2020屆高考數(shù)學大二輪復習 層級二 專題一 函數(shù)與導數(shù) 第3講 導數(shù)的簡單應用教學案

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1、 第3講　導數(shù)的簡單應用 [考情考向·高考導航] 1．此部分內(nèi)容是高考命題的熱點內(nèi)容．在選擇題、填空題中多考查導數(shù)的幾何意義，難度較?。? 2．應用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，多在選擇題、填空題最后幾題的位置考查，難度屬中等偏上，屬綜合性問題．有時也常在解答題的第一問中考查，難度中檔． [真題體驗] 1．(2019·全國Ⅱ卷)曲線y＝2sin x＋cos x在點(π，－1)處的切線方程為(　　) A．x－y－π－1＝0　　　　　 B．2x－y－2π－1＝0 C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0 解析：C　[∵y′＝2cos x－sin x，∴切線斜率k

2、＝2cos π－sin π＝－2， ∴在點(π，－1)處的切線方程為y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.] 2．(全國Ⅱ卷)若x＝－2是函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的極值點，則f(x)的極小值為(　　) A．－1 B．－2e－3 C．5e－3 D．1 解析：A　[f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]·ex－1， 則f′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]·e－3＝0?a＝－1， 則f(x)＝(x2－x－1)·ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)·ex－1， 令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝1， 當x＜－2或x＞1時，f′(x)＞0；

3、 當－2＜x＜1時，f′(x)＜0， 則f(x)極小值為f(1)＝－1.] 3．(2018·天津卷)已知函數(shù)f(x)＝exln x，f′(x)為f(x)的導函數(shù)，則f′(1)的值為________． 解析：由函數(shù)的解析式可得：f′(x)＝ex×ln x＋ex×＝ex(ln x＋)， 則：f′(1)＝e1×(ln 1＋)＝e.即f′(1)的值為e. 答案：e 4．(2019·天津卷)已知a∈R，設函數(shù)f(x)＝若關于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立，則a的取值范圍為(　　) A．[0,1] B．[0,2] C．[0，e] D．[1，e] 解析：C　[首先f(0)≥0，即

4、a≥0， 當0≤a≤1時，f(x)＝x2－2ax＋2a＝(x－a)2＋2a－a2≥2a－a2＝a(2－a)＞0， 當a＜1時，f(1)＝1＞0， 故當a≥0時，x2－2ax＋2a≥0在(－∞，1]上恒成立； 若x－aln x≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a≤在(1，＋∞)上恒成立， 令g(x)＝，則g′(x)＝， 易知x＝e為函數(shù)g(x)在(1，＋∞)唯一的極小值點、也是最小值點， 故g(x)max＝g(e)＝e，所以a≤e. 綜上可知，a的取值范圍是[0，e]．故選C.] [主干整合] 1．導數(shù)的幾何意義 函數(shù)y＝f(x)在點x＝x0處的導數(shù)值就是曲線y＝f(x)在點(

5、x0，f(x0))處的切線的斜率，其切線方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2．導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系 (1)f′(x)＞0是f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件，如函數(shù)f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，但f′(x)≥0. (2)f′(x)≥0是f(x)為增函數(shù)的必要不充分條件，當函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)＝0時，則f(x)為常函數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性． 3．可導函數(shù)極值的理解 (1)函數(shù)在定義域上的極大值與極小值的大小關系不確定，也有可能極小值大于極大值． (2)對于可導函數(shù)f(x)，“f(x)在x＝x0處的導數(shù)f′(x)＝0”是“f(x)在x＝x0處取得極值

6、”的必要不充分條件． (3)注意導函數(shù)的圖象與原函數(shù)圖象的關系，導函數(shù)由正變負的零點是原函數(shù)的極大值點，導函數(shù)由負變正的零點是原函數(shù)的極小值點． 4．函數(shù)的極值與最值 (1)函數(shù)的極值是局部范圍內(nèi)討論的問題，函數(shù)的最值是對整個定義域而言的，是在整個范圍內(nèi)討論的問題． (2)函數(shù)在其定義區(qū)間的最大值、最小值最多有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也可能沒有． (3)閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最值，開區(qū)間內(nèi)的函數(shù)不一定有最值，若有唯一的極值，則此極值一定是函數(shù)的最值． 熱點一　導數(shù)的幾何意義 [例1]　(1)(2019·全國Ⅲ卷)已知曲線y＝aex＋xln x在點(1，ae)處的切線

