2020版高考數(shù)學一輪復習 第2章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第7節(jié) 函數(shù)的圖像教學案 理（含解析）北師大版

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1、第七節(jié)　函數(shù)的圖像 [考綱傳真]　1.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖像法、列表法、解析法)表示函數(shù)；2.會運用基本初等函數(shù)的圖像分析函數(shù)的性質，并運用函數(shù)的圖像解簡單的方程(不等式)問題． 1．利用描點法作函數(shù)的圖像 方法步驟：(1)確定函數(shù)的定義域； (2)化簡函數(shù)的解析式； (3)討論函數(shù)的性質(奇偶性、單調性、周期性、最值等)； (4)描點連線． 2．利用圖像變換法作函數(shù)的圖像 (1)平移變換 (2)對稱變換 ①y＝f(x)的圖像y＝－f(x)的圖像； ②y＝f(x)的圖像y＝f(－x)的圖像； ③y＝f(x)的圖像y＝－f(－x)的圖

2、像； ④y＝ax(a＞0且a≠1)的圖像y＝logax(a＞0且a≠1)的圖像． (3)伸縮變換 [常用結論] 1．關于對稱的三個重要結論 (1)函數(shù)y＝f(x)與y＝f(2a－x)的圖像關于直線x＝a對稱． (2)函數(shù)y＝f(x)與y＝2b－f(2a－x)的圖像關于點(a，b)中心對稱． (3)若函數(shù)y＝f(x)的定義域內(nèi)任意自變量x滿足：f(a＋x)＝f(a－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖像關于直線x＝a對稱． 2．函數(shù)圖像平移變換八字方針 (1)“左加右減”，要注意加減指的是自變量． (2)“上加下減”，要注意加減指的是函數(shù)值． [基礎自測] 1．(思考辨析)判

3、斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)函數(shù)y＝f(1－x)的圖像，可由y＝f(－x)的圖像向左平移1個單位得到． (　　) (2)函數(shù)y＝f(x)的圖像關于y軸對稱即函數(shù)y＝f(x)與y＝f(－x)的圖像關于y軸對稱． (　　) (3)當x∈(0，＋∞)時，函數(shù)y＝f(|x|)的圖像與y＝|f(x)|的圖像相同． (　　) (4)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(1＋x)＝f(1－x)，則函數(shù)f(x)的圖像關于直線x＝1對稱． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)函數(shù)f(x)＝－x的圖像關于(　　) A．y軸對稱　　　　

4、　　　 B．直線y＝－x對稱 C．坐標原點對稱 D．直線y＝x對稱 C　[∵f(x)＝－x是奇函數(shù)，∴圖像關于原點對稱．] 3．函數(shù)f(x)的圖像向右平移1個單位長度，所得圖像與曲線y＝ex關于y軸對稱，則f(x)＝(　　) A．ex＋1 B．ex－1 C．e－x＋1 D．e－x－1 D　[依題意，與曲線y＝ex關于y軸對稱的曲線是y＝e－x，于是f(x)相當于y＝e－x向左平移1個單位的結果，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.] 4．(教材改編)函數(shù)f(x)＝x2－x的大致圖像是(　　) 　　　　　 A　　　　　　　　B

5、　　　　　 C　　　　　　　　D B　[∵f(0)＝－1＜0，故排除選項D；又f(－2)＝0，f(－4)＝0，故排除選項A、C，故選B.] 5．若關于x的方程|x|＝a－x只有一個解，則實數(shù)a的取值范圍是________． (0，＋∞)　[在同一個坐標系中畫出函數(shù)y＝|x|與y＝a－x的圖像，如圖所示．由圖像知當a＞0時，方程|x|＝a－x只有一個解．] 作函數(shù)的圖像 【例1】　作出下列函數(shù)的圖像： (1)y＝|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|； (3)y＝；(4)y＝x2－2|x|－1. [解]　(1)先作出y＝x的圖像，保留y＝x圖像

