機(jī)械制圖教材2
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第二章 點(diǎn)、直線及平面的投影 目的要求: 1)建立中心投影與平行投影的明確概念 2)掌握點(diǎn)、線、面在第一角中各種位置的投影特性和作圖方法 3)掌握直線上點(diǎn)的投影特性以及在平面上作點(diǎn)和直線的方法 4)掌握直線與直線的相對位置及其投影特性 5)了解直角定理的原理及其運(yùn)用 6)掌握直線與平面、平面與平面相交的作圖及可見性的判斷 重點(diǎn)難點(diǎn): 1) 熟練的運(yùn)用點(diǎn)、線、面在各種位置的投影規(guī)律進(jìn)行作圖 2) 掌握和正確運(yùn)用直線上的點(diǎn)和平面上的點(diǎn)和直線的投影規(guī)律 3) 熟練求出直線與平面、平面與平面相交的交點(diǎn)、交線并完成及可見性的判斷 授課學(xué)時(shí):6學(xué)時(shí) 本章主要作圖練習(xí): 1) 已知點(diǎn)的兩投影,完成其第三投影,或已知點(diǎn)的三坐標(biāo),完成其三面投影和軸測投影; 2) 判斷兩點(diǎn)的相對位置和作重影點(diǎn)的投影,并判斷重影點(diǎn)的可見性。 3) 完成直線的三面投影及找出直線上點(diǎn)的投影。 4) 判斷兩直線的位置關(guān)系,利用直線的相對位置關(guān)系完成直線的投影作圖,并作出交叉直線的重影點(diǎn)的投影。 5) 直角投影定理的應(yīng)用,兩直線是否垂直的判斷。 6) 完成平面的三投影并判斷平面相對投影面的位置關(guān)系。 7) 已知點(diǎn)或直線在平面上,而且已知其一個(gè)投影,完成其另外兩投影及判斷點(diǎn)或直線是否在平面上(尤其是特殊位置平面)。 8)求直線與平面、平面與平面的交點(diǎn)和交線并判斷可見性。 授課內(nèi)容: 2-1 投影法基本知識(shí) 一、投影法及其分類 1、投影法的建立 在一定投影條件下,求得空間形體在投影面上的投影的方法,稱為投影法。 投影中心、投影面、投射線、投影 2、投影法的分類 中心投影法(投射線相交于一點(diǎn),投影隨物體與投影中心和投影面的距離變化而改變大小,故不反映空間形體表面的真實(shí)大小和形狀,但富有真實(shí)感) 平行投影法(投射線相互平行,當(dāng)物體平行移動(dòng)時(shí),投影的形狀和大小不改變)——斜投影和正投影。 本課程研究平行投影且主要是正投影,以后“投影”指正投影。 圖2-1 中心投影法及平行投影法 二、正投影的基本性質(zhì) 1、實(shí)形性 當(dāng)線段或平面圖形平行于投影面時(shí),其投影反映實(shí)長或?qū)嵭巍? 2、積聚性 當(dāng)直線或平面圖形垂直于投影面時(shí),其投影積聚成點(diǎn)或直線。 3、類似性 當(dāng)直線或平面圖形既不平行也不垂直于投影面時(shí),直線的投影仍然是直線,平面圖形的投影是原圖形的類似形,但直線或平面圖形的投影小于實(shí)長或?qū)嵭巍? 此外,正投影還有平行性(即空間平行線段的投影仍然平行);定比性(即空間平行線段的長度比在投影中保持不變);從屬性(即幾何元素的從屬關(guān)系在投影中不會(huì)發(fā)生改變,如屬于直線的點(diǎn)的投影必屬于直線的投影,屬于平面的點(diǎn)和線的投影必屬于平面的投影)等性質(zhì)。 圖2-2 正投影的基本性質(zhì) 三、工程中常用的兩種作圖方法 1、多面正投影圖:采用相互垂直的兩個(gè)或兩個(gè)以上的投影面,在每個(gè)投影面上分別用正投影法獲得物體的投影。它有良好的度量性,作圖簡便,但直觀性差。由這些投影能確定幾何形體的空間位置貨物形狀。 2、軸測圖:將物體連同其參考直角坐標(biāo)系,沿不平行于任一坐標(biāo)面的方向,用平行投影法將其投射在單一投影面上所得的具有立體感的圖形。它能反映長、寬、高的形狀,但作圖較繁且度量性差,作輔助圖樣。 