7、方程為y＝2x＋b，則(　　) A．a(chǎn)＝e，b＝－1　　　　　　 B．a(chǎn)＝e，b＝1 C．a(chǎn)＝e－1，b＝1 D．a(chǎn)＝e－1，b＝－1 [解析]　D　[y′＝aex＋ln x＋1，k＝y(tǒng)′|x＝1＝ae＋1， ∴切線方程為y－ae＝(ae＋1)(x－1)， 即y＝(ae＋1)x－1. 又∵切線方程為y＝2x＋b， ∴即a＝e－1，b＝－1.故選D.] (2)(2019·成都二模)已知曲線C1：y2＝tx(y＞0，t＞0)在點M處的切線與曲線C2：y＝ex＋1－1也相切，則tln的值為(　　) A．4e2 B．8e C．2 D．8 [解析]　D　[曲線C1：y＝，y′

8、＝. 當x＝時，y′＝，切線方程為y－2＝， 化簡為y＝x＋1.① 與曲線C2相切，設切點為(x0，y0)， y′|x＝x0＝ex0＋1＝，x0＝ln－1， 那么y0＝ex0＋1－1＝－1， 切線方程為y－＝， 化簡為y＝x－ln＋－1，② ①②是同一方程， 所以－ln＋－1＝1?ln＝， 即t＝4，那么tln＝4ln e2＝8，故選D.] 求曲線y＝f(x)的切線方程的三種類型及方法 (1)已知切點P(x0，y0)，求y＝f(x)過點P的切線方程：求出切線的斜率f′(x0)，由點斜式寫出方程． (2)已知切線的斜率為k，求y＝f(x)的切線方程： 設切點P(x

9、0，y0)，通過方程k＝f′(x0)解得x0，再由點斜式寫出方程． (3)已知切線上一點(非切點)，求y＝f(x)的切線方程： 設切點P(x0，y0)，利用導數(shù)求得切線斜率f′(x0)，然后由斜率公式求得切線斜率，列方程(組)解得x0，再由點斜式或兩點式寫出方程． (1)(2019·江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中，點A在曲線y＝ln x上，且該曲線在點A處的切線經(jīng)過點(－e，－1)(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則點A的坐標是________． 解析：導數(shù)運算及切線的理解應注意的問題： 一是利用公式求導時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆． 二是直線與曲線公共點的個數(shù)

10、不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個公共點，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個或兩個以上的公共點． 設點A(x0，y0)，則y0＝ln x0.又y′＝， 當x＝x0時，y′＝， 點A在曲線y＝ln x上的切線為y－y0＝(x－x0)， 即y－ln x0＝－1， 代入點(－e，－1)，得－1－ln x0＝－1， 即x0ln x0＝e， 考查函數(shù)H(x)＝xln x，當x∈(0,1)時，H(x)＜0，當x∈(1，＋∞)時，H(x)＞0， 且H′(x)＝ln x＋1，當x＞1時，H′(x)＞0，H(x)單調(diào)遞增， 注意到H(e)＝e，故x0ln x

11、0＝e存在唯一的實數(shù)根x0＝e，此時y0＝1， 故點A的坐標為A(e,1)． 答案：(e,1) (2)(2019·煙臺三模)函數(shù)f(x)＝exsin x的圖象在點(0，f(0))處的切線方程是________． 解析：由f(x)＝exsin x，得f′(x)＝exsin x＋excos x，所以f(0)＝0且f′(0)＝1，則切線的斜率為1，切點坐標為(0,0)，所以切線方程為y＝x. 答案：y＝x 熱點二　利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 邏輯 推理 素養(yǎng) 邏輯推理——分類與整合思想研究函數(shù)的單調(diào)性 含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題一般要分類討論，常見有以下幾種可能：①方程f′(x)＝

