3、本定理
如果連續(xù)函數(shù)f(x)是函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)，即f(x)＝F′(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，這個(gè)結(jié)論叫作微積分基本定理，又叫作牛頓-萊布尼茨公式．通常稱F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)．
為了方便，常把F(b)－F(a)記作F(x)|，
即f(x)dx＝F(x)|＝F(b)－F(a)．
函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[－a，a]上連續(xù)，則有
(1)若f(x)為偶函數(shù)，則－af(x)dx＝2f(x)dx.
(2)若f(x)為奇函數(shù)，則－af(x)dx＝0.
[基礎(chǔ)自測(cè)]
1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)設(shè)函數(shù)y＝f(
4、x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f(x)dx＝f(t)dt. ( )
(2)定積分一定是曲邊梯形的面積． ( )
(3)若f(x)dx＜0，那么由y＝f(x)的圖像，直線x＝a，直線x＝b以及x軸所圍成的圖形一定在x軸下方． ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2.exdx的值等于( )
A．e B．1－e
C．e－1 D．(e－1)
C [exdx＝ex＝e－1.]
3．(教材改編)已知質(zhì)點(diǎn)的速率v＝10t，則從t＝0到t＝t0質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過的路程是( )
A．10t B．5t C.t D．t
B [S＝∫t00
5、vdt＝∫t0010tdt＝5t2|t00＝5t.]
4．(教材改編)曲線y＝x2與直線y＝x所圍成的封閉圖形的面積為________．
[如圖，陰影部分的面積即為所求．
由得A(1,1)．
故所求面積為S＝(x－x2)dx
＝＝.]
5.dx＝________.
[dx表示曲線y＝與直線x＝－1，x＝1及x軸圍成的曲邊梯形的面積，故dx＝.]
定積分的計(jì)算
1．(2019·玉溪模擬)計(jì)算dx的值為( )
A. B．＋ln 2
C.＋ln 2 D．3＋ln 2
B [dx＝＝2＋ln 2－＝＋ln 2.故選 B．]
2．(2018·
6、吉林三模)|x－1|dx＝( )
A．1 B．2
C．3 D．
D [|x－1|dx＝(1－x)dx＝＝1－＝.]
3．設(shè)f(x)＝則f(x)dx等于( )
A. B．
C. D．不存在
C [如圖，
f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx
＝x3＋
＝＋＝.]
4.(sin x－cos x)dx＝________.
2 [(sin x－cos x)dx＝(-cos x-sin x)|＝1+1＝2.]
[規(guī)律方法] 1.運(yùn)用微積分基本定理求定積分時(shí)要注意以下幾點(diǎn)
(1)對(duì)被積函數(shù)要先化簡，再求積分．
(2)求被積函數(shù)為分段函數(shù)的定積分，
7、依據(jù)定積分“對(duì)區(qū)間的可加性”，分段積分再求和．
(3)對(duì)于含有絕對(duì)值符號(hào)的被積函數(shù)，要先去掉絕對(duì)值符號(hào)，再求積分．
(4)注意用“F′(x)＝f(x)”檢驗(yàn)積分的對(duì)錯(cuò)．
2．根據(jù)定積分的幾何意義，可利用面積求定積分．
定積分的幾何意義
【例1】 (1)(2019·皖南八校聯(lián)考)用min{a，b}表示a，b兩個(gè)數(shù)中的最小值，設(shè)f(x)＝min，則由函數(shù)f(x)的圖像，x軸與直線x＝和直線x＝2所圍成的封閉圖形的面積為________．
(2)(2019·黃山模擬)已知曲線y＝x2與直線y＝kx(k＞0)所圍成的曲邊圖形的面積為，則k＝________.
(1)＋ln 2 (2)
8、2[(1)由題意，圍成的封閉圖形如圖中陰影部分，
由題意，S＝dx＋dx＝x1＋ln x
＝＋ln 2＝＋ln 2，故答案為＋ln 2.
(2)由得或
則曲線y＝x2與直線y＝kx(k＞0)所圍成的曲邊梯形的面積為(kx－x2)dx＝|＝－k3＝，
即k3＝8，所以k＝2.]