2-2 三面投影體系與三視圖 只根據(jù)物體的一個(gè)投影,是不能確定物體形狀的。要反映物體的完整形狀,必須增加由不同投影方向得到的幾個(gè)視圖,互相補(bǔ)充,才能把物體表達(dá)清楚。 一、三投影面體系 由正立投影面V、水平投影面H和側(cè)立投影面W三個(gè)相互垂直的投影面構(gòu)成的投影面體系稱為三投影面體系。正立投影面簡稱為正面或V面、水平投影面簡稱為水平面或H面、側(cè)立投影面簡稱為側(cè)面或W面。三投影面兩兩相交產(chǎn)生的交線OX、OY、OZ,稱為投影軸,簡稱X軸、Y軸、Z軸。 圖2-3 三面投影體系 二、三視圖的形成 將物體放在三投影面體系中,用正投影法,分別向三個(gè)投影面投影可得到物體的三視圖。國標(biāo)規(guī)定的視圖名稱是: 主視圖——由前向后投影,在正面上所得的視圖; 俯視圖——由上向下投影,在水平面上所得的視圖; 左視圖——由左向右投影,在側(cè)面上所得的視圖。 三、三視圖的投影規(guī)律 1、三視圖的位置關(guān)系 三視圖的位置關(guān)系為:主視圖在上,俯視圖在主視圖的正下方,左視圖在主視圖的正右方。按照這種位置配置視圖時(shí),國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定一律不加任何標(biāo)注。 2、投影對應(yīng)關(guān)系及其投影規(guī)律 每個(gè)視圖只能反映物體長、寬、高中的兩個(gè)方向的大?。? 主視圖反映物體的長(x)和高(z); 俯視圖反映物體的長(x)和寬(y); 左視圖反映物體的寬(y)和高(z)。 從物體的投影和投影面的展開過程中,還可看到: 主、左視圖反映了物體上、下方向的同樣高度(等高);物體上各個(gè)面和各條線在主、左視圖上的投影,應(yīng)在高度方向上分別平齊。簡稱“高平齊”; 主、俯視圖反映了物體左、右方向的同樣長度(等長);物體上各個(gè)面和各條線在主、俯視圖上的投影,應(yīng)在長度方向分別對正。簡稱“長對正”; 俯、左視圖反映了物體前、后方向的同樣寬度(等寬);物體上各個(gè)面和各條線在俯、左視圖上的投影,應(yīng)在寬度方向上相等。簡稱“寬相等”。 上述三條投影規(guī)律,尤其是最后一條,必須在初步理解的基礎(chǔ)上,經(jīng)過畫圖和看圖的反復(fù)實(shí)踐,逐步達(dá)到熟練和融會(huì)貫通的程度。 3、物體的方位關(guān)系 主視圖反映了物體上下、左右的方位關(guān)系; 俯視圖反映了物體左右、前后的方位關(guān)系; 左視圖反映了物體上下、前后的方位關(guān)系。 初學(xué)者應(yīng)特別注意對照直觀圖和平面圖,熟悉展開和還原過程,以便在平面圖上準(zhǔn)確判斷物體不同的方位關(guān)系,尤其是前后方位。 圖2-4 三視圖的形成及其投影規(guī)律 2-3 點(diǎn)的投影 一、點(diǎn)的三面投影及投影規(guī)律 點(diǎn)的投影仍為一點(diǎn),且空間點(diǎn)在一個(gè)投影面上有惟一的投影。但已知點(diǎn)的一個(gè)投影, 不能惟一確定點(diǎn)的空間位置。 將點(diǎn)A放在三投影面體系中分別向三個(gè)投影面V面、H面、W面作正投影,得到點(diǎn)A的水平投影a、正面投影a′、側(cè)面投影a″。(關(guān)于空間點(diǎn)及其投影的標(biāo)記規(guī)定為:空間點(diǎn)用大寫字母A、B、C…表示,水平投影相應(yīng)用a、b、c…表示,正面投影相應(yīng)用a′、 b′、c′…表示,側(cè)面投影相應(yīng)用a″、b″、c″…表示。) 圖2-5 點(diǎn)的投影及其投影規(guī)律 將投影面體系展開,去掉投影面的邊框,保留投影軸,便得到點(diǎn)A的三面投影圖。 