2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程章末復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教B版選修2-1

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1、 第二章 圓錐曲線與方程 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解曲線方程的概念，掌握求曲線方程的常用方法.2.掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義及其應(yīng)用，會用定義法求標(biāo)準(zhǔn)方程.3.掌握橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法.4.掌握橢圓、雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)，會利用幾何性質(zhì)解決相關(guān)問題.5.掌握簡單的直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題的解決方法． 知識點(diǎn)一　三種圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì) 橢圓 雙曲線 拋物線 定義 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡 平面內(nèi)與一個(gè)

2、定點(diǎn)F和一條定直線l(l?F)距離相等的點(diǎn)的軌跡 標(biāo)準(zhǔn)方程 ＋＝1 (a>b>0) －＝1 (a>0，b>0) y2＝2px (p>0) 關(guān)系式 a2－b2＝c2 a2＋b2＝c2 圖形 封閉圖形 無限延展，有漸近線 無限延展，沒有漸近線 對稱性 對稱中心為原點(diǎn) 無對稱中心 兩條對稱軸 一條對稱軸 頂點(diǎn) 四個(gè) 兩個(gè) 一個(gè) 離心率 01 準(zhǔn)線方程 x＝－ 決定形狀的因素 e決定扁平程度 e決定開口大小 2p決定開口大小 知識點(diǎn)二　待定系數(shù)法求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程 1．橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 求

3、橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程包括“定位”和“定量”兩方面，一般先確定焦點(diǎn)的位置，再確定參數(shù)．當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，要分情況討論．也可將橢圓方程設(shè)為Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，其中當(dāng)>時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上，當(dāng)<時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上；雙曲線方程可設(shè)為Ax2＋By2＝1(AB<0)，當(dāng)<0時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上，當(dāng)<0時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上． 另外，與已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為－＝λ(λ≠0)；已知所求雙曲線為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為x2－y2＝λ(λ≠0)． 2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，先確定拋物線的方程類型，再由條件求出參數(shù)p的大小．當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定

4、時(shí)，要分情況討論，也可將方程設(shè)為y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)，然后建立方程求出參數(shù)p的值． 知識點(diǎn)三　直線與圓錐曲線有關(guān)的問題 1．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，可以通過討論直線方程與曲線方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)來確定，通常消去方程組中變量y(或x)得到關(guān)于變量x(或y)的一元二次方程，考慮該一元二次方程的判別式Δ，則有：Δ>0?直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)；Δ＝0?直線與圓錐曲線相切于一點(diǎn)；Δ<0?直線與圓錐曲線無交點(diǎn)． 2．直線l截圓錐曲線所得的弦長|AB|＝ 或 ，其中k是直線l的斜率，(x1，y1)，(x2，y2)是直線與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，且(x1－

5、x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2，x1＋x2，x1x2可由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系整體給出． 類型一　圓錐曲線定義的應(yīng)用 例1　已知點(diǎn)M(2，1)，點(diǎn)C是橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)，點(diǎn)A是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則|AM|＋|AC|的最小值是________． 反思與感悟　應(yīng)用定義解決問題時(shí)，需緊扣其內(nèi)涵，注意限制條件是否成立，然后得到相應(yīng)的結(jié)論． 跟蹤訓(xùn)練1　如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，P是側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若P到直線BC與到直線C1D1的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是(　　) A．直線 B．圓 C．雙曲線 D．拋物線 類型二　圓錐曲線性

6、質(zhì)的應(yīng)用 例2　設(shè)P是拋物線y2＝4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(－1，1)的距離與點(diǎn)P到直線x＝－1的距離之和的最小值為________． 反思與感悟　圓錐曲線的性質(zhì)綜合性強(qiáng)，需弄清每個(gè)性質(zhì)的真正內(nèi)涵，然后正確地應(yīng)用到解題中去． 跟蹤訓(xùn)練2　雙曲線－＝1的兩條漸近線互相垂直，那么該雙曲線的離心率是(　　) A．2 B. C. D. 類型三　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題 例3　已知定點(diǎn)C(－1，0)及橢圓x2＋3y2＝5，過點(diǎn)C的動(dòng)直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)M，使·為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 反思與感悟　解決圓錐曲線中

