2018年陜西省中考數(shù)學(xué)試卷及答案解析word版

2018年陜西省中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題3分，計(jì)30分。每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的）1（3分）的倒數(shù)是（）ABCD分析:根據(jù)倒數(shù)的定義，互為倒數(shù)的兩數(shù)乘積為1，即可解答解答:解：的倒數(shù)是，故選：D2（3分）如圖，是一個(gè)幾何體的表面展開圖，則該幾何體是（）A正方體B長方體C三棱柱D四棱錐分析:由展開圖得這個(gè)幾何體為棱柱，底面為三邊形，則為三棱柱解答:解：由圖得，這個(gè)幾何體為三棱柱故選：C3（3分）如圖，若l1l2，l3l4，則圖中與1互補(bǔ)的角有（）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)分析:直接利用平行線的性質(zhì)得出相等的角以及互補(bǔ)的角進(jìn)而得出答案解答:解：l1l2，l3l4，1+2=180，2=4，4=5，2=3，圖中與1互補(bǔ)的角有：2，3，4，5共4個(gè)故選：D4（3分）如圖，在矩形AOBC中，A（2，0），B（0，1）若正比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，則k的值為（）ABC2D2分析:根據(jù)矩形的性質(zhì)得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再將點(diǎn)C坐標(biāo)代入解析式求解可得解答:解：A（2，0），B（0，1）OA=2、OB=1，四邊形AOBC是矩形，AC=OB=1、BC=OA=2，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，1），將點(diǎn)C（2，1）代入y=kx，得：1=2k，解得：k=，故選：A5（3分）下列計(jì)算正確的是（）Aa2a2=2a4B（a2）3=a6C3a26a2=3a2D（a2）2=a24分析:根據(jù)同底數(shù)冪相乘、冪的乘方、合并同類項(xiàng)法則及完全平方公式逐一計(jì)算可得解答:解：A、a2a2=a4，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、（a2）3=a6，此選項(xiàng)正確；C、3a26a2=3a2，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、（a2）2=a24a+4，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B6（3分）如圖，在ABC中，AC=8，ABC=60，C=45，ADBC，垂足為D，ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，則AE的長為（）AB2CD3分析:在RtADC中，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可求出AD的長度，在RtADB中，由AD的長度及ABD的度數(shù)可求出BD的長度，在RtEBD中，由BD的長度及EBD的度數(shù)可求出DE的長度，再利用AE=ADDE即可求出AE的長度解答:解：ADBC，ADC=ADB=90在RtADC中，AC=8，C=45，AD=CD，AD=AC=4在RtADB中，AD=4，ABD=60，BD=AD=BE平分ABC，EBD=30在RtEBD中，BD=，EBD=30，DE=BD=，AE=ADDE=故選：C7（3分）若直線l1經(jīng)過點(diǎn)（0，4），l2經(jīng)過點(diǎn)（3，2），且l1與l2關(guān)于x軸對稱，則l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為（）A（2，0）B（2，0）C（6，0）D（6，0）分析:根據(jù)對稱的性質(zhì)得出兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于x軸對稱的對稱點(diǎn)，再根據(jù)待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式，求出一次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)即可解答:解：直線l1經(jīng)過點(diǎn)（0，4），l2經(jīng)過點(diǎn)（3，2），且l1與l2關(guān)于x軸對稱，兩直線相交于x軸上，直線l1經(jīng)過點(diǎn)（0，4），l2經(jīng)過點(diǎn)（3，2），且l1與l2關(guān)于x軸對稱，直線l1經(jīng)過點(diǎn)（3，2），l2經(jīng)過點(diǎn)（0，4），把（0，4）和（3，2）代入直線l1經(jīng)過的解析式y(tǒng)=kx+b，則，解得：，故直線l1經(jīng)過的解析式為：y=2x+4，可得l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為l1與l2與x軸的交點(diǎn)，解得：x=2，即l