2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 立體幾何 第3節(jié) 平行關(guān)系教學(xué)案 理（含解析）北師大版

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1、第三節(jié)　平行關(guān)系 [考綱傳真]　1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線(xiàn)面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡(jiǎn)單命題． 1．直線(xiàn)與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理 文字語(yǔ)言 圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言 判定定理 平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則該直線(xiàn)與此平面平行(簡(jiǎn)記為“線(xiàn)線(xiàn)平行?線(xiàn)面平行”) ?l∥α 性質(zhì)定理 如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，那么過(guò)該直線(xiàn)的任意一個(gè)平面與已知平面的交線(xiàn)與該直線(xiàn)平行(簡(jiǎn)記為“線(xiàn)面平行?線(xiàn)線(xiàn)平行”) ?a∥b 2.平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理

2、 文字語(yǔ)言 圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言 判定定理 如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線(xiàn)面平行?面面平行”) ?α∥β 性質(zhì)定理 如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線(xiàn)平行 ?a∥b 1．垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β. 2．垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥ B． 3．平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ. 4．三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化： [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)

3、若一條直線(xiàn)平行于一個(gè)平面，則這條直線(xiàn)平行于這個(gè)平面內(nèi)的任一條直線(xiàn)． (　　) (2)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行． (　　) (3)如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)平行或異面． (　　) (4)若直線(xiàn)a與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線(xiàn)平行，則a∥α. (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．(教材改編)下列命題中正確的是(　　) A．若a，b是兩條直線(xiàn)，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過(guò)b的任何平面 B．若直線(xiàn)a和平面α滿(mǎn)足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線(xiàn)平行 C．平行于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行 D．若直線(xiàn)a，b和平面

4、α滿(mǎn)足a∥b，a∥α，bα，則b∥α D　[A錯(cuò)誤，a可能在經(jīng)過(guò)b的平面內(nèi)；B錯(cuò)誤，a與α內(nèi)的直線(xiàn)平行或異面；C錯(cuò)誤，兩個(gè)平面可能相交．] 3．平面α與平面β平行的條件可以是(　　) A．α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)都與β平行 B．直線(xiàn)a∥α，a∥β，且直線(xiàn)a不在α內(nèi)，也不在β內(nèi) C．α內(nèi)的任何直線(xiàn)都與β平行 D．直線(xiàn)a在α內(nèi)，直線(xiàn)b在β內(nèi)，且a∥β，b∥α C　[在選項(xiàng)A中，α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)都與β平行，α與β有可能相交，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；在選項(xiàng)B中，直線(xiàn)a∥α，a∥β，且直線(xiàn)a不在α內(nèi)，也不在β內(nèi)，則α與β相交或平行，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；在選項(xiàng)C中，α內(nèi)的任何直線(xiàn)都與β平行，由面面平行的判定定理得α

5、∥β，故選項(xiàng)C正確；在選項(xiàng)D中，直線(xiàn)a在α內(nèi)，直線(xiàn)b在β內(nèi)，且a∥β，b∥α，則α與β相交或平行，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選C.] 4．已知直線(xiàn)l∥平面α，P∈α，則過(guò)點(diǎn)P且平行于直線(xiàn)l的直線(xiàn)(　　) A．只有一條，不在平面α內(nèi) B．只有一條，且在平面α內(nèi) C．有無(wú)數(shù)條，不一定在平面α內(nèi) D．有無(wú)數(shù)條，一定在平面α內(nèi) B　[過(guò)直線(xiàn)l和點(diǎn)P作一個(gè)平面β與α相交于m， ∵l∥α，∴l(xiāng)∥m，且mα， 若n也是過(guò)點(diǎn)P且平行于l的直線(xiàn)， 則m∥n，這與m∩n＝P相矛盾，故選B．] 5．(教材改編)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是DD1的中點(diǎn)，則BD1與平面ACE的位置關(guān)系為_(kāi)__

6、_____． 平行　[如圖所示，連接BD交AC于F，連接EF，則EF是△BDD1的中位線(xiàn)， ∴EF∥BD1， 又EF平面ACE， BD1平面ACE， ∴BD1∥平面ACE.] 與線(xiàn)、面平行相關(guān)命題的判定 1．平面α∥平面β的一個(gè)充分條件是(　　) A．存在一條直線(xiàn)a，a∥α，a∥β B．存在一條直線(xiàn)a，aα，a∥β C．存在兩條平行直線(xiàn)a，b，aα，bβ，a∥β，b∥α D．存在兩條異面直線(xiàn)a，b，aα，bβ，a∥β，b∥α D　[若α∩β＝l，a∥l，aα，aβ，則a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，aα，a∥l，則a∥β，故排除B．若α∩β