7、的參數(shù)范圍問題與求最值問題類似，一般有兩種方法 (1)函數(shù)法：用其他變量表示該參數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系，利用求函數(shù)值域的方法求解． (2)不等式法：根據(jù)題意建立含參數(shù)的不等關(guān)系式，通過解不等式求參數(shù)范圍． 跟蹤訓(xùn)練3　已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C上且其橫坐標(biāo)為1，以F為圓心、|FP|為半徑的圓與C的準(zhǔn)線l相切． (1)求p的值； (2)設(shè)l與x軸交點(diǎn)為E，過點(diǎn)E作一條直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的垂直平分線在x軸上的截距的取值范圍． 1．下列各對方程中，表示相同曲線的一對方程是(　　) A．y＝與y2＝x B.＝1與lg(y

8、＋1)＝lg(x－2) C．x2＋y2＝1與|y|＝ D．y＝lg x2與y＝2lg x 2．中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，若長軸長為18，且兩個(gè)焦點(diǎn)恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 3．設(shè)橢圓＋＝1(m>0，n>0)的右焦點(diǎn)與拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)相同，離心率為，則此橢圓的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 4．點(diǎn)P(8，1)平分雙曲線x2－4y2＝4的一條弦，則這條弦所在直線的方程是________________． 5．直線y＝x＋3與曲線－＝1交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_______

9、_． 1．離心率的幾種求法 (1)定義法：由橢圓(雙曲線)的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，不論橢圓(雙曲線)的焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上都有關(guān)系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意兩個(gè)參數(shù)，可以求其他的參數(shù)，這是基本且常用的方法． (2)方程法：建立參數(shù)a與c之間的齊次關(guān)系式，從而求出離心率，這是求離心率十分重要的方法． (3)幾何法：與過焦點(diǎn)的三角形有關(guān)的離心率問題，根據(jù)平面幾何性質(zhì)、橢圓(雙曲線)的幾何性質(zhì)和定義，建立參數(shù)之間的關(guān)系． 2．圓錐曲線中的有關(guān)最值問題 在解決與圓錐曲線有關(guān)的最值問題時(shí)，通常的處理策略 (1)若具備定義的最值問題，可用定義將其轉(zhuǎn)化為幾何

10、問題來處理． (2)一般問題可由條件建立目標(biāo)函數(shù)，然后利用函數(shù)求最值的方法進(jìn)行求解．如利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值的求法，利用函數(shù)的單調(diào)性，亦可利用均值不等式等求解． 提醒：完成作業(yè)　第二章　章末復(fù)習(xí)課 答案精析 題型探究 例1　8－ 解析　如圖，設(shè)點(diǎn)B為橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)M(2，1)在橢圓內(nèi)，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a， 所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|， 而a＝4， |BM|＝＝， 所以(|AM|＋|AC|)最小值 ＝8－. 跟蹤訓(xùn)練1　D 例2　 跟蹤訓(xùn)練2　C　 例3　解　假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M(m，0)，使·為常數(shù)

11、． 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． ①當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x＋1)，將y＝k(x＋1)代入橢圓方程x2＋3y2＝5，消去y整理，得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0. 則 所以·＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2 ＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1＋1)(x2＋1) ＝(k2＋1)x1x2＋(k2－m)(x1＋x2)＋k2＋m2. 將上式整理，得 ·＝＋m2 ＝＋m2 ＝m2＋2m－－. 注意到·是與k無關(guān)的常數(shù)， 從而有6m＋14＝0，解得m＝－， 此時(shí)·＝. ②當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，

12、 此時(shí)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(－1，)， B(－1，－)， 當(dāng)m＝－時(shí)，亦有·＝. 綜上，在x軸上存在定點(diǎn)M(－，0)， 使·為常數(shù)． 跟蹤訓(xùn)練3　解　(1)因?yàn)橐訤為圓心、|FP|為半徑的圓與C的準(zhǔn)線l相切， 所以圓的半徑為p，即|FP|＝p， 所以FP⊥x軸，又點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1， 所以焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，0)，從而p＝2. (2)由(1)知拋物線C的方程為y2＝4x， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 線段AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)D(x0，0)， 則由|DA|＝|DB|，y＝4x1，y＝4x2， 得(x1－x0)2＋y＝(x2－x0)2＋y， 化簡得x0＝＋2， ① 設(shè)直線AB的方程為x＝my－1，代入拋物線C的方程， 得y2－4my＋4＝0，由Δ>0得m2>1， 由根與系數(shù)的關(guān)系得y1＋y2＝4m， 所以x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝4m2－2， 代入①得x0＝2m2＋1>3， 故線段AB的垂直平分線在x軸上的截距的取值范圍是(3，＋∞)． 當(dāng)堂訓(xùn)練 1．C　2.A　3.B　 4．2x－y－15＝0　5.3 7