象所反映的物理過程轉(zhuǎn)換為常見的x－t或v－t圖象進行處理．　 　對追及、相遇問題的分析[學生用書P9] 【題型解讀】 1．方法概述 (1)臨界法：尋找問題中隱含的臨界條件，例如速度小者加速追趕速度大者，在兩物體速度相等時有最大距離；速度大者減速追趕速度小者，若追不上則在兩物體速度相等時有最小距離． (2)函數(shù)法：設(shè)兩物體在t時刻相遇，然后根據(jù)位移關(guān)系列出關(guān)于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0無正實數(shù)解，則說明這兩個物體不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正實數(shù)

11、解，說明這兩個物體能相遇． (3)圖象法：①若用位移圖象求解，分別作出兩物體的位移圖象，如果兩物體的位移圖象相交，則說明兩物體相遇．②若用速度圖象求解，則注意比較速度圖線與時間軸包圍的面積． 2．追及、相遇問題常見情景 (1)速度小者追速度大者 追及類型 圖象描述 相關(guān)結(jié)論 勻加速 追勻速 設(shè)x0為開始時兩物體間的距離，則應(yīng)有下面結(jié)論： ①t＝t0以前，后面物體與前面物體間的距離增大 ②t＝t0時，兩物體相距最遠，為x0＋Δx ③t＝t0以后，后面物體與前面物體間的距離減小 ④一定能追上且只能相遇一次 勻速追 勻減速 勻加速追 勻減速 (2)速度

12、大者追速度小者 追及類型 圖象描述 相關(guān)結(jié)論 勻減速 追勻速 設(shè)x0為開始時兩物體間的距離，開始追及時，后面物體與前面物體間的距離在減小，當兩物體速度相等時，即t＝t0時刻： ①若Δx＝x0，則恰能追上，兩物體只能相遇一次，這也是避免相撞的臨界條件 ②若Δxx0，則相遇兩次，設(shè)t1時刻兩物體第一次相遇，則t2＝2t0－t1時刻兩物體第二次相遇 勻速追 勻加速 勻減速追 勻加速 【典題例析】 　在水平軌道上有兩列火車A和B相距x，A車在后面做初速度為v0、加速度大小為2a的勻減速直線運動，

13、而B車同時做初速度為零、加速度為a的勻加速直線運動，兩車運動方向相同．要使兩車不相撞，求A車的初速度v0滿足什么條件． [審題指導(dǎo)]　兩車不相撞的臨界條件是A車追上B車時其速度與B車相等． [解析]　法一：臨界條件法 設(shè)兩車運動速度相等時，所用時間為t， 由v0－(2a)t＝at得，t＝ ① A車位移：xA＝v0t－(2a)t2 B車位移：xB＝at2 兩車不相撞的條件：xB＋x≥xA 即：at2＋x≥v0t－at2 ② 聯(lián)立①②得：v0≤. 法二：二次函數(shù)極值法 設(shè)兩車運動了時間t，則 xA＝v0t－at2 xB＝at2 兩車不相撞需要滿足 Δx＝xB＋x－

14、xA＝at2－v0t＋x≥0 則Δxmin＝≥0 解得v0≤. 法三：圖象法 利用速度－時間圖象求解，先作A、B兩車的速度－時間圖象，其圖象如圖所示，設(shè)經(jīng)過t時間兩車剛好不相撞，則對A車有vt＝v0－2at， 對B車有vt＝at 以上兩式聯(lián)立解得t＝ 經(jīng)時間t兩車發(fā)生的位移之差，即為原來兩車間的距離x，它可用圖中的陰影面積來表示，由圖象可知x＝v0t＝v0·＝，所以要使兩車不相撞，A車的初速度v0應(yīng)滿足的條件是v0≤. 法四：相對運動法 巧選參考系求解．以B車為參考系，A車的初速度為v0，加速度為a′＝－2a－a＝－3a.A車追上B車且剛好不相撞的條件是：v＝0，這一過程

15、A車相對于B車的位移為x，由運動學公式v2－v＝2ax得： 02－v＝2·(－3a)·x 所以v0＝. 故要使兩車不相撞，A車的初速度v0應(yīng)滿足的條件是v0≤. [答案]　v0≤ 【跟進題組】 1．(2018·貴州凱里高三模擬)一輛卡車以vB＝10 m/s的初速度沿直線方向做勻減速直線運動，加速度的大小為a＝2 m/s2，在其后方一輛小汽車以vA＝4 m/s 的速度向相同方向做勻速直線運動，小汽車在卡車后方相距x0＝7 m 處，從此時開始計時，求： (1)小汽車追上卡車前，兩車間的最大距離d是多大？ (2)經(jīng)過多長時間小汽車追上卡車？ 解析：(1)設(shè)兩車速度相等經(jīng)歷的時間為t