12、0是否有根；②若f′(x)＝0有根，求出根后是否在定義域內(nèi)；③若根在定義域內(nèi)且有兩個，比較根的大小是常見的分類方法. [例2]　(1)(2019·青島三模)若函數(shù)f(x)＝－x2＋x＋1在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是____________． [解析]　由已知得f′(x)＝x2－ax＋1，∵函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴f′(x)≤0在區(qū)間上恒成立， ∴即 解得a≥，∴實數(shù)a的取值范圍為. [答案]　 (2)(2019·吉林三模節(jié)選)已知函數(shù)f(x)＝ln x＋ax＋1＋－1，當－≤a≤0時，討論f(x)的單調(diào)性． [解]　f(x)的定義域為(0，＋∞)， f′(x)

13、＝＋a－＝ ＝. ①當a＝0時，f′(x)＝，此時，在(0,1)上f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增； ②當－≤a＜0時，f′(x)＝. (ⅰ)當－＝1，即a＝－時，f′(x)＝－≤0在(0，＋∞)上恒成立． 所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減； (ⅱ)當－＜a＜0時，－＜1，此時在(0,1)，上f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，在上f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增． 綜上所述：當a＝0時，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增；當－＜a＜0時，f(x)在(0,1)，上單調(diào)遞減，f(x)在上單調(diào)遞增；當a

14、＝－時f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減． 求解或討論函數(shù)單調(diào)性有關問題的解題策略 討論函數(shù)的單調(diào)性其實就是討論不等式的解集的情況．大多數(shù)情況下，這類問題可以歸結(jié)為一個含有參數(shù)的一元二次不等式的解集的討論： (1)在能夠通過因式分解求出不等式對應方程的根時，依據(jù)根的大小進行分類討論． (2)在不能通過因式分解求出根的情況時，根據(jù)不等式對應方程的判別式進行分類討論． [注意]　討論函數(shù)的單調(diào)性是在函數(shù)的定義域內(nèi)進行的，千萬不要忽視了定義域的限制． (2019·廣州二模)已知x＝1是f(x)＝2x＋＋ln x的一個極值點． (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間． (2)設函數(shù)g

15、(x)＝f(x)－，若函數(shù)g(x)在區(qū)間[1,2]內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍． 解：(1)f(x)的定義域為(0，＋∞)， f′(x)＝2－＋，x∈(0，＋∞)． 因為x＝1是f(x)＝2x＋＋ln x的一個極值點， 所以f′(1)＝0，即2－b＋1＝0. 解得b＝3，經(jīng)檢驗，適合題意，所以b＝3. 因為f′(x)＝2－＋＝， 解f′(x)＜0，得0＜x＜1. 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1]． (2)g(x)＝f(x)－＝2x＋ln x－(x＞0)， g′(x)＝2＋＋(x＞0)． 因為函數(shù)g(x)在[1,2]上單調(diào)遞增， 所以g′(x)≥0在[1,2]上恒

16、成立，即2＋＋≥0在[1,2]上恒成立，所以a≥－2x2－x在[1,2]上恒成立， 所以a≥(－2x2－x)max，x∈[1,2]． 因為在[1,2]上，(－2x2－x)max＝－3，所以a≥－3. 熱點三　利用導數(shù)研究函數(shù)的極(最)值 [例3]　(2019·銀川二模)已知函數(shù)f(x)＝ln x－ax2＋(a－2)x. (1)若f(x)在x＝1處取得極值，求a的值． (2)求函數(shù)y＝f(x)在[a2，a]上的最大值． [審題指導]　(1)要求a的值，只需要令f′(1)＝0即可． (2)要求f(x)的最大值，就要根據(jù)與區(qū)間[a2，a]的關系分類討論，依據(jù)單調(diào)性求解． [解析]　

17、(1)因為f(x)＝ln x－ax2＋(a－2)x，所以函數(shù)的定義域為(0，＋∞)． 所以f′(x)＝－2ax＋(a－2)＝＝. 因為f(x)在x＝1處取得極值，即f′(1)＝－(2－1)(a＋1)＝0，解得a＝－1. 當a＝－1時，在上f′(x)＜0，在(1，＋∞)上f′(x)＞0， 此時x＝1是函數(shù)f(x)的極小值點，所以a＝－1. (2)因為a2＜a，所以0＜a＜1，f′(x)＝－， 因為x∈(0，＋∞)，所以ax＋1＞0，所以f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． ①當0＜a≤時，f(x)在[a2，a]上單調(diào)遞增，所以f(x)max＝f(a)＝ln a－a3＋a2－2a；