6、中x≥0的部分，再作出y＝x的圖像中x＞0部分關于y軸的對稱部分，即得y＝|x|的圖像，如圖①實線部分． 　　　　　　 ①　　　　　　?、? (2)將函數(shù)y＝log2x的圖像向左平移一個單位，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得到函數(shù)y＝|log2(x＋1)|的圖像，如圖②. (3)∵y＝＝2＋，故函數(shù)圖像可由y＝圖像向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到，如圖③. 　　　　　　 ③　　　　　　　　 ④ (4)∵y＝且函數(shù)為偶函數(shù)，先用描點法作出[0，＋∞)上的圖像，再根據(jù)對稱性作出(－∞，0)上的圖像，得圖像如圖④. [規(guī)

7、律方法]　函數(shù)圖像的常用畫法 (1)直接法：當函數(shù)解析式(或變形后的解析式)是熟悉的基本函數(shù)時，就可根據(jù)這些函數(shù)的特征描出圖像的關鍵點，進而直接作出圖像． (2)轉化法：含有絕對值符號的函數(shù)，可脫掉絕對值符號，轉化為分段函數(shù)來畫圖像． (3)圖像變換法：若函數(shù)圖像可由某個基本函數(shù)的圖像經(jīng)過平移、伸縮、翻折、對稱得到，則可利用圖像變換作出． 易錯警示：注意平移變換與伸縮變換的順序對變換單位及解析式的影響． 識圖與辨圖 【例2】　(1)(2018·全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝的圖像大致為(　　) 　　　　　 A　　　　　　　　　B 　　　　　

8、 C　　　　　　　　　 D (2)已知定義在區(qū)間[0,2]上的函數(shù)y＝f(x)的圖像如圖所示，則y＝－f(2－x)的圖像為(　　) 　　　　　　 A　　　　　　　　B 　　　　　　 C　　　　　　　　　　D (1)B　(2)B　[(1)當x＜0時，因為ex－e－x＜0，所以此時f(x)＝＜0，故排除A、D；又f(1)＝e－＞2，故排除C，選B. (2)當x＝0時，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；當x＝1時，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.觀察各選項可知，應選B.] [規(guī)律方法]　函數(shù)圖像的辨識可從以下方面入手： (1)

9、從函數(shù)的定義域，判斷圖像的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖像的上下位置； (2)從函數(shù)的單調性，判斷圖像的變化趨勢； (3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖像的對稱性； (4)從函數(shù)的周期性，判斷圖像的循環(huán)往復； (5)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖像. (1)已知圖1中的圖像對應的函數(shù)為y＝f(x)，則圖2中的圖像對應的函數(shù)為(　　) 　　　　　　　 圖1　　　　　圖2 A．y＝f(|x|)　　　　　　 B．y＝|f(x)| C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|) (2)如圖，圓與兩坐標軸分別切于A，B兩點，圓上一動點P從A開始沿圓周按逆時針方

10、向勻速旋轉回到A點，則與△OBP的面積隨時間變化的圖像相符合的是(　　) 　　　 A　　　　　B　　　　　C　　　　　　D (1)C　(2)A　[(1)由題圖知，圖2中的圖像對應的函數(shù)為y＝f(－|x|)，故選C. (2)當P從A運動到B的過程中，△OBP的面積逐漸減小，在點B處，△OBP的面積為零，當P從B運動到圓的最高點的過程中，△OBP的面積又逐漸增大，且當P位于圓的最高點時，△OBP的面積達到最大值，當P從最高點運動到A點的過程中，△OBP的面積又逐漸減小，故選A.] 函數(shù)圖像的應用 ?考法1　研究函數(shù)的性質 【例3】　設函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函

11、數(shù)，且對任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知當x∈[0,1]時，f(x)＝1－x，則： ①2是函數(shù)f(x)的周期； ②函數(shù)f(x)在(1,2)上遞減，在(2,3)上遞增； ③函數(shù)f(x)的最大值是1，最小值是0； ④當x∈(3,4)時，f(x)＝x－3. 其中所有正確命題的序號是________． ①②④　[由已知條件得f(x＋2)＝f(x)，則y＝f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，①正確； 當－1≤x≤0時，0≤－x≤1，f(x)＝f(－x)＝1＋x， 函數(shù)y＝f(x)的部分圖像如圖所示： 由圖像知②正確，③不正確； 當3＜x＜4時，－1＜x－4＜0，f(x