16、1有： vA＝vB－at1 汽車與卡車的最遠距離d，有： v－v＝2axB1 xA1＝vAt1 兩者間的最大距離為： d＝x0＋xB1－xA1 代入數(shù)據(jù)解得：d＝16 m. (2)卡車速度減為零的時間為t2，有： 0＝vB－at2得：t2＝5 s 卡車速度減為零的位移為：2axB＝v 得xB＝25 m 此時汽車的位移為： xA＝vAt2＝4×5 m＝20 m， 因為xA＜xB＋x0，可知卡車速度減為零時，汽車還未追上卡車． 還需追及的時間：t3＝，得t3＝3 s 則有：t＝t2＋t3＝5 s＋3 s＝8 s. 答案：見解析 2．A車在直線公路上以20 m/s

17、的速度勻速行駛，因大霧天氣能見度低，當司機發(fā)現(xiàn)正前方有一輛靜止的B車時，兩車距離僅有76 m，A車司機立即剎車(不計反應(yīng)時間)做勻減速直線運動，加速度大小為2 m/s2(兩車均視為質(zhì)點)． (1)通過計算判斷A能否撞上B車？若能，求A車從剎車開始到撞上B車的時間(假設(shè)B車一直靜止)； (2)為了避免碰撞，A車在剎車的同時，如果向B車發(fā)出信號，B車收到信號經(jīng)Δt＝2 s的反應(yīng)時間才開始勻加速向前行駛，問：B車加速度a2至少為多大才能避免事故． 解析：(1)設(shè)A車從剎車到停止所用的時間為t0、位移為x 由速度時間公式v0＝a1t0 解得t0＝10 s 由速度位移關(guān)系有0－v＝－2a1x

18、 代入數(shù)據(jù)解得x＝100 m>76 m，所以A車能撞上B車 設(shè)撞上B車的時間為t1，有x0＝v0t1－a1t，其中x0＝76 m 解得t1＝(10－2) s，t′1＝(10＋2) s， (10＋2) s大于10 s，故舍去 故時間為(10－2) s. (2)假設(shè)A車恰能追上B車，設(shè)B車運動時間為t，則A車運動時間為t＋Δt，此時兩車速度相等，即v0－a1(t＋Δt)＝a2t 解得t＝ 由位移關(guān)系xA＝x0＋xB 可知v0(t＋Δt)－a1(t＋Δt)2＝x0＋a2t2 整理得a2＝ 解得a2＝1.2 m/s2 因此欲使A、B兩車不相撞，B車的最小加速度為a2＝1.2 m

19、/s2. 答案：見解析 1．分析追及、相遇問題的方法技巧可概括為“一個臨界條件”“兩個等量關(guān)系” (1)一個臨界條件：速度相等．它往往是物體間能否追上、追不上或(兩者)距離最大、最小的臨界條件，也是分析判斷問題的切入點． (2)兩個等量關(guān)系：時間關(guān)系和位移關(guān)系，通過畫草圖找出兩物體的時間關(guān)系和位移關(guān)系是解題的突破口． 2．能否追上的判斷方法 (1)做勻速直線運動的物體B追趕從靜止開始做勻加速直線運動的物體A：開始時，兩個物體相距x0.若vA＝vB時，xA＋x0xB，則不能追上． (2

20、)數(shù)學判別式法：設(shè)相遇時間為t，根據(jù)條件列方程，得到關(guān)于t的一元二次方程，用判別式進行討論，若Δ＞0，即有兩個解，說明可以相遇兩次；若Δ＝0，說明剛好追上或相遇；若Δ＜0，說明追不上或不能相遇． 3．注意三類追及、相遇情況 (1)若被追趕的物體做勻減速運動，一定要判斷是運動中被追上還是停止運動后被追上． (2)若追趕者先做加速運動后做勻速運動，一定要判斷是在加速過程中追上還是勻速過程中追上． (3)判斷是否追尾，是比較后面減速運動的物體與前面物體速度相等時的位置關(guān)系，而不是比較減速到0時的位置關(guān)系．　 　　 [學生用書P11] 1．甲、乙、丙三輛汽車同時以相同的速度v0經(jīng)過某一

21、路標，此后甲一直做勻速直線運動，乙先加速后減速，丙先減速后加速，它們經(jīng)過下一個路標時的速度仍為v0，則(　　) A．甲車先經(jīng)過下一個路標 B．乙車先經(jīng)過下一個路標 C．丙車先經(jīng)過下一個路標 D．無法判斷誰先經(jīng)過下一個路標 解析： 選B.由題意畫出v－t圖象如圖所示，由于甲、乙、丙在此過程中位移相同，故由圖可得乙車所用時間最短． 2. (高考全國卷Ⅱ)甲、乙兩汽車在一平直公路上同向行駛．在t＝0到t＝t1的時間內(nèi)，它們的v－t圖象如圖所示．在這段時間內(nèi)(　　) A．汽車甲的平均速度比乙的大 B．汽車乙的平均速度等于 C．甲、乙兩汽車的位移相同 D．汽車甲的加速度

