2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第6節(jié) 正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用教學(xué)案 理（含解析）北師大版

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1、第六節(jié)　正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用 [考綱傳真]　1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.2.能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題． 1．正弦、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC的外接圓半徑，則 定理 正弦定理 余弦定理 內(nèi)容 ＝＝＝2R. a2＝b2＋c2－2bccos_A； b2＝c2＋a2－2cacos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C. 變形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶

2、sin B∶sin C； (3)＝＝2R. cos A＝； cos B＝； cos C＝. 2.三角形常用面積公式 (1)S＝a·ha(ha表示邊a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； (3)S＝r(a＋b＋c)(r為內(nèi)切圓半徑)． 3．實際問題中的常用角 (1)仰角和俯角：與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方的角叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的角叫做俯角(如圖1)． (2)方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東30°、北偏西45°、西偏北60°等． (3)方位角：指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目

3、標(biāo)方向線的水平角，如點B的方位角為α(如圖2)． (4)坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)． 1．在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B． 2．三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B； b＝acos C＋ccos A； c＝bcos A＋acos B． 3．內(nèi)角和公式的變形 (1)sin(A＋B)＝sin C； (2)cos(A＋B)＝－cos C. 4．在△ABC中，若acos A＝bcos B，則△ABC是等腰三角形或直角三角形． [基礎(chǔ)自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (

4、1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個內(nèi)角之比． (　　) (2)在△ABC中，若sin A＞sin B，則A＞B． (　　) (3)在△ABC的六個元素中，已知任意三個元素可求其他元素． (　　) (4)當(dāng)b2＋c2－a2＞0時，△ABC為銳角三角形；當(dāng)b2＋c2－a2＝0時，△ABC為直角三角形；當(dāng)b2＋c2－a2＜0時，△ABC為鈍角三角形． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．(教材改編)已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，則b＝(　　) A．2　　　　　　 B．1 C. D． D　[由＝得b＝＝＝×2

5、＝.] 3．(教材改編)在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，則此三角形有(　　) A．無解 B．兩解 C．一解 D．解的個數(shù)不確定 B　[∵bsin A＝24sin 45°＝12， ∴12＜18＜24，即bsin A＜a＜B． ∴此三角形有兩解．] 4．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，則cos C的值為(　　) A. B． C．－ D．－ D　[由題意可知a∶b∶c＝3∶2∶4，不妨設(shè)a＝3k，b＝2k，c＝4k，則cos C＝＝＝－.] 5．在△ABC中，a＝2，c＝，B＝30°，則S△ABC＝________；

6、b＝________. 　1　[S△ABC＝acsin B＝×2××＝. 由b2＝a2＋c2－2accos B＝4＋3－4cos 30°＝1，得b＝1.] 利用正、余弦定理解三角形 【例1】　(2016·全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c. (1)求C； (2)若c＝，△ABC的面積為，求△ABC的周長． [解]　(1)由已知及正弦定理得 2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C， 即2cos Csin(A＋B)＝sin C， 故2sin Ccos C＝sin C

7、. 可得cos C＝，所以C＝. (2)由已知得absin C＝. 又C＝，所以ab＝6. 由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcos C＝7， 故a2＋b2＝13，從而(a＋b)2＝25，所以a＋b＝5(負值舍去)． 所以△ABC的周長為5＋. [規(guī)律方法]　解三角形的常見題型及求解方法 (1)已知兩角A，B與一邊a，由A＋B＋C＝π及＝＝，可先求出角C及b，再求出c. (2)已知兩邊b，c及其夾角A，由a2＝b2＋c2－2bccos A，先求出a，再求出角B，C. (3)已知三邊a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C. (4)已知兩邊a，b及其中一邊的對角A，由正弦

8、定理＝可求出另一邊b的對角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由＝可求出c，而通過＝求角B時，可能有一解或兩解或無解的情況． (1)(2018·重慶二模)在△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別是a，b，c，若(a－b)(sin A＋sin B)＝c(sin C＋sin B)，則角A等于(　　) A.　　　　　　　　 B． C. D． (2)如圖，在△ABC中，已知點D在邊AB上，AD＝3DB，cos A＝，cos∠ACB＝，BC＝13. ①求cos B的值； ②求CD的長． (1)D　[由正弦定理可得(a－b)(a＋b)＝c(c＋b)，即b2＋c2－a2＝－bc，由余