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）故選：B8（3分）如圖，在菱形ABCD中點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD和DA的中點(diǎn)，連接EF、FG、GH和HE若EH=2EF，則下列結(jié)論正確的是（）AAB=EFBAB=2EFCAB=EFDAB=EF分析:連接AC、BD交于O，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到ACBD，OA=OC，OB=OD，根據(jù)三角形中位線定理、矩形的判定定理得到四邊形EFGH是矩形，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可解答:解：連接AC、BD交于O，四邊形ABCD是菱形，ACBD，OA=OC，OB=OD，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD和DA的中點(diǎn)，EF=AC，EFAC，EH=BD，EHBD，四邊形EFGH是矩形，EH=2EF，OB=2OA，AB=OA，AB=EF，故選：D9（3分）如圖，ABC是O的內(nèi)接三角形，AB=AC，BCA=65，作CDAB，并與O相交于點(diǎn)D，連接BD，則DBC的大小為（）A15B35C25D45分析:根據(jù)等腰三角形性質(zhì)知CBA=BCA=65，A=50，由平行線的性質(zhì)及圓周角定理得ABD=ACD=A=50，從而得出答案解答:解：AB=AC、BCA=65，CBA=BCA=65，A=50，CDAB，ACD=A=50，又ABD=ACD=50，DBC=CBAABD=15，故選：A10（3分）對于拋物線y=ax2+（2a1）x+a3，當(dāng)x=1時(shí)，y0，則這條拋物線的頂點(diǎn)一定在（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限分析:把x=1代入解析式，根據(jù)y0，得出關(guān)于a的不等式，得出a的取值范圍后，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可解答:解：把x=1，y0代入解析式可得：a+2a1+a30，解得：a1，所以可得：，所以這條拋物線的頂點(diǎn)一定在第三象限，故選：C2、 填空題3、 11（3分）比較大?。?（填“”、“”或“=”）分析:首先把兩個(gè)數(shù)平方法，由于兩數(shù)均為正數(shù)，所以該數(shù)的平方越大數(shù)越大解答:解：32=9，=10，312（3分）如圖，在正五邊形ABCDE中，AC與BE相交于點(diǎn)F，則AFE的度數(shù)為72分析:根據(jù)五邊形的內(nèi)角和公式求出EAB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)計(jì)算即可解答:解：五邊形ABCDE是正五邊形，EAB=ABC=108，BA=BC，BAC=BCA=36，同理ABE=36，AFE=ABF+BAF=36+36=72，故答案為：7213（3分）若一個(gè)反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（m，m）和B（2m，1），則這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為分析:設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=，依據(jù)反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（m，m）和B（2m，1），即可得到k的值，進(jìn)而得出反比例函數(shù)的表達(dá)式為解答:解：設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（m，m）和B（2m，1），k=m2=2m，解得m1=2，m2=0（舍去），k=4，反比例函數(shù)的表達(dá)式為故答案為：14（3分）如圖，點(diǎn)O是ABCD的對稱中心，ADAB，E、F是AB邊上的點(diǎn)，且EF=AB；G、H是BC邊上的點(diǎn)，且GH=BC，若S1，S2分別表示EOF和GOH的面積，則S1與S2之間的等量關(guān)系是=分析:根據(jù)同高的兩個(gè)三角形面積之比等于底邊之比得出=，=，再由點(diǎn)O是ABCD的對稱中心，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得SAOB=SBOC=SABCD，從而得出S1與S2之間的等量關(guān)系解答:解：=，=，S1=SAOB，S2=SBOC點(diǎn)O是ABCD的對稱中心，SAOB=SBOC=SABCD，=即S1與S2之間的等量關(guān)系是=故答案為=三、解答題15（5分）計(jì)算：（）（）+|1|+（52）0分析:先進(jìn)行二次根式的乘法運(yùn)算，再利用絕對值的意義和零指數(shù)冪的意義計(jì)算，然后合并即可解答:解：原式=+1+1=3+1+1=416（5分）化簡：（）分析:先將括號(hào)內(nèi)分式通分、除式的分母因式分解，再計(jì)算減法，最后除法轉(zhuǎn)化為乘法后約分即可得解答:解：原