18、 ②當即＜a＜時，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 所以f(x)max＝f＝－ln 2－＋＝－1－ln 2； ③當≤a2，即≤a＜1時，f(x)在[a2，a]上單調(diào)遞減，所以f(x)max＝f(a2)＝2ln a－a5＋a3－2a2. 綜上所述，當0＜a≤時，函數(shù)y＝f(x)在[a2，a]上的最大值是ln a－a3＋a2－2a； 當＜a＜時，函數(shù)y＝f(x)在[a2，a]上的最大值是－1－ln 2； 當≤a＜1時，函數(shù)y＝f(x)在[a2，a]上的最大值是2ln a－a5＋a3－2a2. 利用導數(shù)研究函數(shù)極值、最值的方法 (1)若求極值，則先求方程f′(x)＝0的根，再檢

19、查f′(x)在方程根的左、右函數(shù)值的符號． (2)若已知極值大小或存在情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情況來求解． (3)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最值時，在得到極值的基礎上，結(jié)合區(qū)間端點的函數(shù)值f(a)，f(b)與f(x)的各極值進行比較得到函數(shù)的最值． 幾點注意： ①求函數(shù)極值時，一定要注意分析導函數(shù)的零點是不是函數(shù)的極值點； ②求函數(shù)最值時，務必將極值與端點值比較得出最大(小)值； ③對于含參數(shù)的函數(shù)解析式或區(qū)間求極值、最值問題，務必要對參數(shù)分類討論． (2019·惠州二模)已知函數(shù)f(x)＝ (1)求f(x)在區(qū)間(－∞，1)上的極小值和

20、極大值點； (2)求f(x)在[－1，e](e為自然對數(shù)的底數(shù))上的最大值． 解析：(1)當x＜1時，f′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)，令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝. 當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (－∞，0) 0 f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x)  極小值  極大值  故當x＝0時，函數(shù)f(x)取得極小值為f(0)＝0，函數(shù)f(x)的極大值點為x＝. (2)①當－1≤x＜1時，由(1)知，函數(shù)f(x)在[－1,0)和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增． 因為f(－1)＝2，f＝，f(0)＝0

21、，所以f(x)在[－1，1)上的最大值為2. ②當1≤x≤e，f(x)＝aln x， 當a≤0時，f(x)≤0；當a＞0時，f(x)在[1，e]上單調(diào)遞增， 則f(x)在[1，e]上的最大值為f(e)＝a. 故當a≥2時，f(x)在[－1，e]上的最大值為a； 當a＜2時，f(x)在[－1，e]上的最大值為2. 限時50分鐘　滿分76分 一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分) 1．(2020·南開中學質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝g(x)＋2x且曲線y＝g(x)在x＝1處的切線為y＝2x＋1，則曲線y＝f(x)在x＝1處的切線的斜率為(　　) A．2　　　　　　　　

22、　　 B．4 C．6 D．8 解析：B　[∵曲線y＝g(x)在點(1，g(1))處的切線方程為y＝2x＋1，∴g′(1)＝2.∵函數(shù)f(x)＝g(x)＋2x，∴f′(x)＝g′(x)＋2，∴f′(1)＝g′(1)＋2，∴f′(1)＝2＋2＝4，即曲線y＝f(x)在x＝1處的切線的斜率為4.故選B.] 2．(2019·南京三模)若函數(shù)f(x)＝kx－ln x在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增，則k的取值范圍是(　　) A．(－∞，－2] B．(－∞，－1] C．[2，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：D　[因為f(x)＝kx－ln x，所以f′(x)＝k－.因為f(x)在區(qū)間(1，＋∞

23、)上單調(diào)遞增，所以當x＞1時，f′(x)＝k－≥0恒成立，即k≥在區(qū)間(1，＋∞)上恒成立．因為x＞1，所以0＜＜1，所以k≥1.故選D.] 3．(2019·保定三模)函數(shù)f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)內(nèi)有最小值，則a的取值范圍是(　　) A．[0,1) B．(－1,1) C. D．(0,1) 解析：D　[f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)． 當a≤0時，f′(x)＞0， ∴f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，無最小值． 當a＞0時，f′(x)＝3(x－)(x＋)． 當x∈(－∞，－)和(，＋∞)時，f(x)單調(diào)遞增； 當x∈(－，)時，f(x)單調(diào)遞減， 所