7、＝l，aα，a∥l，bβ，b∥l，則a∥β，b∥α，故排除C.故選D．] 2．下列四個(gè)正方體圖形中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，則能得出AB∥平面MNP的圖形的序號(hào)是(　　) ①　　　?、凇　　　、邸　　　、? A．①③　　　　　　　 B．②③ C．①④ D．②④ C　[對(duì)于圖形①，易得平面MNP與AB所在的對(duì)角面平行，所以AB∥平面MNP；對(duì)于圖形④，易得AB∥PN，又AB平面MNP，PN平面MNP，所以AB∥平面MNP；圖形②③無(wú)論用定義還是判定定理都無(wú)法證明線(xiàn)面平行．故選C.] [規(guī)律方法]　與線(xiàn)、面平行相關(guān)命題的判定，必須熟悉線(xiàn)、面

8、平行關(guān)系的各個(gè)定義、定理，特別注意定理所要求的條件是否完備，圖形是否有特殊情形． 直線(xiàn)與平面平行的判定與性質(zhì) ?考法1　直線(xiàn)與平面平行的判定 【例1】　如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝3，F(xiàn)是棱PA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E為PD的中點(diǎn)，O為AC的中點(diǎn)． (1)證明：OE∥平面PAB； (2)若AF＝1，求證：CE∥平面BDF； (3)若AF＝2，M為△ABC的重心，證明FM∥平面PBC. [證明]　(1)由已知四邊形ABCD為菱形， 又O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)， 又E為PD的中點(diǎn)， 所以O(shè)E∥PB． 又OE平面PAB，

9、PB平面PAB， 所以O(shè)E∥平面PAB． (2)過(guò)E作EG∥FD交AP于G，連接CG，F(xiàn)O. 因?yàn)镋G∥FD，EG平面BDF，F(xiàn)D平面BDF， 所以EG∥平面BDF， 因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，O是AC的中點(diǎn)， 又因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以G為PF的中點(diǎn)， 因?yàn)锳F＝1，PA＝3，所以F為AG的中點(diǎn)， 所以O(shè)F∥CG. 因?yàn)镃G平面BDF，OF平面BDF， 所以CG∥平面BDF. 又EG∩CG＝G，EG，CG平面CGE， 所以平面CGE∥平面BDF， 又CE平面CGE，所以CE∥平面BDF. (3)連接AM，并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)Q，連接PQ， 因?yàn)镸為△ABC

10、的重心， 所以Q為BC中點(diǎn)，且＝. 又AF＝2，所以＝. 所以＝， 所以MF∥PQ， 又MF平面PBC，PQ平面PBC， 所以FM∥平面PBC. ?考法2　線(xiàn)面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用 【例2】　如圖所示，CD，AB均與平面EFGH平行，E，F(xiàn)，G，H分別在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB．求證：四邊形EFGH是矩形． [證明]　∵CD∥平面EFGH， 而平面EFGH∩平面BCD＝EF， ∴CD∥EF. 同理HG∥CD，∴EF∥HG. 同理HE∥GF， ∴四邊形EFGH為平行四邊形， ∵CD∥EF，HE∥AB， ∴∠HEF為異面直線(xiàn)CD和AB所成的角． 又∵

11、CD⊥AB，∴HE⊥EF. ∴平行四邊形EFGH為矩形． [規(guī)律方法]　1.證明線(xiàn)面平行的常用方法 (1)利用線(xiàn)面平行的定義(無(wú)公共點(diǎn))． (2)利用線(xiàn)面平行的判定定理(aα，bα，a∥b?a∥α)． (3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β，aα?a∥β)． (4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，aβ，a∥α?a∥β)． 2．利用判定定理判定線(xiàn)面平行，注意三條件缺一不可，關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線(xiàn)平行的直線(xiàn)．常利用三角形的中位線(xiàn)、平行四邊形的對(duì)邊平行或過(guò)已知直線(xiàn)作一平面找其交線(xiàn)． 如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，E是PD的中點(diǎn)． (1)證明：PB∥

