2018高中數(shù)學(xué) 第3章 不等式 第四節(jié) 基本不等式2 基本不等式的應(yīng)用學(xué)案 蘇教版必修5

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1、 基本不等式的應(yīng)用 一、考點(diǎn)突破 知識(shí)點(diǎn) 課標(biāo)要求 題型 說明 基本不等式的應(yīng)用 1. 掌握基本不等式 （a≥0，b≥0）； 2. 能用基本不等式求解簡(jiǎn)單的最大（?。┲祮栴}（指只用一次基本不等式，即可解決的問題）； 3. 能用基本不等式求解簡(jiǎn)單的最大（小）值問題。 選擇題 填空題 基本不等式是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn)。注意應(yīng)用均值不等式，求函數(shù)的最值三個(gè)條件缺一不可。 二、重難點(diǎn)提示 重點(diǎn)：對(duì)由基本不等式推導(dǎo)出的命題的理解，以及利用此命題求某些函數(shù)的最值。突破重點(diǎn)的關(guān)鍵是對(duì)基本不等式的理解。 難點(diǎn)：理解利用基本不等式求最值時(shí)的三個(gè)條件“一正、

2、二定、三相等”。 考點(diǎn)：利用基本不等式求最值 1. 由兩個(gè)重要不等式可推得下面結(jié)論： 已知，，則 ① 如果是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值； ② 如果是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值。 【要點(diǎn)詮釋】 （1）利用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)，強(qiáng)調(diào)三要素：正數(shù)；定值；等號(hào)成立的條件。 特別式子中等號(hào)不成立時(shí)，則不能應(yīng)用重要不等式，而改用函數(shù)的單調(diào)性求最值。 （2）不能僅僅關(guān)注基本不等式的形式構(gòu)造，而應(yīng)注意統(tǒng)一的整體變換。 【核心突破】 利用重要不等式求函數(shù)的最值時(shí)，定值條件的構(gòu)造技巧： ①利用均值不等式求函數(shù)的最值應(yīng)滿足三個(gè)條件：即“一正、二定、三相等”。 “一正”，

3、是指所求最值的各項(xiàng)都是正值。 “二定”，是指含變量的各項(xiàng)的和或者積必須是常數(shù)。 “三相等”，是指具備不等式中等號(hào)成立的條件，使函數(shù)取得最大或最小值。 在具體的題目中，“正數(shù)” 條件往往從題設(shè)條件中獲得解決，“相等”條件也易驗(yàn)證確定，而要獲得“定值”條件卻常常被設(shè)計(jì)為一個(gè)難點(diǎn)，它需要一定的靈活性和變形技巧，因此“定值”條件決定著基本不等式應(yīng)用的可行性，這是解題的關(guān)鍵。 ② 常用構(gòu)造定值條件的技巧變換 Ⅰ. 加項(xiàng)變換；Ⅱ. 拆項(xiàng)變換；Ⅲ. 統(tǒng)一換元；Ⅳ. 平移后利用基本不等式。 ③ 利用基本不等式求最值的實(shí)質(zhì)是：有界并能達(dá)到。 2. 其他形式：（1）若a∈R，b∈R，則a2＋b2≥2

4、ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立； （2）若a>0，b>0，則ab≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立； （3）若a>0，b>0，則≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立。 3. 恒等變形：為了利用基本不等式，有時(shí)對(duì)給定的代數(shù)式要進(jìn)行適當(dāng)變形，比如： （1）當(dāng)x>2時(shí)，x＋＝（x－2）＋＋2≥2＋2＝4。 （2）當(dāng)0

