2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 層級(jí)二 專題一 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第1講 函數(shù)的圖象與性質(zhì)教學(xué)案
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1、 第1講 函數(shù)的圖象與性質(zhì) [考情考向·高考導(dǎo)航] 1.高考對(duì)函數(shù)的三要素,函數(shù)的表示方法等內(nèi)容的考查以基礎(chǔ)知識(shí)為主,難度中等偏下. 2.對(duì)圖象的考查主要有兩個(gè)方面:一是識(shí)圖,二是用圖,即利用函數(shù)的圖象,通過數(shù)形結(jié)合的思想解決問題. 3.對(duì)函數(shù)性質(zhì)的考查,主要是將單調(diào)性、奇偶性、周期性等綜合在一起考查,既有具體函數(shù)也有抽象函數(shù).常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),且常與新定義問題相結(jié)合,難度較大. [真題體驗(yàn)] 1.(2018·全國(guó)Ⅲ卷)下列函數(shù)中,其圖象與函數(shù)y=ln x的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱的是( ) A.y=ln(1-x) B.y=ln(2-x) C.y=
2、ln(1+x) D.y=ln(2+x) 解析:B [y=ln x過點(diǎn)(1,0),(1,0)關(guān)于x=1的對(duì)稱點(diǎn)是(1,0),而只有B選項(xiàng)過此點(diǎn),故選B.] 2.(2019·全國(guó)Ⅱ卷)設(shè)f(x)為奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=ex-1,則當(dāng)x<0時(shí),f(x)=( ) A.e-x-1 B.e-x+1 C.-e-x-1 D.-e-x+1 解析:D [當(dāng)x<0時(shí),-x>0,∴f(-x)=e-x-1, 又∵f(-x)=-f(x),∴-f(x)=e-x-1, 即f(x)=-e-x+1.] 3.(2018·全國(guó)Ⅱ卷)函數(shù)f(x)=的圖象大致為( ) 解析:B [∵f(-x)=
3、=-=-f(x), ∴f(x)是奇函數(shù),排除選項(xiàng)A;又∵f(1)=e->1,排除選項(xiàng)C、D,故選B.] 4.(2018·全國(guó)Ⅰ卷)設(shè)函數(shù)f(x)=則滿足f(x+1)<f(2x)的x的取值范圍是( ) A.(-∞,-1] B.(0,+∞) C.(-1,0) D.(-∞,0) 解析: D [畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖,①當(dāng)2x<0,x+1≥0時(shí)f(x+1)<f(2x)成立,∴-1≤x<0.②當(dāng)2x≤0,x+1≤0時(shí),要使f(x+1)<f(2x)成立,只需x+1>2x,∴x≤-1.由①②知滿足f(x+1)<f(2x)的x的取值范圍是(-∞,0).] [主干整合] 1.函數(shù)的
4、圖象 對(duì)于函數(shù)的圖象要會(huì)作圖、識(shí)圖、用圖. 作函數(shù)圖象有兩種基本方法:一是描點(diǎn)法,二是圖象變換法,其中圖象變換有平移變換、伸縮變換、對(duì)稱變換. 2.函數(shù)的性質(zhì) (1)單調(diào)性 對(duì)于函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)某一區(qū)間D上的任意x1,x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0(<0)?y=f(x)在D上是增(減)函數(shù); 對(duì)于函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)某一區(qū)間D上的任意x1,x2,>0(<0)?y=f(x)在D上是增(減)函數(shù). (2)奇偶性 對(duì)于定義域(關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)內(nèi)的任意x,f(x)+f(-x)=0?y=f(x)是奇函數(shù); 對(duì)于定義域(關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)內(nèi)的任意x,f(x)-f
5、(-x)=0?y=f(x)是偶函數(shù). (3)周期性 ①若函數(shù)f(x)滿足f(x+a)=f(x-a),則f(x)是周期函數(shù),其中一個(gè)周期是T=2a(a≠0); ②若滿足f(x+a)=-f(x),則f(x)是周期函數(shù),其中一個(gè)周期是T=2a(a≠0); ③若滿足f(x+a)=,則f(x)是周期函數(shù),其中一個(gè)周期是T=2a(a≠0); ④若函數(shù)滿足f(x+a)=-,則f(x)是周期函數(shù),其中一個(gè)周期是T=2a(a≠0). (4)對(duì)稱性 ①若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a-x),則f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.提醒:函數(shù)y=f(a+x)與y=f(
6、a-x)的圖象對(duì)稱軸為x=0,并非直線x=a. ②若f(x)滿足f(a+x)=f(b-x),則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱. ③若函數(shù)y=f(x)滿足f(x)=2b-f(2a-x),則該函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)成中心對(duì)稱. 熱點(diǎn)一 函數(shù)及其表示 [題組突破] 1.(2020·蘇州模擬)函數(shù)f(x)的定義域是[0,3],則函數(shù)y=的定義域是____________________. 解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域是[0,3],所以由得即≤x<2且x≠1, 即函數(shù)的定義域?yàn)? 答案: 2.(2018·江蘇卷)函數(shù)f(x)滿足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在區(qū)間(-