由圖2-5可以得出點(diǎn)在三投影面體系的投影規(guī)律是: (1)點(diǎn)A的V面投影和H面投影的連線垂直于OX軸,即a′a⊥OX;(長對正) (2)點(diǎn)A的V面投影和W面投影的連線垂直于OZ軸,即a′a″⊥OZ;(高平齊) (3)點(diǎn)A的H面投影到OX軸的距離等于點(diǎn)A的W面投影到OZ軸的距離,即aax= a″az(寬相等),可以用圓弧或45線來反映該關(guān)系。 二、點(diǎn)的三面投影與其直角坐標(biāo)的關(guān)系 水平投影由X與Y坐標(biāo)確定;正面投影由X與Z坐標(biāo)確定;側(cè)面投影由Y與Z坐標(biāo)確定。點(diǎn)的任何兩個(gè)投影可反映點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo),即確定該點(diǎn)的空間位置??臻g點(diǎn)在三面投影體系中有唯一確定的一組投影。 三、點(diǎn)的軸測投影 點(diǎn)的軸測投影圖即根據(jù)點(diǎn)的投影圖繪制的直觀圖??梢园淹队懊娈?dāng)作坐標(biāo)面,把投影軸當(dāng)作坐標(biāo)軸,這時(shí)O點(diǎn)即為坐標(biāo)原點(diǎn)。 規(guī)定X軸從O點(diǎn)向左為正,Y軸從O點(diǎn)向前為正,Z軸從O點(diǎn)向上為正。 X(Y,Z)坐標(biāo)用A點(diǎn)到W(V,H)面的距離表示。 四、兩點(diǎn)的相對位置 在投影圖上判斷空間兩個(gè)點(diǎn)的相對位置,就是分析兩點(diǎn)之間上下、左右和前后的關(guān)系。 由正面投影或側(cè)面投影判斷上下關(guān)系(Z坐標(biāo)差); 由正面投影或水平投影判斷左右關(guān)系(X坐標(biāo)差); 由水平投影或側(cè)面投影判斷前后關(guān)系(Y坐標(biāo)差)。 圖2-6 兩點(diǎn)的相對位置 五、重影點(diǎn)及其投影的可見性 當(dāng)空間兩點(diǎn)位于某一投影面的同上條投射線(即其有兩對坐標(biāo)值分別相等),則此兩點(diǎn)在該投影面上的投影重合為一點(diǎn),此兩點(diǎn)稱為對該投影面的重影點(diǎn)。為區(qū)分重影點(diǎn)的可見性,規(guī)定觀察方向與投影面的投射方向一致,即對V面由前向后,對H面由上向下,對W面由左向右。因此,距觀察者近之點(diǎn)的投影為可見,反之為不可見。 當(dāng)空間兩點(diǎn)有兩對坐標(biāo)值分別相等時(shí),則該兩點(diǎn)必有重合投影,其可見性由重影點(diǎn)的一對不等的坐標(biāo)值來確定,坐標(biāo)值大者為可見,小者為不可見。 圖2-7 重影點(diǎn) 2-4 直線的投影 一、直線的投影圖 作直線投影圖,只需作出直線上任意兩點(diǎn)的投影,并連接該兩點(diǎn)在同一投影面上的投影即可。 三面投影面體系中,空間形體距投影面的遠(yuǎn)近不影響投影的形狀大小,所以不畫投影圖。 空間直線在某一投影面上的投影長度,與直線對該投影面的傾角大小有關(guān)。 二、各種位置直線的投影特性 按照直線對三投影面的相對位置,可以將直線分為三種: 一般位置直線——與三投影面都傾斜的直線; 投影面平行線——平行于一個(gè)投影面,傾斜于另兩投影面的直線; 投影面垂直線——垂直于一個(gè)投影面,平行于另兩投影面的直線。 投影面平行線和投影面垂直線又稱為特殊位置直線。 1、一般位置直線 一般位置直線的投影特性如下(圖2-15): (1)三面投影都傾斜于投影軸; (2)投影長度均比實(shí)長短,且不能反映與投影面傾角的真實(shí)大小。 2、投影面平行線 投影面平行線又可分為三種: (1)平行于V面的直線稱為正平線; (2)平行于H面的直線稱為水平線; (3)平行于W面的直線稱為側(cè)平線。 