[規(guī)律方法] 利用定積分求平面圖形面積的步驟
(1)根據(jù)題意畫出圖形.
(2)借助圖形確定被積函數(shù)，求交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分的上、下限.
(3)把曲邊梯形的面積表示成若干個(gè)定積分的和.
(4)計(jì)算定積分，寫出答案.
易錯(cuò)警示：利用定積分求曲邊圖形面積時(shí)，一定要找準(zhǔn)積分上限、下限及被積函數(shù).當(dāng)圖形的邊界不
9、同時(shí)，要分不同情況討論.
(1)曲線y＝－x＋2，y＝與x軸所圍成的面積為________．
(2)如圖所示，由拋物線y＝－x2＋4x－3及其在點(diǎn)A(0，－3)和點(diǎn)B(3,0)處的切線所圍成圖形的面積為________．
(1) (2) [(1)如圖所示，由y＝及y＝－x＋2可得交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x＝1.由定積分的幾何意義可知，由y＝，y＝－x＋2及x軸所圍成的封閉圖形的面積為
dx＋(－x＋2)dx＝
x|＋|＝.
(2)由y＝－x2＋4x－3，得y′＝－2x＋4，
∴y′|x＝0＝4，y′|x＝3＝－2，
∴拋物線在A點(diǎn)處的切線方程為y＝4x－3，
在B點(diǎn)處的切線方程為y＝－
10、2x＋6，
聯(lián)立方程解得
∴兩切線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
定積分在物理中的應(yīng)用
【例2】 (1)一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度v(t)＝7－3t＋(t的單位：s，v的單位：m/s)行駛至停止．在此期間汽車?yán)^續(xù)行駛的距離(單位：m)是( )
A．1＋25ln 5 B．8＋25ln
C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2
(2)(2019·渭南模擬)一物體在變力F(x)＝5－x2(力單位：N，位移單位：m)作用下，沿與F(x)成30°方向作直線運(yùn)動(dòng)，則由x＝1運(yùn)動(dòng)到x＝2時(shí)，F(xiàn)(x)做的功為( )
A. J B． J
11、C. J D．2 J
(1)C (2)C [(1)由v(t)＝7－3t＋＝0，可得t＝4，因此汽車從剎車到停止一共行駛了4 s，此期間行駛的距離為v(t)dt＝dt＝ |＝4＋25ln 5.
(2)變力F在位移方向上的分力為Fcos 30°，故F(x)做的功為W＝(5－x2)cos 30°dx＝(5－x2)dx＝5x－x3＝.]
[規(guī)律方法] 定積分在物理中的兩個(gè)應(yīng)用
(1)求物體變速直線運(yùn)動(dòng)的路程，如果變速直線運(yùn)動(dòng)物體的速度為v＝v(t)，那么從時(shí)刻t＝a到t＝b所經(jīng)過的路程s＝v(t)dt.
(2)變力做功，一物體在變力F(x)的作用下，沿著與F(x)相同方向從x＝a運(yùn)動(dòng)到
12、x＝b時(shí)，力F(x)所做的功是W＝F(x)dx.
物體A以速度v＝3t2＋1(t的單位：s，v的單位：m/s)在一直線上運(yùn)動(dòng)，在此直線上與物體A出發(fā)的同時(shí)，物體B在物體A的正前方5 m處以v＝10t(t的單位：s，v的單位：m/s)的速度與A同向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩物體相遇時(shí)，相遇地與物體A的出發(fā)地的距離是________m.
130 [設(shè)A追上B時(shí)，所用的時(shí)間為t0，則SA＝SB＋5，即∫t00(3t2＋1)dt＝∫t00(10t)dt＋5，
∴(t3＋t)t00＝5t＋5
∴t＋t0＝5(t＋1)
即t0＝5，
∴SA＝5t＋5＝5×52＋5＝130(m)．]
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2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第12節(jié) 定積分與微積分基本定理教學(xué)案 理（含解析）北師大版