12、)＝f(x－4)＝x－3，因此④正確．故正確命題的序號為①②④.] ?考法2　求參數(shù)的取值范圍 【例4】　(1)已知函數(shù)f(x)＝x2＋ex－(x＜0)與g(x)＝x2＋ln(x＋a)的圖像上存在關于y軸對稱的點，則a的取值范圍是(　　) A. B．(－∞，) C. D. (2)已知函數(shù)f(x)＝若關于x的方程f(x)＝k有兩個不等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是________． (1)B　(2)(0,1]　[(1)由題意知，設x0∈(－∞，0)，使得f(x0)＝g(－x0)， 即x＋e x0－＝(－x0)2＋ln(－x0＋a)， ∴ex0－ln(－x0＋a)－＝0.

13、 令y1＝ex－，y2＝ln(－x＋a)，要使得函數(shù)圖像的交點A在y軸左側，如圖，則ln a＜＝ln e，∴a＜e. (2)作出函數(shù)y＝f(x)與y＝k的圖像，如圖所示， 由圖可知k∈(0,1]．] [規(guī)律方法]　(1)注意函數(shù)圖像特征與性質的對應關系. (2)方程、不等式的求解可轉化為函數(shù)圖像的交點和上下關系問題. (1)(2017·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝ln x＋ln(2－x)，則(　　) A．f(x)在(0,2)遞增 B．f(x)在(0,2)遞減 C．y＝f(x)的圖像關于直線x＝1對稱 D．y＝f(x)的圖像關于點(1,0)對稱 (2)已知函數(shù)f(x)＝

14、ln x－x2與g(x)＝(x－2)2＋－m(m∈R)的圖像上存在關于(1,0)對稱的點，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(－∞，1－ln 2) B．(－∞，1－ln 2] C．(1－ln 2，＋∞) D．[1－ln 2，＋∞) (1)C　(2)D　[(1)f(x)的定義域為(0,2)． f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)． 設u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，則u＝－x2＋2x在(0,1)上遞增，在(1,2)上遞減． 又y＝ln u在其定義域上遞增， ∴f(x)＝ln(－x2＋2x)在(0,1)上遞增，在(1,2)上遞減．

15、 ∴選項A，B錯誤． ∵f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝f(2－x)， ∴f(x)的圖像關于直線x＝1對稱，∴選項C正確． ∵f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln(2－x)]＝2[ln x＋ln(2－x)]，不恒為0， ∴f(x)的圖像不關于點(1,0)對稱，∴選項D錯誤． 故選C. (2)∵f(x)＝ln x－x2與g(x)＝(x－2)2＋－m(m∈R)的圖像上存在關于(1,0)對稱的點， ∴f(x)＋g(2－x)＝0有解，∴l(xiāng)n x－x2＝－x2－＋m，∴m＝ln x＋在(0，＋∞)內(nèi)有解．∵m′＝， ∴函數(shù)在內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增，∴m≥l

16、n ＋1＝1－ln 2.] 1．(2018·全國卷Ⅲ)函數(shù)y＝－x4＋x2＋2的圖像大致為(　　) 　　　 　　 A　　　　　　　　　B 　　　 　　 C　　　　　　　　　　D D　[當x＝1時，y＝2，排除A，B.由y′＝－4x3＋2x＝0，得x＝0或x＝±，結合三次函數(shù)的圖像特征，知原函數(shù)在(－1,1)上有三個極值點，所以排除C，故選D.] 2．(2016·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(－x)＝2－f(x)，若函數(shù)y＝與y＝f(x)圖像的交點為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，則(xi＋yi)＝(　　) A．0　　　　B．m　　　　C．2m　　　　D．4m B　[因為f(－x)＝2－f(x)，所以f(－x)＋f(x)＝2.因為＝0，＝1，所以函數(shù)y＝f(x)的圖像關于點(0,1)對稱．函數(shù)y＝＝1＋，故其圖像也關于點(0,1)對稱．所以函數(shù)y＝與y＝f(x)圖像的交點(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)成對出現(xiàn)，且每一對均關于點(0,1)對稱，所以xi＝0，yi＝2×＝m，所以(xi＋yi)＝m.] - 10 -