22、大小逐漸減小，汽車乙的加速度大小逐漸增大 解析：選A.根據(jù)v－t圖象下方的面積表示位移，可以看出汽車甲的位移x甲大于汽車乙的位移x乙，選項C錯誤；根據(jù)＝得，汽車甲的平均速度甲大于汽車乙的平均速度乙，選項A正確；汽車乙的位移x乙小于初速度為v2、末速度為v1的勻減速直線運動的位移x，即汽車乙的平均速度小于，選項B錯誤；根據(jù)v－t圖象的斜率大小反映了加速度的大小，因此汽車甲、乙的加速度大小都逐漸減小，選項D錯誤． 3．(2018·濟南調(diào)研)某同學欲估算飛機著陸時的速度，他假設(shè)飛機在平直跑道上做勻減速運動，飛機在跑道上滑行的距離為x，從著陸到停下來所用的時間為t，實際上，飛機的速度越大，所受的阻

23、力越大，則飛機著陸時的速度應(yīng)是(　　) A．v＝　　　　　　 B．v＝ C．v＞ D．＜v＜ 解析： 選C.由題意知，當飛機的速度減小時，所受的阻力減小，因而它的加速度會逐漸變小，畫出相應(yīng)的v－t圖象大致如圖所示．根據(jù)圖象的意義可知，實線與坐標軸包圍的面積為x，虛線(勻減速運動)下方的“面積”表示的位移為：t.應(yīng)有：t＞x，所以v＞，所以選項C正確． 4．(2016·高考江蘇卷)小球從一定高度處由靜止下落，與地面碰撞后回到原高度再次下落，重復(fù)上述運動．取小球的落地點為原點建立坐標系，豎直向上為正方向．下列速度v和位置x的關(guān)系圖象中，能描述該過程的是(　　) 解析：選A.小

24、球從一定高度處由靜止下落，與地面碰撞后能回到原高度，重復(fù)原來的過程，以落地點為原點，速度為零時，位移最大，速度最大時位移為零，設(shè)高度為h，則速度大小與位移的關(guān)系滿足v2＝2g(h－x)，A項正確． 5．(多選)(2018·江西上高高三月考)平直公路上行駛的a車和b車，其位移時間圖象分別為圖中直線a和曲線b，已知b車的加速度恒定且a＝－2 m/s2，t＝3 s時，直線a和曲線b剛好相切，下列說法正確的是(　　) A．a(chǎn)車的速度是2 m/s B．t＝3 s時，a、b兩車的速度相等，相距最遠 C．b車的初速度是8 m/s D．t＝0 s時a車和b車之間的距離為9 m 解析：選ACD.

25、x－t圖象的斜率等于速度，由題圖可知，a車的速度不變，做勻速直線運動，速度為：va＝ m/s＝2 m/s，故A正確；t＝3 s時，直線a和曲線b剛好相切，位置坐標相同，兩車相遇．斜率相等，此時兩車的速度相等，則t＝3 s，b車的速度為：vb＝va＝2 m/s，設(shè)b車的初速度為v0，對b車，由v0＋at＝vb，解得：v0＝8 m/s，故B錯誤，C正確；t＝3 s時，a車的位移為：xa＝vat＝6 m，b車的位移為：xb＝t＝×3 m＝15 m，t＝3 s時，a車和b車到達同一位置，所以t＝0時兩車相距x0＝xb－xa＝9 m，故D正確． 6．(2018·湖北八校聯(lián)考)春節(jié)放假期間，全國高速公路

26、免費通行，小轎車可以不停車通過收費站，但要求小轎車通過收費站窗口前x0＝9 m區(qū)間的速度不超過v0＝6 m/s.現(xiàn)有甲、乙兩小轎車在收費站前平直公路上分別以v甲＝20 m/s和v乙＝34 m/s的速度勻速行駛，甲車在前，乙車在后．甲車司機發(fā)現(xiàn)正前方收費站，開始以大小為a甲＝2 m/s2的加速度勻減速剎車． (1)甲車司機需在離收費站窗口至少多遠處開始剎車才不違章． (2)若甲車司機經(jīng)剎車到達離收費站窗口前9 m處的速度恰好為6 m/s，乙車司機在發(fā)現(xiàn)甲車剎車時經(jīng)t0＝0.5 s的反應(yīng)時間后開始以大小為a乙＝4 m/s2的加速度勻減速剎車．為避免兩車相撞，且乙車在收費站窗口前9 m區(qū)不超速，

27、則在甲車司機開始剎車時，甲、乙兩車至少相距多遠？ 解析：(1)對甲車，速度由20 m/s減至6 m/s過程中的位移x1＝＝91 m x2＝x0＋x1＝100 m 即：甲車司機需在離收費站窗口至少100 m處開始剎車． (2)設(shè)甲剎車后經(jīng)時間t，甲、乙兩車速度相同，由運動學公式得：v乙－a乙(t－t0)＝v甲－a甲t， 解得t＝8 s 相同速度v＝v甲－a甲t＝4 m/s＜6 m/s，即v＝6 m/s的共同速度為不相撞的臨界條件 乙車從34 m/s減速至6 m/s的過程中的位移為 x3＝v乙t0＋＝157 m 所以要滿足條件甲、乙的距離至少為x＝x3－x1＝66 m. 答案：(1)100 m　(2)66 m 11