投影特性:在它所不平行的兩個(gè)投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸,不反映實(shí)長;在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)長,其與投影軸的夾角,分別反映該直線對另兩投影面的真實(shí)傾角。 3、投影面垂直線 投影面垂直線同樣可以分為三種: (1)垂直于正面的直線稱為正垂線; (2)垂直于水平面的直線稱為鉛垂線; (3)垂直于側(cè)面的直線稱為側(cè)垂線。 投影特性:在所垂直的投影面上的投影積聚為一點(diǎn);在另兩個(gè)投影面上的投影垂直于相應(yīng)的投影軸,反映實(shí)長。 三、直線上的點(diǎn) 點(diǎn)在直線上,則點(diǎn)的各個(gè)投影必在該直線的同面投影上,且點(diǎn)分直線的兩線段長度之比等于其投影長度之比;反之亦然。 四、兩直線的相對位置 空間兩直線的相對位置有平行、相交和交叉三種。 1) 兩直線平行:其同面投影必平行,且兩平行線段長度之比等于其投影長度之比。注意:當(dāng)直線為某投影面平行線時(shí),應(yīng)檢查在該投影面上的投影是否平行。 2) 兩直線相交:其同面投影必相交,且交點(diǎn)的投影符合點(diǎn)的投影規(guī)律。 3) 兩直線交叉:異面兩直線。 注意:當(dāng)交叉直線的投影的交點(diǎn)為重影點(diǎn)時(shí),應(yīng)判別其可見性。 圖2-7 直線位置關(guān)系的判斷 舉例:見圖2-7,判斷所示兩直線位置關(guān)系,可以有三種方法:1)定比性;2)補(bǔ)投影;3)將AD與BC相連,判斷其是否相交,進(jìn)而判斷AB與CD是否平行。 五、直角的投影 直角投影定理 空間垂直的兩直線(相交或交叉),若其中的一直線平行于某投影面時(shí),則二直線在該投影面上的投影仍為直角。反之,若兩直線在某投影面上的投影為直角,且其中有一直線平行于該投影面時(shí),則該兩直線在空間必互相垂直。 圖2-8 直角投影定理 應(yīng)用直角投影定理可以解決空間成直角的情況在投影圖上的作圖,例如求距離、直角三角形、等腰三角形、長方形、正方形、菱形等的投影作圖問題。圖2-9就是一個(gè)求距離的例子。 圖2-9 求兩交叉直線間的距離 2-5 平面的投影 一、平面的表示法 由幾何學(xué)可知,平面可由下列幾何元素確定:不在同一條直線上的三點(diǎn);一直線及直線外一點(diǎn);兩相交直線;兩平行直線;任意的平面圖形。 二、各種位置平面的投影特性 平面對投影面的位置有三種: 一般位置平面——與三個(gè)投影面都傾斜的平面; 投影面垂直面——垂直于一個(gè)投影面,與另外兩個(gè)投影面傾斜的平面; 投影面平行面——平行于一個(gè)投影面,垂直于另兩個(gè)投影面的平面。 1、一般位置平面 傾斜于V、H、W面,是一般位置平面。 一般位置的平面的投影特性:它的三個(gè)投影仍是平面圖形,而且面積縮小,平面與三個(gè)投影面的傾角也不能在投影上反映出來。 圖2-10 一般位置平面的投影 2、投影面垂直面 投影面垂直面可分為三種: (1)垂直于V面的平面稱為正垂面; (2)垂直于H面的平面稱為鉛垂面; (3)垂直于W面的平面稱為側(cè)垂面。 投影特性:在所垂直的投影面上的投影積聚為一斜直線,此投影與相應(yīng)投影軸的夾角分別反映該平面與另兩個(gè)投影面的傾角;該平面在另兩個(gè)投影面上的投影均為類似性。 判定:若平面的三個(gè)投影中有一個(gè)投影是斜直線,則它一定是該投影面的垂直面。 3、投影面平行面 投影面平行面又可分為三種: (1)平行于V面的平面稱為正平面; (2)平行于H面的平面稱為水平面; (3)平行于W面的平面稱為側(cè)平面。 投影特性:在所平行的投影面上的投影反映實(shí)形,其它兩個(gè)投影都積聚成直線且平行于相應(yīng)的投影軸。 判定:若平面的三個(gè)投影中有一個(gè)投影積聚成直線,并與該投影面的投影軸平行或垂直,則它一定是某個(gè)投影面的平行面。 小結(jié): 平面垂直于投影面時(shí),它的投影積聚成一條直線——積聚性。 