5、＞0，得＞0，∵a＞0，∴a＞1， ∴ab＝a·＝ ＝ ＝（a－1）＋＋5≥2＋5＝9， 當(dāng)且僅當(dāng)a－1＝，即a＝3時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)b＝3， ∴ab的取值范圍是[9，＋∞）。 法二：由于a、b為正數(shù)，∴a＋b≥2， ∴ab＝a＋b＋3≥2＋3，即（）2－2－3≥0， ∴≥3，故ab≥9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時(shí)，取等號(hào)， ∴ab的取值范圍是[9，＋∞）。 技巧點(diǎn)撥： 1. 本題中，要求ab的取值范圍，在使用已知條件等式的方法上靈活多樣，但最終都?xì)w結(jié)為基本不等式的應(yīng)用。 2. 利用基本不等式，求字母參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵是怎樣由等式通過放縮得出不等式。 例題1 （基

6、本不等式的變形應(yīng)用） 求y＝的最大值。 思路分析：由＝2（定值），利用基本不等式的變形：≤，可求。 答案：由，知定義域?yàn)閤∈[－1,1]， 又＝1－x＋1＋x＝2（定值）， ∴y＝≤＝2， 當(dāng)且僅當(dāng)1－x＝1＋x即x＝0時(shí)，等號(hào)成立。 ∴ymax＝2。 技巧點(diǎn)撥：1. 本例中，由于＝2（定值），因而不宜使用基本不等式，應(yīng)該使用不等式的變式。 2. 對(duì)于基本不等式及其變式，在利用這些不等式求最值時(shí)，要保證一側(cè)為定值，并保證等號(hào)成立，要根據(jù)已知條件和所求，靈活地選取公式。 例題2 （利用基本不等式求函數(shù)的最值） （1）已知x＞2，求y＝x＋的最小值； （2）已知0＜x

7、＜，求y＝x（1－2x）的最大值。 思路分析：（1）將原式變形為y＝x－2＋＋2，再利用基本不等式； （2）將原式變形為y＝·2x（1－2x），再利用基本不等式。 答案：（1）∵x＞2，∴x－2＞0， ∴y＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝ （x＞2），即x＝3時(shí)，ymin＝4。 （2）∵0＜x＜，∴1－2x＞0， ∴y＝x（1－2x）＝×2x（1－2x） ≤， 當(dāng)且僅當(dāng)2x＝1－2x（0＜x＜）， 即x＝時(shí)，ymax＝。 技巧點(diǎn)撥：本例中，對(duì)要求最值的函數(shù)式，通過適當(dāng)?shù)刈冃?，使式子變?yōu)楹蜑槎ㄖ祷蚍e為定值的式子，然后運(yùn)用基本不等式求最值。

8、【易錯(cuò)警示】 多次使用基本不等式時(shí)，等號(hào)不同時(shí)成立致誤 忽視最值取得的條件致誤 例題 已知a、b均為正實(shí)數(shù)，且a＋b＝1，求y＝的最小值。 易錯(cuò)分析：在求最值時(shí)兩次使用基本不等式，其中的等號(hào)不能同時(shí)成立，導(dǎo)致最小值不能取到。 思路分析：（1）求函數(shù)最值問題，可以考慮利用基本不等式，但是利用基本不等式，必須保證“正、定、等”，而且還要符合已知條件。（2）可以考慮利用函數(shù)的單調(diào)性，但要注意變量的取值范圍。 答案：方法一：y＝ 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)，y＝取最小值，最小值為 方法二：y＝＝ ＝＋ab－2， 令t＝ab≤，即t∈， 又f（t）＝＋t在上是單調(diào)遞減的， ∴當(dāng)t＝時(shí)，f（t）min＝，此時(shí)，a＝b＝， ∴當(dāng)a＝b＝時(shí)，y有最小值 技巧點(diǎn)撥：（1）這類題目感到比較容易下手，但是解這類題目卻又常常出錯(cuò)。（2）利用基本不等式求最值，一定要注意應(yīng)用條件：即“一正、二定、三相等”。否則，求解時(shí)會(huì)出現(xiàn)等號(hào)成立、條件不具備而出錯(cuò)。（3）本題出錯(cuò)的原因前面已分析，關(guān)鍵是忽略了等號(hào)成立的條件。 4