9、弦定理可得cos A＝＝－，又A∈(0，π)，則A＝，故選D．] (2)[解]　①在△ABC中，因為cos A＝，A∈(0，π)， 所以sin A＝＝. 同理可得sin∠ACB＝. 所以cos B＝cos[π－(A＋∠ACB)]＝－cos(A＋∠ACB)＝sin Asin∠ACB－cos Acos∠ACB＝×－×＝. ②在△ABC中，由正弦定理得，AB＝sin∠ACB＝×＝20. 又AD＝3DB，所以BD＝AB＝5，又在△BCD中，由余弦定理得CD＝ ＝＝9. 判斷三角形的形狀 【例2】　(1)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋

10、c－a)＝3bc，則△ABC的形狀為(　　) A．直角三角形 B．等腰非等邊三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形 (2)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若c－acos B＝(2a－b)cos A，則△ABC的形狀為(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 (1)C　(2)D　[(1)∵＝，∴＝，∴b＝c. 又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc， ∴b2＋c2－a2＝bc， ∴cos A＝＝＝. ∵A∈(0，π)，∴A＝， ∴△ABC是等邊三角形． (2)因為c－acos B＝(2a－b)

11、cos A， C＝π－(A＋B)， 所以由正弦定理得 sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin B cos A， 所以sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A， 所以cos A(sin B－sin A)＝0， 所以cos A＝0或sin B＝sin A， 所以A＝或B＝A或B＝π－A(舍去)， 所以△ABC為等腰或直角三角形．] [規(guī)律方法]　判定三角形形狀的方法 (1)化邊：通過因式分解，配方等得邊的相對應(yīng)關(guān)系． (2)化角：通過三角恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，此時要注意應(yīng)用A＋

12、B＋C＝π這個結(jié)論． (1)已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若＝ ＝，則該三角形的形狀是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形 (2)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對邊分別是a，b，c，若sin2＝，則△ABC的形狀一定是________． (1)A　(2)直角三角形　[(1)因為＝，由正弦定理得＝，所以sin 2A＝sin 2B．由＝，可知a≠b，所以A≠B．又A，B∈(0, π)，所以2A＝180°－2B，即A＋B＝90°，所以C＝90°，于是△ABC是直角三角形． (2)由題意，得＝，即cos B＝，又由余弦

13、定理，得＝，整理得a2＋b2＝c2，所以△ABC為直角三角形．] 與三角形有關(guān)的最值(范圍)問題 【例3】　(2019·廣州調(diào)研)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足a＝2，acos B＝(2c－b)cos A. (1)求角A的大?。? (2)求△ABC的周長的最大值． [解]　(1)法一：由已知，得acos B＋bcos A＝2ccos A. 由正弦定理，得sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos A， 即sin(A＋B)＝2sin Ccos A. 因為sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C， 所以sin C＝2sin Cc

14、os A. 因為sin C≠0，所以cos A＝. 因為0＜A＜π，所以A＝. 法二：由已知及余弦定理，得a×＝(2c－b)×，即b2＋c2－a2＝bc， 所以cos A＝＝. 因為0＜A＜π，所以A＝. (2)法一：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A， 得bc＋4＝b2＋c2， 即(b＋c)2＝3bc＋4. 因為bc≤2，所以(b＋c)2≤(b＋c)2＋4， 即b＋c≤4(當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝2時等號成立)， 所以a＋b＋c≤6. 故△ABC的周長的最大值為6. 法二：因為＝＝，且a＝2，A＝， 所以b＝sin B，c＝sin C. 所以a＋b＋c＝2＋(

15、sin B＋sin C)＝2＋sin B＋sin＝2＋4sin. 因為0＜B＜，所以當(dāng)B＝時，a＋b＋c取得最大值6. 故△ABC的周長的最大值為6. [規(guī)律方法]　求有關(guān)三角形面積或周長的最值(范圍)問題，一般轉(zhuǎn)化為一個角的一個三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性求解，或利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，再應(yīng)用基本不等式求解． (1)(2018·鄭州一模)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2ccos B＝2a＋b，若△ABC的面積S＝c，則ab的最小值為(　　) A．28 B．36 C．48 D．56 (2)(2019·河北五校聯(lián)考)在△ABC中，AB＝2，C＝

16、，則AC＋BC的最大值為(　　) A. B．2 C．3 D．4 (1)C　(2)D　[(1)在△ABC中，2ccos B＝2a＋b，由正弦定理，得2sin Ccos B＝2sin A＋sin B．又A＝π－(B＋C)，所以sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)，所以2sin Ccos B＝2sin(B＋C)＋sin B＝2sin Bcos C＋2cos Bsin C＋sin B，得2sin Bcos C＋sin B＝0，因為sin B≠0，所以cos C＝－，又0＜C＜π，所以C＝.由S＝c＝absin C＝ab×，得c＝.由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2ab