12、平面AEC； (2)在PC上求一點(diǎn)G，使FG∥平面AEC，并證明你的結(jié)論． [解]　(1)證明：連接BD，設(shè)BD交AC于O，連接EO， 因?yàn)锳BCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)， 又E為PD的中點(diǎn)，所以EO∥P B． 又EO平面AEC， PB平面AEC， ∴PB∥平面AEC. (2)PC的中點(diǎn)G即為所求的點(diǎn)． 證明如下： 連接GE，F(xiàn)G，∵E為PD的中點(diǎn)，∴EG綊CD； 又F是AB的中點(diǎn)，∴AF綊CD，∴AF綊EG，∴四邊形AFGE為平行四邊形，∴FG∥AE，又FG平面AEC，AE平面AEC， ∴FG∥平面AEC. 平面與平面平行的判定與性質(zhì) 【例3】　如圖所

13、示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證： (1)B，C，H，G四點(diǎn)共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG. [證明]　(1)∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)， ∴GH是△A1B1C1的中位線(xiàn)，GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四點(diǎn)共面． (2)在△ABC中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)， ∴EF∥BC. ∵EF平面BCHG，BC平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. ∵A1G綊EB， ∴四邊形A1EBG是平行四邊形，則A1E∥GB． ∵A1E平面BCHG，GB平面B

14、CHG， ∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF＝E， ∴平面EFA1∥平面BCHG. [母題探究]　(1)在本例條件下，若點(diǎn)D為BC1的中點(diǎn)，求證：HD∥平面A1B1BA. (2)在本例條件下，若D1，D分別為B1C1，BC的中點(diǎn)，求證：平面A1BD1∥平面AC1D． [證明]　(1)如圖所示，連接HD，A1B， ∵D為BC1的中點(diǎn)，H為A1C1的中點(diǎn)， ∴HD∥A1B． 又HD平面A1B1BA， A1B平面A1B1BA， ∴HD∥平面A1B1BA. (2)如圖所示，連接A1C交AC1于點(diǎn)M， ∵四邊形A1ACC1是平行四邊形， ∴M是A1C的中點(diǎn)，連接MD，

15、 ∵D為BC的中點(diǎn)， ∴A1B∥DM. ∵A1B平面A1BD1， DM平面A1BD1， ∴DM∥平面A1BD1， 又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1綊BD， ∴四邊形BDC1D1為平行四邊形， ∴DC1∥BD1. 又DC1平面A1BD1， BD1平面A1BD1， ∴DC1∥平面A1BD1. 又∵DC1∩DM＝D， DC1，DM平面AC1D， ∴平面A1BD1∥平面AC1D． [規(guī)律方法]　證明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的定義． (2)利用面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行． (3)利用“垂直于同

16、一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行”． (4)利用“如果兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行”． (5)利用“線(xiàn)線(xiàn)平行”“線(xiàn)面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化． 如圖所示，四邊形ABCD與四邊形ADEF都為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn)．求證： (1)BE∥平面DMF； (2)平面BDE∥平面MNG. [證明]　(1)如圖所示，設(shè)DF與GN交于點(diǎn)O， 連接AE，則AE必過(guò)點(diǎn)O，連接MO， 則MO為△ABE的中位線(xiàn)， 所以BE∥MO. 因?yàn)锽E平面DMF， MO平面DMF， 所以BE∥平面DMF. (2)因?yàn)镹，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF

17、的中點(diǎn)， 所以DE∥GN. 因?yàn)镈E平面MNG，GN平面MNG， 所以DE∥平面MNG. 因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)， 所以MN為△ABD的中位線(xiàn)， 所以BD∥MN. 因?yàn)锽D平面MNG，MN平面MNG， 所以BD∥平面MNG. 因?yàn)镈E∩BD＝D，BD，DE平面BDE， 所以平面BDE∥平面MNG. 　(2016·全國(guó)卷Ⅲ節(jié)選) 如圖所示，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線(xiàn)段AD上一點(diǎn)，AM＝2MD，N為PC的中點(diǎn)． 證明：MN∥平面PAB． [證明]　由已知得AM＝AD＝2. 取BP的中點(diǎn)T，連接AT，TN，由N為PC的中點(diǎn)知TN∥BC，TN＝BC＝2. 又AD∥BC，故TN綊AM，所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN∥AT. 因?yàn)镸N平面PAB，AT平面PAB， 所以MN∥平面PAB． - 9 -