2019年高考數學一輪復習 坐標系與參數方程 第2節(jié) 參數方程學案 理 北師大版

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1、 第二節(jié)　參數方程 [考綱傳真]　(教師用書獨具)1.了解參數方程，了解參數的意義.2.能選擇適當的參數寫出直線、圓和橢圓曲線的參數方程． (對應學生用書第201頁) [基礎知識填充] 1．曲線的參數方程 (1)一般地，在取定的坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標(x，y)都是某個變數t的函數并且對于t取的每一個允許值，由方程組所確定的點P(x，y)都在這條曲線上，那么方程組就叫作這條曲線的參數方程，聯(lián)系x，y之間關系的變數t叫作參變數，簡稱參數． 相對于參數方程，我們直接用坐標(x，y)表示的曲線方程f(x，y)＝0叫作曲線的普通方程． (2)曲線的參數方程和普通方程是曲線

2、方程的不同形式．一般地，可以通過消去參數，從參數方程得到普通方程． 2．常見曲線的參數方程和普通方程 點的軌跡 普通方程 參數方程 直線 y－y0＝tan α(x－x0) (t為參數) 圓 x2＋y2＝r2 (θ為參數) 橢圓 ＋＝1(a>b>0) (φ為參數) [知識拓展]　在直線的參數方程中，參數t的系數的平方和為1時，t才有幾何意義且?guī)缀我饬x為：|t|是直線上任一點M(x，y)到M0(x0，y0)的距離． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)參數方程中的x，y都是參數t的函數．(　　) (2)

3、過M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數方程為(t為參數)．參數t的幾何意義表示：直線l上以定點M0為起點，任一點M(x，y)為終點的有向線段的數量．(　　) (3)方程表示以點(0,1)為圓心，以2為半徑的圓．(　　) (4)已知橢圓的參數方程(t為參數)，點M在橢圓上，對應參數t＝，點O為原點，則直線OM的斜率為.(　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．(教材改編)曲線(θ為參數)的對稱中心(　　) A．在直線y＝2x上　　　 B．在直線y＝－2x上 C．在直線y＝x－1上 D．在直線y＝x＋1上 B　[由得 所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1

4、. 曲線是以(－1,2)為圓心，1為半徑的圓， 所以對稱中心為(－1,2)，在直線y＝－2x上．] 3．(教材改編)在平面直角坐標系中，曲線C：(t為參數)的普通方程為________． x－y－1＝0　[由x＝2＋t，且y＝1＋t， 消去t，得x－y＝1，即x－y－1＝0.] 4．橢圓C的參數方程為(φ為參數)，過左焦點F1的直線l與C相交于A，B，則|AB|min＝________. 　[由(φ為參數)，消去參數φ得＋＝1， 當AB⊥x軸時，|AB|有最小值． 所以|AB|min＝2×＝.] 5．(2017·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數方程為(t

5、為參數)，曲線C的參數方程為(s為參數)．設P為曲線C上的動點，求點P到直線l的距離的最小值． [解]　直線l的普通方程為x－2y＋8＝0. 因為點P在曲線C上，設P(2s2,2s)， 從而點P到直線l的距離 d＝＝. 當s＝時，dmin＝. 因此當點P的坐標為(4,4)時，曲線C上的點P到直線l的距離取到最小值. (對應學生用書第202頁) 參數方程與普通方程的互化 　(1)求直線(t為參數)與曲線(α為參數)的交點個數． (2)在平面直角坐標系xOy中，若直線l：(t為參數)過橢圓C：(φ為參數)的右頂點，求常數a的值. 【導學號：79140389】

6、 [解]　(1)將消去參數t得直線x＋y－1＝0； 將消去參數α得圓x2＋y2＝9.又圓心(0,0)到直線x＋y－1＝0的距離d＝<3. 因此直線與圓相交，故直線與曲線有2個交點． (2)直線l的普通方程為x－y－a＝0， 橢圓C的普通方程為＋＝1， 所以橢圓C的右頂點坐標為(3,0)，若直線l過(3,0)， 則3－a＝0，∴a＝3. [規(guī)律方法]　化參數方程為普通方程的基本思路是消去參數，常用的消參方法有代入消去法、加減消去法、恒等式(三角的或代數的)消去法.另外，消參時要注意參數的范圍. 普通方程化為參數方程時，先分清普通方程所表示的曲線類型，結合常見曲線的參數方程直接寫

7、出. [跟蹤訓練]　如圖2，以過原點的直線的傾斜角θ為參數，求圓x2＋y2－x＝0的參數方程． 圖2 [解]　圓的半徑為， 記圓心為C，連接CP， 則∠PCx＝2θ， 故xP＝＋cos 2θ＝cos2θ， yP＝sin 2θ＝sin θcos θ(θ為參數)． 所以圓的參數方程為 (θ為參數)． 參數方程的應用 　(2017·石家莊質檢)在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數方程為(θ為參數)，直線l經過點P(1,2)，傾斜角α＝. (1)寫出圓C的普通方程和直線l的參數方程； (2)設直線l與圓C相交于A，B兩點，求|PA|·|PB|的值． [解