式=17（5分）如圖，已知：在正方形ABCD中，M是BC邊上一定點(diǎn)，連接AM請用尺規(guī)作圖法，在AM上作一點(diǎn)P，使DPAABM（不寫作法，保留作圖痕跡）分析:過D點(diǎn)作DPAM，利用相似三角形的判定解答即可解答:解：如圖所示，點(diǎn)P即為所求：DPAM，APD=ABM=90，BAM+PAD=90，PAD+ADP=90，BAM=ADP，DPAABM18（5分）如圖，ABCD，E、F分別為AB、CD上的點(diǎn)，且ECBF，連接AD，分別與EC、BF相交于點(diǎn)G，H，若AB=CD，求證：AG=DH分析:由ABCD、ECBF知四邊形BFCE是平行四邊形、A=D，從而得出AEG=DFH、BE=CF，結(jié)合AB=CD知AE=DF，根據(jù)ASA可得AEGDFH，據(jù)此即可得證解答:證明：ABCD、ECBF，四邊形BFCE是平行四邊形，A=D，BEC=BFC，BE=CF，AEG=DFH，AB=CD，AE=DF，在AEG和DFH中，AEGDFH（ASA），AG=DH19（7分）對垃圾進(jìn)行分類投放，能有效提高對垃圾的處理和再利用，減少污染，保護(hù)環(huán)境為了了解同學(xué)們對垃圾分類知識(shí)的了解程度，增強(qiáng)同學(xué)們的環(huán)保意識(shí)，普及垃圾分類及投放的相關(guān)知識(shí)，某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們設(shè)計(jì)了“垃圾分類知識(shí)及投放情況”問卷，并在本校隨機(jī)抽取若干名同學(xué)進(jìn)行了問卷測試根據(jù)測試成績分布情況，他們將全部測試成績分成A、B、C、D四組，繪制了如下統(tǒng)計(jì)圖表：“垃圾分類知識(shí)及投放情況”問卷測試成績統(tǒng)計(jì)表組別分?jǐn)?shù)/分頻數(shù)各組總分/分A60x70382581B70x80725543C80x90605100D90x100m2796依據(jù)以上統(tǒng)計(jì)信息解答下列問題：（1）求得m=30，n=19%；（2）這次測試成績的中位數(shù)落在B組；（3）求本次全部測試成績的平均數(shù)分析:（1）用B組人數(shù)除以其所占百分比求得總?cè)藬?shù)，再用總?cè)藬?shù)減去A、B、C組的人數(shù)可得m的值，用A組人數(shù)除以總?cè)藬?shù)可得n的值；（2）根據(jù)中位數(shù)的定義求解可得；（3）根據(jù)平均數(shù)的定義計(jì)算可得解答:解：（1）被調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為7236%=200人，m=200（38+72+60）=30，n=100%=19%，故答案為：30、19%；（2）共有200個(gè)數(shù)據(jù)，其中第100、101個(gè)數(shù)據(jù)均落在B組，中位數(shù)落在B組，故答案為：B；（3）本次全部測試成績的平均數(shù)為=80.1（分）20（7分）周末，小華和小亮想用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測量家門前小河的寬測量時(shí)，他們選擇了河對岸岸邊的一棵大樹，將其底部作為點(diǎn)A，在他們所在的岸邊選擇了點(diǎn)B，使得AB與河岸垂直，并在B點(diǎn)豎起標(biāo)桿BC，再在AB的延長線上選擇點(diǎn)D，豎起標(biāo)桿DE，使得點(diǎn)E與點(diǎn)C、A共線已知：CBAD，EDAD，測得BC=1m，DE=1.5m，BD=8.5m測量示意圖如圖所示請根據(jù)相關(guān)測量信息，求河寬AB分析:由BCDE，可得=，構(gòu)建方程即可解決問題解答:解：BCDE，ABCADE，=，=，AB=17（m），經(jīng)檢驗(yàn)：AB=17是分式方程的解，答：河寬AB的長為17米21（7分）經(jīng)過一年多的精準(zhǔn)幫扶，小明家的網(wǎng)絡(luò)商店（簡稱網(wǎng)店）將紅棗、小米等優(yōu)質(zhì)土特產(chǎn)迅速銷往全國小明家網(wǎng)店中紅棗和小米這兩種商品的相關(guān)信息如下表：商品紅棗小米規(guī)格1kg/袋2kg/袋成本（元/袋）4038售價(jià)（元/袋）6054根據(jù)上表提供的信息，解答下列問題：（1）已知今年前五個(gè)月，小明家網(wǎng)店銷售上表中規(guī)格的紅棗和小米共3000kg，獲得利潤4.2萬元，求這前五個(gè)月小明家網(wǎng)店銷售這種規(guī)格的紅棗多少袋；（2）根據(jù)之前的銷售情況，估計(jì)今年6月到10月這后五個(gè)月，小明家網(wǎng)店還能銷售上表中規(guī)格的紅棗和小米共2000kg，其中，這種規(guī)格的紅棗的銷售量不低于600kg假設(shè)這后五個(gè)月，銷售這種規(guī)格的紅棗為x（kg），銷售這種規(guī)格的紅棗和小米獲得的總利潤為y（元），求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求這后五個(gè)月，小明家網(wǎng)店銷售這種規(guī)格的紅棗和小米至少獲得總利潤多少元分析:（1）設(shè)這前五個(gè)月小明家網(wǎng)店銷售這種規(guī)格的紅棗x袋根據(jù)總利潤=42000，構(gòu)建方程即可；（2）構(gòu)建一次函數(shù)，利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；解答:解：（1）設(shè)這前五個(gè)月小明家網(wǎng)店銷售這種規(guī)格的紅棗x袋由題意：20x+16=42000解得x=1500，答：這前五個(gè)月小明家網(wǎng)店銷售這種規(guī)格的紅棗1500袋（2）由題意：y=20x+16=12x+16000，600x2000，當(dāng)x=600時(shí)，y有最小值，最小值為23200元答：這后五個(gè)月，小明家網(wǎng)店銷售這種規(guī)格的紅棗和小米至少獲得總利潤23200元22（7分）如圖，可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤被它的兩條直徑分成了四個(gè)分別標(biāo)有數(shù)字的扇形區(qū)域，其中標(biāo)有數(shù)字“1”的扇形的圓心角為120轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，待轉(zhuǎn)盤自動(dòng)停止后，指針指向一個(gè)扇形的內(nèi)部，則該扇形內(nèi)的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的數(shù)字，此時(shí)，稱為轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次（若指針指向兩個(gè)扇形的交線，則不計(jì)轉(zhuǎn)動(dòng)的次數(shù)，重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，直到指針指向一個(gè)扇形的內(nèi)部為止）（1）轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，求轉(zhuǎn)出的數(shù)字是2的概率；（2）轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤兩次，用樹狀圖或列表法求這兩次分別轉(zhuǎn)出的數(shù)字之積為正數(shù)的概率分析:（1）將標(biāo)有數(shù)字1和3的扇形兩等分可知轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次共有6種等可能結(jié)果，其中轉(zhuǎn)出的數(shù)字是2的有2種結(jié)果，根據(jù)概率公式計(jì)算可得；（2）列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到乘積為正數(shù)的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式求解可得解答:解：（1）將標(biāo)有數(shù)字1和3的扇形兩等分可知轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次共有6種等可能結(jié)果，其中轉(zhuǎn)出的數(shù)字是2的有2種結(jié)果，所以轉(zhuǎn)出的數(shù)字是2的概率為=；（2）列表如下：221133244226624422661221133122113336633993663399由表可知共有36種等可能結(jié)果，其中數(shù)字之積為正數(shù)的有20種結(jié)果，所以這兩次分別轉(zhuǎn)出的數(shù)字之積為正數(shù)的概率為=23（8分）如圖，在RtABC中，ACB=90，以斜邊AB上的中線CD為直徑作O，分別與AC、BC交于點(diǎn)M、N（1）過點(diǎn)N作O的切線NE與AB相交于點(diǎn)E，求證：NEAB；（2）連接MD，求證：MD=NB分析:（1）連接ON，如圖，根據(jù)斜邊上的中線等于斜邊的一半得到CD=AD=DB，則1=B，再證明2=B得到ONDB，接著根據(jù)切線的性質(zhì)得到ONNE，然后利用平行線的性質(zhì)得到結(jié)論；（2）連接DN，如圖，根據(jù)圓周角定理得到CMD=CND=90，則可判斷四邊形CMDN為矩形，所以DM=CN，然后證明CN=BN，從而得到MD=NB解答:證明：（1）連接ON，如圖，CD為斜邊AB上的中線，CD=AD=DB，1=B，OC=ON，1=2，2=B，ONDB，NE為切線，ONNE，NEAB；（2）連接DN，如圖，CD為直徑，CMD=CND=90，而MCB=90，四邊形CMDN為矩形，DM=CN，DNBC，1=B，CN=BN，MD=NB24（10分）已知拋物線L：y=x2+x6與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），并與y軸相交于點(diǎn)C（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并求ABC的面積；（2）將拋物線L向左或向右平移，得到拋物線L，且L與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），并與y軸相交于點(diǎn)C，要使ABC和ABC的面積相等，求所有滿足條件的拋物線的函數(shù)表達(dá)式分析:（1）