2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 參數(shù)方程 二 2 雙曲線的參數(shù)方程 3 拋物線的參數(shù)方程教學(xué)案 新人教A版選修4-4

《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 參數(shù)方程 二 2 雙曲線的參數(shù)方程 3 拋物線的參數(shù)方程教學(xué)案 新人教A版選修4-4》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 參數(shù)方程 二 2 雙曲線的參數(shù)方程 3 拋物線的參數(shù)方程教學(xué)案 新人教A版選修4-4（6頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2．～3.雙曲線的參數(shù)方程　拋物線的參數(shù)方程 　　　　　　　　　　　　 1．雙曲線的參數(shù)方程 (1)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線－＝1的參數(shù)方程是規(guī)定參數(shù)φ的取值范圍為φ∈[0,2π)且φ≠，φ≠. (2)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線－＝1的參數(shù)方程是 2．拋物線的參數(shù)方程 (1)拋物線y2＝2px的參數(shù)方程為t∈R. (2)參數(shù)t的幾何意義是拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù)． 　　　　　　　　　　　　 雙曲線、拋物線參數(shù)方程的基本問題 [例1]　(1)雙曲線(α為參數(shù))的焦點(diǎn)坐標(biāo)是________． (2)將方程化為普通方程是__

2、______． [思路點(diǎn)撥]　(1)可先將方程化為普通方程求解； (2)利用代入法消去t. [解析]　(1)將化為－＝1， 可知雙曲線焦點(diǎn)在y軸，且c＝＝4， 故焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，±4)． (2)由y＝＝＝tan2t， 將tan t＝x代入上式，得y＝x2，即為所求方程． [答案]　(1)(0，±4)；(2)y＝x2. (1)解決此類問題要熟練掌握雙曲線與拋物線的參數(shù)方程，特別是將參數(shù)方程化為普通方程，還要明確參數(shù)的意義． (2)對雙曲線的參數(shù)方程，如果x對應(yīng)的參數(shù)形式是sec φ，則焦點(diǎn)在x軸上；如果y對應(yīng)的參數(shù)形式是sec φ，則焦點(diǎn)在y軸上． 1．如果雙曲

3、線(θ為參數(shù))上一點(diǎn)P到它的右焦點(diǎn)的距離是8，那么P到它的左焦點(diǎn)距離是________． 解析：由雙曲線參數(shù)方程可知a＝1， 故P到它左焦點(diǎn)的距離|PF|＝10或|PF|＝6. 答案：10或6 2．過拋物線(t為參數(shù))的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，如果x2＋x2＝6.則|AB|＝ ________. 解析：化為普通方程是：x＝即y2＝4x，∴p＝2. ∴|AB|＝x1＋x2＋p＝8. 答案：8 雙曲線、拋物線參數(shù)方程的應(yīng)用 [例2]　連結(jié)原點(diǎn)O和拋物線2y＝x2上的動(dòng)點(diǎn)M，延長OM到P點(diǎn)，使|OM|＝|MP|，求P點(diǎn)的軌跡方程，并說明它是

4、何曲線． [思路點(diǎn)撥]　由條件可知，M點(diǎn)是線段OP的中點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出點(diǎn)P的軌跡方程，再判斷曲線類型． [解]　設(shè)M(x、y)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，P(x0，y0)在OM的延長線上，且M為線段OP的中點(diǎn)，拋物線的參數(shù)方程為用中點(diǎn)公式得 變形為y0＝x，即P點(diǎn)的軌跡方程為x2＝4y. 表示拋物線． 在求曲線的軌跡和研究曲線及方程的相關(guān)問題時(shí)，常根據(jù)需要引入一個(gè)中間變量即參數(shù)(將x，y表示成關(guān)于參數(shù)的函數(shù))，這種方法是參數(shù)法，而涉及曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，可根據(jù)曲線的參數(shù)方程表示點(diǎn)的坐標(biāo)． 3．設(shè)P為等軸雙曲線x2－y2＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1和F2為兩個(gè)焦點(diǎn)，證明：|F1P|

5、·|F2P|＝|OP|2. 證明：如圖，設(shè)雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)為P(x，y)，焦點(diǎn)F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，雙曲線的參數(shù)方程為 則：(|F1P|·|F2P|)2 ＝[(sec θ＋)2＋tan2θ]·[(sec θ－)2＋tan2θ] ＝(sec2 θ＋2sec θ＋2＋tan2θ)(sec2 θ－2sec θ＋2＋tan2θ) ＝(sec θ＋1)2(sec θ－1)2 ＝(2sec2 θ－1)2. 又|OP|2＝sec2 θ＋tan2θ＝2sec2 θ－1， 由此得|F1P|·|F2P|＝|OP|2. 　　　　　　　　　　　　 一、選擇題 1．曲線(t為參數(shù))的焦點(diǎn)

6、坐標(biāo)是(　　) A．(1,0)　　　　　　　　　　 B．(0,1) C．(－1,0) D．(0，－1) 解析：將參數(shù)方程化為普通方程(y－1)2＝4(x＋1)，該曲線為拋物線y2＝4x向左、向上各平移一個(gè)單位得到，所以焦點(diǎn)為(0,1)． 答案：B 2．已知某條曲線的參數(shù)方程為(其中a是參數(shù))，則該曲線是(　　) A．線段 B．圓 C．雙曲線 D．圓的一部分 解析：將所給參數(shù)方程的兩式平方后相減， 得x2－y2＝1. 并且由|x|＝|a＋|≥1，得x≥1或x≤－1， 從而易知結(jié)果． 答案：C 3．方程(t為參數(shù))的圖形是(　　) A．雙曲線左支 B

7、．雙曲線右支 C．雙曲線上支 D．雙曲線下支 解析：∵x2－y2＝e2t＋2＋e－2t－(e2t－2＋e－2t)＝4.且x＝et＋e－t≥2＝2. ∴表示雙曲線的右支． 答案：B 4．P為雙曲線(θ為參數(shù))上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其兩個(gè)焦點(diǎn)，則△F1PF2重心的軌跡方程是(　　) A．9x2－16y2＝16(y≠0) B．9x2＋16y2＝16(y≠0) C．9x2－16y2＝1(y≠0) D．9x2＋16y2＝1(y≠0) 解析：由題意知a＝4，b＝3，可得c＝5， 故F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)， 設(shè)P(4sec θ，3tan θ)，重心M(x，y)，則

8、x＝＝sec θ，y＝＝tan θ. 從而有9x2－16y2＝16(y≠0)． 答案：A 二、填空題 5．已知?jiǎng)訄A方程x2＋y2－xsin 2θ＋2·ysin(θ＋)＝0(θ為參數(shù))．則圓心的軌跡方程是________． 解析：圓心軌跡的參數(shù)方程為 即消去參數(shù)得： y2＝1＋2x(－≤x≤)． 答案：y2＝1＋2x(－≤x≤) 6．雙曲線(θ為參數(shù))的兩條漸近線的傾斜角為________． 解析：將參數(shù)方程化為y2－＝1， 此時(shí)a＝1，b＝， 設(shè)漸近線傾斜角為α，則tan α＝±＝. ∴α＝30°或150°. 答案：30°或150° 7．已知拋物線的參數(shù)方程為(t

9、為參數(shù))，其中p＞0，焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過拋物線上一點(diǎn)M作l的垂線，垂足為E.若|EF|＝|MF|，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3，則p＝________.　 解析：?y2＝2px，焦點(diǎn)F， 過點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為N，由題意可知，△MEF是正三角形，所以∠MFN＝60°，在Rt△MFN中， |FN|＝|MF|cos 60°＝， 所以3－＝?p＝2. 答案：2 三、解答題 8．已知拋物線(t為參數(shù)，p＞0)上的點(diǎn)M，N對應(yīng)的參數(shù)值為t1，t2，且t1＋t2＝0，t1t2＝－p2，求M，N兩點(diǎn)間的距離． 解：由題知M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2pt，2pt1)，(2pt，2pt2)， ∴|M

10、N|＝ ＝＝2p|t1－t2| ＝2p＝4p2. 故M，N兩點(diǎn)間的距離為4p2. 9．已知圓O1：x2＋(y－2)2＝1上一點(diǎn)P與雙曲線x2－y2＝1上一點(diǎn)Q，求P，Q兩點(diǎn)距離的最小值． 解：設(shè)Q(sec θ，tan θ)， 在△O1QP中，|O1P|＝1，|O1P|＋|PQ|≥|O1Q|. 又|O1Q|2＝sec2 θ＋(tan θ－2)2 ＝(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan θ＋4) ＝2tan2θ－4tan θ＋5 ＝2(tan θ－1)2＋3. 當(dāng)tan θ＝1，即θ＝時(shí)，|O1Q|2取最小值3， 此時(shí)有|O1Q|min＝. ∴|PQ|min＝－1.

11、 10．過點(diǎn)A(1,0)的直線l與拋物線y2＝8x交于M、N兩點(diǎn)，求線段MN的中點(diǎn)的軌跡方程． 解：法一：設(shè)拋物線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，可設(shè)M(8t，8t1)，N(8t，8t2)， 則kMN＝＝. 又設(shè)MN的中點(diǎn)為P(x，y)， 則∴kAP＝， 由kMN＝kAP知t1·t2＝－， 又 則y2＝16(t＋t＋2t1t2)＝16(－)＝4(x－1)． ∴所求軌跡方程為y2＝4(x－1)． 法二：設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由M、N在拋物線y2＝8x上知 兩式相減得y－y＝8(x1－x2)， 即(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)， ∴＝. 設(shè)線段MN的中點(diǎn)為P(x，y)，∴y1＋y2＝2y. 由kPA＝，又k MN＝＝＝， ∴＝.∴y2＝4(x－1)． ∴線段MN的中點(diǎn)P的軌跡方程為y2＝4(x－1)． 6