7、2,2]上,f(x)=則f(f(15))的值為________. 解析:因?yàn)閒(x+4)=f(x),函數(shù)的周期為4,所以y=sin(2x+4),f(15)=f(-1),f(-1)==, ∴f(f(15))=f=cos=. 答案: 3.(2017·課標(biāo)全國(guó)Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)=則滿足f(x)+f>1的x的取值范圍是________. 解析:由題意:g(x)=f(x)+f=,函數(shù)g(x)在區(qū)間(-∞,0],,三段區(qū)間內(nèi)均單調(diào)遞增,且:g=1,20+0+>1,(+1)×20-1>1,據(jù)此x的取值范圍是:. 答案: 4.(多選題)在下列四組函數(shù)中,f(x)與g(x)表示同一函數(shù)的是( )
8、 A.f(x)=x-1,g(x)= B.f(x)=|x+1|,g(x)= C.f(x)=1,g(x)=(x+1)0 D.f(x)=,g(x)= 解析:BD [本題考查判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同.對(duì)于A,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,g(x)的定義域?yàn)閧x|x≠-1},f(x)與g(x)的定義域不相同,則不是同一函數(shù);對(duì)于B,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,g(x)的定義域?yàn)镽,f(x)與g(x)的定義域相同,f(x)=|x+1|=對(duì)應(yīng)關(guān)系相同,則f(x)與g(x)是同一函數(shù);對(duì)于C,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,g(x)的定義域?yàn)閧x|x≠-1},f(x)與g(x)的定義域不相同,則不是同一函數(shù);對(duì)于D
9、,函數(shù)f(x)==1(x>0),g(x)==1(x>0)的定義域與對(duì)應(yīng)法則均相同,是同一函數(shù).故選BD.] 函數(shù)及其表示問題的注意點(diǎn) 1.求函數(shù)的定義域時(shí),要全面地列出不等式組,不可遺漏,并且要注意所列不等式中是否包含等號(hào). 2.對(duì)于分段函數(shù)解方程或不等式的問題,要注意在所應(yīng)用函數(shù)解析式對(duì)應(yīng)的自變量的范圍這個(gè)大前提,要在這個(gè)前提條件下解決問題. 熱點(diǎn)二 函數(shù)的圖象及其應(yīng)用 [例1] (1)(2019·全國(guó)Ⅰ卷)函數(shù)f(x)=在[-π,π]的圖象大致為( ) [解析] D [∵f(-x)==-f(x), ∴f(x)為奇函數(shù),排除A. 當(dāng)x=π時(shí),f(π)=>0,排除B
10、,C.故選D.] (2) 如圖,函數(shù)f(x)的圖象為折線ACB,則不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是( ) A.{x|-1<x≤0} B.{x|-1≤x≤1} C.{x|-1<x≤1} D.{x|-1<x≤2} [解析] C [令g(x)=y(tǒng)=log2(x+1),作出函數(shù)g(x)圖象如圖. 由得 ∴結(jié)合圖象知不等式f(x)≥log2(x+1)的解集為{x|-1<x≤1}.] 識(shí)圖、用圖的方法技巧 (1)識(shí)圖:從圖象與軸的交點(diǎn)及左、右、上、下分布范圍,變化趨勢(shì)、對(duì)稱性等方面找準(zhǔn)解析式與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系.如例1(1) (2)用圖:在研究函數(shù)性質(zhì)特別是
11、單調(diào)性、最值、零點(diǎn)時(shí),要注意用好其與圖象的關(guān)系,結(jié)合圖象研究.如例1(2) (1)(2019·南昌三模)函數(shù)f(x)=的部分圖象大致是( ) 解析:B [因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)椤取?,f(-x)===f(x),所以f(x)為偶函數(shù), 所以f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,故排除A, 令f(x)=0,即=0,解得x=0, 所以函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn),故排除D, 當(dāng)x=1時(shí),f(1)=<0,故排除C, 綜上所述,只有B符合.] (2)(2019·德州三模)用min{a,b,c}表示a,b,c中的最小值.設(shè)f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),則f(x)的最大
12、值為________. 解析:f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0)的圖象如圖中實(shí)線所示.令x+2=10-x,得x=4.故當(dāng)x=4時(shí),f(x)取最大值,又f(4)=6,所以f(x)的最大值為6. 答案:6 熱點(diǎn)三 函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用 數(shù)學(xué) 抽象 素養(yǎng) 數(shù)學(xué)抽象——抽象函數(shù)與函數(shù)的“三性” 函數(shù)的周期性常常通過函數(shù)的奇偶性得到,函數(shù)的奇偶性體現(xiàn)的是一種對(duì)稱關(guān)系,而函數(shù)的單調(diào)性體現(xiàn)的是函數(shù)值隨自變量變化而變化的規(guī)律.在解題時(shí),往往需要借助函數(shù)的奇偶性和周期性來確定另一區(qū)間上的單調(diào)性. 確定函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性等 [例2] (1)(2019·唐山
13、調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=ln x+ln(2-x),則( ) A.f(x)在(0,2)單調(diào)遞增 B.f(x)在(0,2)單調(diào)遞減 C.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱 D.y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱 [解析] C [由題意知,f(2-x)=ln(2-x)+ln x=f(x),所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,C正確,D錯(cuò)誤;又f′(x)=-=(0<x<2),在(0,1)上單調(diào)遞增,在[1,2)上單調(diào)遞減,A、B錯(cuò)誤.故選C.] (2)(2019·大同三模)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+|x|)-,則使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范圍是( ) A.