解方程x2+x6=0得A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算自變量為0的函數(shù)值得到C點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用三角形面積公式計(jì)算ABC的面積；（2）利用拋物線平移得到AB=AB=5，再利用ABC和ABC的面積相等得到C（0，6）或（0，6），則設(shè)拋物線L的解析式為y=x2+bx6或y=x2+bx+6，當(dāng)m+n=b，mn=6，然后利用|nm|=5得到b24（6）=25，于是解出b得到拋物線L的解析式；當(dāng)m+n=b，mn=6，利用同樣方法可得到對應(yīng)拋物線L的解析式解答:解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，x2+x6=0，解得x1=3，x2=2，A（3，0），B（2，0），當(dāng)x=0時(shí)，y=x2+x6=6，C（0，6），ABC的面積=ABOC=（2+3）6=15；（2）拋物線L向左或向右平移，得到拋物線L，AB=AB=5，ABC和ABC的面積相等，OC=OC=6，即C（0，6）或（0，6），設(shè)拋物線L的解析式為y=x2+bx6或y=x2+bx+6設(shè)A（m，0）、B（n，0），當(dāng)m、n為方程x2+bx6=0的兩根，m+n=b，mn=6，|nm|=5，（nm）2=25，（m+n）24mn=25，b24（6）=25，解得b=1或1，拋物線L的解析式為y=x2x6當(dāng)m、n為方程x2+bx+6=0的兩根，m+n=b，mn=6，|nm|=5，（nm）2=25，（m+n）24mn=25，b246=25，解得b=7或7，拋物線L的解析式為y=x2+7x+6或y=x27x+6綜上所述，拋物線L的解析式為y=x2x6或y=x2+7x+6或y=x27x+625（12分）問題提出（1）如圖，在ABC中，A=120，AB=AC=5，則ABC的外接圓半徑R的值為5問題探究（2）如圖，O的半徑為13，弦AB=24，M是AB的中點(diǎn)，P是O上一動(dòng)點(diǎn)，求PM的最大值問題解決（3）如圖所示，AB、AC、是某新區(qū)的三條規(guī)劃路，其中AB=6km，AC=3km，BAC=60，所對的圓心角為60，新區(qū)管委會(huì)想在路邊建物資總站點(diǎn)P，在AB，AC路邊分別建物資分站點(diǎn)E、F，也就是，分別在、線段AB和AC上選取點(diǎn)P、E、F由于總站工作人員每天都要將物資在各物資站點(diǎn)間按PEFP的路徑進(jìn)行運(yùn)輸，因此，要在各物資站點(diǎn)之間規(guī)劃道路PE、EF和FP為了快捷、環(huán)保和節(jié)約成本要使得線段PE、EF、FP之和最短，試求PE+EF+FP的最小值（各物資站點(diǎn)與所在道路之間的距離、路寬均忽略不計(jì)）分析:（1）設(shè)O是ABC的外接圓的圓心，易證ABO是等邊三角形，所以AB=OA=OB=5；（2）當(dāng)PMAB時(shí)，此時(shí)PM最大，連接OA，由垂徑定理可知：AM=AB=12，再由勾股定理可知：OM=5，所以PM=OM+OP=18，（3）設(shè)連接AP，OP，分別以AB、AC所在直線為對稱軸，作出P關(guān)于AB的對稱點(diǎn)為M，P關(guān)于AC的對稱點(diǎn)為N，連接MN，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，連接PE、PF，所以AM=AP=AN，設(shè)AP=r，易求得：MN=r，所以PE+EF+PF=ME+EF+FN=MN=r，即當(dāng)AP最小時(shí)，PE+EF+PF可取得最小值解答:解：（1）設(shè)O是ABC的外接圓的圓心，OA=OB=OC，A=120，AB=AC=5，ABO是等邊三角形，AB=OA=OB=5，（2）當(dāng)PMAB時(shí)，此時(shí)PM最大，連接OA，由垂徑定理可知：AM=AB=12，OA=13，由勾股定理可知：OM=5，PM=OM+OP=18，（3）設(shè)連接AP，OP分別以AB、AC所在直線為對稱軸，作出P關(guān)于AB的對稱點(diǎn)為M，P關(guān)于AC的對稱點(diǎn)為N，連接MN，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，連接PE、PF，AM=AP=AN，MAB=PAB，NAC=PAC，BAC=PAB+PAC=MAB+NAC=60，MAN=120M、P、N在以A為圓心，AP為半徑的圓上，設(shè)AP=r，易求得：MN=r，PE=ME，PF=FN，PE+EF+PF=ME+EF+FN=MN=r，當(dāng)AP最小時(shí)，PE+EF+PF可取得最小值，AP+OPOA，APOAOP，即點(diǎn)P在OA上時(shí)，AP可取得最小值，設(shè)AB的中點(diǎn)為Q，AQ=AC=3，BAC=60，AQ=QC=AC=BQ=3，ABC=QCB=30，ACB=90，由勾股定理可知：BC=3，BOC=60，OB=OC=3，OBC是等邊三角形，OBC=60，ABO=90由勾股定理可知：OA=3，OP=OB=3，AP=r=OAOP=33，PE+EF+PF=MN=r=39PE+EF+PF的最小值為（39）km第22頁（共22頁）