24、以當＜1，即0＜a＜1時，f(x)在(0,1)內(nèi)有最小值．] 4．(2020·長沙模擬)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋3x＋1有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(，＋∞) B．(－∞，－) C．(－，) D．(－∞，－)∪(，＋∞) 解析：D　[f′(x)＝x2＋2ax＋3. 由題意知方程f′(x)＝0有兩個不相等的實數(shù)根， 所以Δ＝4a2－12＞0， 解得a＞或a＜－.] 5．(2019·長春質(zhì)量監(jiān)測)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f′(x)＋f(x)＞0，其中f′(x)為f(x)的導函數(shù)，設a＝f(0)，b＝2f(ln 2)，c＝ef(1)，

25、則a，b，c的大小關系是(　　) A．c＞b＞a B．a(chǎn)＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a 解析：A　[令g(x)＝exf(x)，則g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]＞0，所以函數(shù)g(x)在定義域R上單調(diào)遞增，從而g(0)＜g(ln 2)＜g(1)，得f(0)＜2f(ln 2)＜ef(1)，即a＜b＜c.故選A.] 6．(山東卷)若函數(shù)y＝f(x)的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱y＝f(x)具有T性質(zhì)．下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是(　　) A．y＝sin x B．y＝ln x C．y＝ex D．y＝x3 解析：A　[當y＝sin x時

26、，y′＝cos x，cos 0·cos π＝－1，所以在函數(shù)y＝sin x圖象存在兩點x＝0，x＝π使條件成立，故A正確；函數(shù)y＝ln x，y＝ex，y＝x3的導數(shù)值均非負，不符合題意，故選A.] 二、填空題(本大題共2小題，每小題5分，共10分) 7．(2019·廈門三模)已知直線y＝kx－2與曲線y＝xln x相切，則實數(shù)k的值為____________． 解析：由y＝xln x知y′＝ln x＋1，設切點為(x0，x0ln x0)，則切線方程為y－x0ln x0＝(ln x0＋1)(x－x0)，因為切線y＝kx－2過定點(0，－2)，所以－2－x0ln x0＝(ln x0＋1)(0

27、－x0)，解得x0＝2，故k＝1＋ln 2. 答案：1＋ln 2 8．(2019·濰坊三模)設函數(shù)f(x)＝ln x－ax2－bx，若x＝1是f(x)的極大值點，則a的取值范圍是____________． 解析：f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝－ax－b， 由f′(1)＝0，得b＝1－a. ∴f′(x)＝－ax＋a－1＝＝－. ①若a≥0，當0＜x＜1時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增； 當x＞1時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減； 所以x＝1是f(x)的極大值點． ②若a＜0，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－. 因為x＝1是f(x)的極大值點， 所以－

28、＞1，解得－1＜a＜0. 綜合①②得a的取值范圍是(－1，＋∞)． 答案：(－1，＋∞) 三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分) 9．(2018·北京卷)設函數(shù)f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex. (1)若曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線斜率為0，求a； (2)若f(x)在x＝1處取得極小值，求a的取值范圍． 解：(1)∵f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex ∴f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex ∴f′(2)＝(2a－1)e2＝0 ∴a＝ (2)f′(x)＝(ax－1)(x－1)ex ①當a＝0時，令f′

29、(x)＝0得x＝1 f′(x)，f(x)隨x變化如下表： x (－∞，1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x)  極大值  ∴f(x)在x＝1處取得極大值(舍) ②當a＞0時，令f′(x)＝0得x1＝，x2＝1 a．當x1＝x2，即a＝1時， f′(x)＝(x－1)2ex≥0 ∴f(x)在R上單調(diào)遞增 ∴f(x)無極值(舍) b．當x1＞x2，即0＜a＜1時，f′(x)，f(x)隨x變化如下表： x (－∞，1) 1 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  極大值  極小值  ∴f