17、cos C＝a2＋b2＋ab≥2ab＋ab＝3ab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號)，所以2≥3ab，得ab≥48，所以ab的最小值為48，故選C. (2)∵C＝，A＋B＋C＝π，∴A＋B＝.由正弦定理，得＝＝＝＝4，∴BC＝4sin A，AC＝4sin B，∴AC＋BC＝4sin B＋4sin A＝4sin＋4sin A＝2cos A＋6sin A＝4sin(A＋φ)，∴當(dāng)A＋φ＝＋2kπ(k∈Z)時，AC＋BC取得最大值，為4.故選 D．] 解三角形的實際應(yīng)用 【例4】　(1)江岸邊有一炮臺高30 m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水平面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和60°，而且

18、兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距________m. (2)某漁船在航行中不幸遇險，發(fā)出呼救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁船在方位角為45°，距離A為10海里的C處，并測得漁船正沿方位角為105°的方向，以10海里/時的速度向小島B靠攏，我海軍艦艇立即以10海里/時的速度前去營救，則艦艇的航向為北偏東________． (1)10　(2)75°　[(1)如圖，過炮臺頂部A作水平面的垂線，垂足為B，設(shè)A處觀測小船C的俯角為45°，設(shè)A處觀測小船D的俯角為60°，連接BC，B D． Rt△ABC，∠ACB＝45°，可得 BC＝AB＝30 m， Rt△ABD中，∠A

19、DB＝60°，可得 BD＝＝10 m， 在△BCD中，BC＝30 m，BD＝10 m，∠CBD＝30°， 由余弦定理可得： CD2＝BC2＋BD2－2BC·BDcos 30°＝300， ∴CD＝10 m. (2)如圖所示，設(shè)所需時間為t小時， 則AB＝10t，CB＝10t， 在△ABC中，根據(jù)余弦定理，則有AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°， 可得(10t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos 120°. 整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－(舍去)， ∴艦艇需1小時靠近漁船，此時AB＝10，BC＝10. 在△ABC中，由正弦定理

20、得＝， ∴sin∠CAB＝＝＝. ∴∠CAB＝30°. 所以艦艇航向為北偏東75°.] [規(guī)律方法]　利用正弦定理、余弦定理解決實際問題的一般思路： (1)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解； (2)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，再逐步求解其他三角形，有時需設(shè)出未知量，根據(jù)條件列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解． 如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600 m后到達B處，測得此山頂

21、在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝______m. 100　[由題意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°. 又AB＝600 m， 故由正弦定理得＝， 解得BC＝300 m. 在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300× ＝100(m)．] 1．(2018·全國卷Ⅱ)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，則AB＝(　　) A．4　　　　　　　　 B． C. D．2 A　[因為cos ＝，所以cos C＝2cos2 －1＝2×2－1＝－.于是，在△ABC中，由余弦定理得AB

22、2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝52＋12－2×5×1×－＝32，所以AB＝4.故選A.] 2.(2018·全國卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為，則C＝(　　) A. B． C. D． C　[因為S△ABC＝absin C，所以＝absin C．由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcos C，得2abcos C＝2absin C，即cos C＝sin C，所以在△ABC中，C＝.故選C.] 3．(2016·全國卷Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC邊上的高等于BC，則cos A＝(　　) A. B． C．－ D．－ C

23、　[法一：設(shè)△ABC中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c， 則由題意得S△ABC＝a·a＝acsin B，∴c＝a. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋a2－2×a×a×＝a2，∴b＝a. ∴cos A＝＝＝－.故選C. 法二：同法一得c＝a. 由正弦定理得sin C＝sin A, 又B＝， ∴sin C＝sin＝sin A，即cos A＋sin A＝sin A， ∴tan A＝－3，∴A為鈍角． 又∵1＋tan2A＝，∴cos2A＝， ∴cos A＝－.故選C.] 4．(2016·全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos A

24、＝，cos C＝，a＝1，則b＝________. 　[因為A，C為△ABC的內(nèi)角，且cos A＝，cos C＝， 所以sin A＝，sin C＝， 所以sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝. 又a＝1，所以由正弦定理得b＝＝＝×＝.] 5.(2017·全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知△ABC的面積為. (1)求sin Bsin C； (2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周長． [解]　(1)由題設(shè)得acsin B＝，即csin B＝. 由正弦定理得sin Csin B＝. 故sin Bsin C＝. (2)由題設(shè)及(1)得cos Bcos C－sin Bsin C＝－， 即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝. 由題意得bcsin A＝，a＝3，所以bc＝8. 由余弦定理得b2＋c2－bc＝9， 即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝. 故△ABC的周長為3＋. - 12 -