平面平行于投影面時(shí),它的投影反映實(shí)形——實(shí)形性(真實(shí)性) 平面傾斜于投影面時(shí),它的投影為類似圖形——類似性 平面圖形的三個(gè)投影中,至少有一個(gè)投影是封閉線框。反之,投影圖上的一個(gè)封閉線框一般表示空間的一個(gè)面的投影。 三、平面內(nèi)的點(diǎn)和直線 1) 平面內(nèi)的直線 直線在平面內(nèi)的幾何條件:若一直線通過平面上的兩點(diǎn)或通過平面內(nèi)的一點(diǎn),并且平行于平面上的另一直線,則此直線必在該平面內(nèi)。 2) 平面內(nèi)的點(diǎn) 點(diǎn)在平面內(nèi)的幾何條件;若點(diǎn)位于平面內(nèi)任一直線上,則此點(diǎn)在該平面內(nèi)。即平面內(nèi)取點(diǎn),必先在平面內(nèi)作輔助線,然后在該直線上取點(diǎn)。 圖2-11 平面上的點(diǎn)和直線 四、直線與平面、平面與平面平行 直線與平面平行的幾何條件是:直線平行于平面內(nèi)的任一直線。 平面與平面平行的幾何條件是:一平面內(nèi)的兩相交直線平行于另一平面內(nèi)的兩相交直線。 圖2-12 直線與平面 平面與平面平行 五、直線與平面、平面與平面相交 直線與平面、平面與平面的相對位置,凡不符合平行幾何條件的,則必然相交。在此只討論平面處于與投影面垂直的特殊位置,即平面的投影具有積聚性的情況。 1、直線與平面相交 直線與平面相交的交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn),當(dāng)需判斷直線投影的可見性時(shí),交點(diǎn)又是直線各投影可見與不可見的分界點(diǎn)。 圖2-13 一般位置直線與特殊位置平面相交 (2)平面與平面相交 兩平面相交的交線是兩平面的共有線,當(dāng)需要判斷平面投影的可見性時(shí),交線又是平面 圖2-14 投影面垂直面與一般位置平面相交 各投影可見與不可見的分界線。 兩平面的交線是直線,只要求出兩個(gè)共有點(diǎn),交線就可以確定了。 可以利用求投影面垂直面與一般位置直線的交點(diǎn)的方法來求交線。 圖2-15 兩鉛垂面相交 當(dāng)兩鉛垂面相交時(shí),交線MN是鉛垂線。兩鉛垂面的H面積聚投影的交點(diǎn)就是交線MN的水平投影。由此可求出交線MN的正面投影,并由水平投影直接判斷出可見性。 六、直線與平面、平面與平面垂直 1、直線與平面垂直 由幾何學(xué)可知:一直線若垂直于一平面上任意兩相交直線,則直線垂直于該平面,且直線垂直于該平面上的所有直線。在此只討論平面是投影面垂直面的特殊情況。 當(dāng)直線垂直于投影面垂直面時(shí),該直線必平行于平面所垂直的投影面。圖中直線AB垂直于鉛垂面CDEF,AB必定是水平線,且ab⊥cdef。 同理,與正垂面垂直的直線是正平線,它們的正面投影相互垂直;與側(cè)垂面垂直的直線是側(cè)平線,而且它們的側(cè)面投影互相垂直。 圖2-16 直線與鉛垂面垂直 2、平面與平面垂直 兩平面相互垂直的幾何條件是:若一直線垂直于平面,則包含這條直線所作的任何平面均與已知平面垂直。直線AB⊥P,則包含AB所作的平面Q、R均與P面垂直。 反之,若兩平面垂直,則由一個(gè)平面內(nèi)任一點(diǎn)作另一平面的垂線,該垂線必然屬于前一平面。 特殊情況,當(dāng)兩個(gè)互相垂直的平面垂直于同一投影面時(shí),兩平面有積聚性的同面投影必定垂直,交線是該投影面的垂直線。 如圖2-17所示,兩鉛垂面ABCD、CDEF互相垂直,它們的H面具有積聚性的投影互相垂直相交,交點(diǎn)是兩平面的交線——鉛垂線的積聚投影。 圖2-17 兩鉛垂面相互垂直- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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