8、]　(1)由消去θ， 得圓C的普通方程為x2＋y2＝16. 又直線l過點P(1,2)且傾斜角α＝， 所以l的參數方程為 即(t為參數)． (2)把直線l的參數方程 代入x2＋y2＝16， 得＋＝16，t2＋(＋2)t－11＝0， 所以t1t2＝－11， 由參數方程的幾何意義，|PA|·|PB|＝|t1t2|＝11. [規(guī)律方法]　(1)解決與圓、圓錐曲線的參數方程有關的綜合問題時，要注意普通方程與參數方程的互化公式，主要是通過互化解決與圓、圓錐曲線上與動點有關的問題，如最值、范圍等. (2)根據直線的參數方程的標準式中t的幾何意義，有如下常用結論： 過定點M0的直線與圓

9、錐曲線相交，交點為M1，M2，所對應的參數分別為t1，t2. ①弦長l＝|t1－t2|； ②弦M1M2的中點?t1＋t2＝0； ③|M0M1||M0M2|＝|t1t2|. [跟蹤訓練]　(2017·全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為(θ為參數)，直線l的參數方程為(t為參數)． (1)若a＝－1，求C與l的交點坐標； (2)若C上的點到l距離的最大值為，求a. [解]　(1)曲線C的普通方程為＋y2＝1. 當a＝－1時，直線l的普通方程為x＋4y－3＝0. 由 解得或 從而C與l的交點坐標為(3,0)，. (2)直線l的普通方程為x＋4y－a－4＝0，故

10、C上的點(3cos θ，sin θ)到l的距離為d＝. 當a≥－4時，d的最大值為. 由題設得＝，所以a＝8; 當a＜－4時，d的最大值為. 由題設得＝， 所以a＝－16. 綜上，a＝8或a＝－16. 極坐標方程與參數方程的綜合應用 　(2018·石家莊質檢(二))在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為(a>0，β為參數)．以O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，直線l的極坐標方程ρcos＝. (1)若曲線C與l只有一個公共點，求a的值； (2)A，B為曲線C上的兩點，且∠AOB＝，求△OAB的面積最大值． [解]　(1)曲線C是以(a,0

11、)為圓心，以a為半徑的圓， 直線l的直角坐標方程為x＋y－3＝0. 由直線l與圓C只有一個公共點，則可得＝a， 解得a＝－3(舍)，a＝1. 所以a＝1. (2)法一：曲線C的極坐標方程為ρ＝2acos θ(a>0)， 設A的極角為θ，B的極角為θ＋， 則S△OAB＝|OA|·|OB|sin ＝|2acos θ|· ＝a2， ∵cos θcos＝cos2θ－sin θcos θ ＝·－sin 2θ ＝＋ ＝cos＋， 所以當θ＝－時，cos＋取得最大值. △OAB的面積最大值為. 法二：因為曲線C是以(a,0)為圓心，以a為半徑的圓，且∠AOB＝， 由正弦定理

12、得＝2a，所以|AB|＝a. 由余弦定理得|AB|2＝3a2 ＝|OA|2＋|OB|2－|OA|·|OB| ≥|OA|·|OB|， 所以S△OAB＝|OA|·|OB|sin ≤×3a2×＝， 所以△OAB的面積最大值為. [規(guī)律方法]　處理極坐標、參數方程綜合問題的方法 (1)涉及參數方程和極坐標方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標方程后求解.當然，還要結合題目本身特點，確定選擇何種方程. (2)數形結合的應用，即充分利用參數方程中參數的幾何意義，或者利用ρ和θ的幾何意義，直接求解，能達到化繁為簡的解題目的. [跟蹤訓練]　(2018·太原模擬(二))在

13、直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(其中φ為參數)．以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程是ρ(tan α·cos θ－sin θ)＝1(α是常數，0<α<π，且α≠)，點A，B(A在x軸的下方)是曲線C1與C2的兩個不同交點． (1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標方程； (2)求|AB|的最大值及此時點B的坐標. 【導學號：79140390】 [解]　(1)∵∴＋y2＝1， 由得曲線C2的直角坐標方程為y＝tan α·x－1. (2)由(1)得曲線C2的參數方程為(t是參數)， 設A(t1cos α，－1＋t1sin α)，B(t2cos α，－1＋t2sin α)， 將C2：代入＋y2＝1， 整理得t2(1＋3sin2α)－8tsin α＝0， ∴t1＝0，t2＝， ∴|AB|＝|t1－t2|＝ ＝≤ ＝(當且僅當sin α＝取等號)， 當sin α＝時，∴0<α<π，且α≠， ∴cos α＝±， ∴B， ∴|AB|的最大值為， 此時點B的坐標為. 8