30、(x)在x＝1處取極大值(舍) c．當x1＜x2，即a＞1時 f′(x)，f(x)隨x變化如下表： x 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  極大值  極小值  ∴f(x)在x＝1處取極小值 即a＞1成立 ③當a＜0時，令f′(x)＝0得x1＝，x2＝1 f′(x)，f(x)隨x變化如下表： x 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x)  極小值  極大值  ∴f(x)在x＝1處取極大值(舍) 綜上所述：a的取值范圍為(1，＋∞)．

31、10．(2019·全國Ⅲ卷)已知函數(shù)f(x)＝2x3－ax2＋b. (1)討論f(x)的單調(diào)性． (2)是否存在a，b，使得f(x)在區(qū)間[0,1]的最小值為－1且最大值為1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，說明理由． 解析：這是一道常規(guī)的函數(shù)導數(shù)不等式和綜合題，題目難度比往年降低了不少．考查的函數(shù)單調(diào)性，最大值最小值這種基本概念的計算．思考量不大，由計算量補充． (1)對f(x)＝2x3－ax2＋b求導得f′(x)＝6x2－2ax＝6x.所以有當a＜0時，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，(0，＋∞)區(qū)間上單調(diào)遞增； 當a＝0時，(－∞，＋∞)區(qū)間上單調(diào)遞增； 當a＞0時，(

32、－∞，0)區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增． (2)若f(x)在區(qū)間[0,1]有最大值1和最小值－1，所以若a＜0，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，(0，＋∞)區(qū)間上單調(diào)遞增； 此時在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增，所以f(0)＝－1，f(1)＝1代入解得b＝－1，a＝0，與a＜0矛盾，所以a＜0不成立． 若a＝0，(－∞，＋∞)區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間[0.1]．所以f(0)＝－1，f(1)＝1代入解得. 若0＜a≤2，(－∞，0)區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增． 即f(x)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以區(qū)間[0,1]上最小值為f 而f(0)＝b，f(

33、1)＝2－a＋b≥f(0)，故所以區(qū)間[0,1]上最大值為f(1). 即相減得2－a＋＝2，即a(a－3)(a＋3)＝0，又因為0＜a≤2，所以無解． 若2＜a≤3，(－∞，0)區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增． 即f(x)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以區(qū)間[0,1]上最小值為f 而f(0)＝b，f(1)＝2－a＋b≤f(0)，故所以區(qū)間[0,1]上最大值為f(0). 即相減得＝2，解得x＝3，又因為2＜a≤3，所以無解． 若a＞3，(－∞，0)區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增． 所以有f(x)區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減，所以區(qū)間[0,1]上最

34、大值為f(0)，最小值為f(1) 即解得. 綜上得或. 答案：(1)見詳解；(2)或. 11．(2018·江蘇卷)記f′(x)，g′(x)分別為函數(shù)f(x)，g(x)的導函數(shù)．若存在x0∈R，滿足f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0)，則稱x0為函數(shù)f(x)與g(x)的一個“S點”． (1)證明：函數(shù)f(x)＝x與g(x)＝x2＋2x－2不存在“S點”； (2)若函數(shù)f(x)＝ax2－1與g(x)＝ln x存在“S點”，求實數(shù)a的值； (3)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋a，g(x)＝.對任意a＞0，判斷是否存在b＞0，使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)存在“S

35、點”，并說明理由． 解：(1)f′(x)＝1，g′(x)＝2x＋2 若存在，則有 根據(jù)②得到x0＝－代入①不符合，因此不存在“S點”． (2)f′(x)＝2ax，g′(x)＝ 根據(jù)題意有 且有x0＞0 根據(jù)②得到x0＝代入①得到a＝. (3)f′(x)＝－2x，g′(x)＝ 轉(zhuǎn)化為－x＋a＋＝0 ∵0＜x0＜1 ∴－x＋x＋a(x0－1)＋2x＝0?m(x)＝－x＋3x＋a(x0－1)＝0 轉(zhuǎn)化為m(x)存在零點x0,0＜x0＜1 又m(0)＝－a＜0，m(1)＝2 ∴m(x)恒存在零點大于0小于1 ∴對任意a＞0均存在b＞0，使得存在“S點”． - 15 -