14、 B.∪(1,+∞) C. D.∪ [解析] A [f(x)是偶函數(shù),且在[0,+∞)上是增函數(shù),所以f(x)>f(2x-1)?f(|x|)>f(|2x-1|)?|x|>|2x-1|?<x<1.] 函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 [例3] (1)(2018·全國(guó)卷Ⅱ)已知f(x)是定義域?yàn)?-∞,+∞)的奇函數(shù),滿足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( ) A.-50 B.0 C.2 D.50 [解析] C [f(x)是奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱, 又∵f(1-x)=f(1+x),∴f(x)關(guān)于x=1對(duì)稱,
15、故知f(x)是周期函數(shù),周期T=4. 又∵f(2)=f(0)=0,f(3)=f(4-1)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(-2)=0, ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0+(-2)+0=0, ∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)+f(2)=2+0=2.] (2)(2019·武漢三模)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x-1)=f(x+1),且當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),f(x)=x,則( ) A.f(-3)<f(2)<f B.f<f(-3)<f(2) C.f(2)<f(-3)<f D.f(2)<f<f(-3) [解析] D [因?yàn)閒
16、(x-1)=f(x+1),所以f(x)=f(x+2),即函數(shù)的周期是2, 當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),f(x)=x=x·,則f(-x)=-x·=-x·=x·=f(x),則函數(shù)f(x)為偶函數(shù), 當(dāng)0≤x<1時(shí),函數(shù)y=x為增函數(shù),y=1-也為增函數(shù),則函數(shù)f(x)=x=x·在0≤x<1為增函數(shù),則f=f=f,f(-3)=f(-3+2)=f(-1)=f(1),f(2)=f(0),則f(0)<f<f(1),即f(2)<f<f(-3).] 函數(shù)三個(gè)性質(zhì)的應(yīng)用 (1)奇偶性:具有奇偶性的函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上其圖象、函數(shù)值、解析式和單調(diào)性聯(lián)系密切,研究問題時(shí)可轉(zhuǎn)化到只研究部分(一半)區(qū)間上.
17、尤其注意偶函數(shù)f(x)的性質(zhì):f(|x|)=f(x). (2)單調(diào)性:可以比較大小,求函數(shù)最值,解不等式,證明方程根的唯一性. (3)周期性:利用周期性可以轉(zhuǎn)化函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì),把不在已知區(qū)間上的問題,轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上求解. (1)(2019·貴陽調(diào)研)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(x+4)=f(x-2).若當(dāng)x∈[-3,0]時(shí),f(x)=6-x,則f(919)=________. 解析:∵f(x+4)=f(x-2), ∴f((x+2)+4)=f((x+2)-2),即f(x+6)=f(x), ∴f(x)是周期為6的周期函數(shù), ∴f(919)=f(153×6+
18、1)=f(1). 又f(x)是定義在R上偶函數(shù), ∴f(1)=f(-1)=6,即f(919)=6. 答案:6 (2)(2019·青島三模)已知偶函數(shù)y=f(x)(x∈R)在區(qū)間[-1,0]上單調(diào)遞增,且滿足f(1-x)+f(1+x)=0,給出下列判斷: ①f(5)=0;②f(x)在[1,2]上是減函數(shù);③函數(shù)y=f(x)沒有最小值;④函數(shù)f(x)在x=0處取得最大值;⑤f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱. 其中正確的序號(hào)是________. 解析:因?yàn)閒(1-x)+f(1+x)=0,所以函數(shù)y=f(x)(x∈R)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,且周期為4,畫出滿足條件的圖象,結(jié)合圖象可知①②
19、④正確. 答案:①②④ 限時(shí)40分鐘 滿分80分 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分) 1.(2020·湖北部分重點(diǎn)中學(xué)起點(diǎn)考試)已知函數(shù)f(x)=(ex+e-x)ln-1,若f(a)=1,則f(-a)=( ) A.1 B.-1 C.3 D.-3 解析:D [解法一 由題意,f(a)+f(-a)=(ea+e-a)ln-1+(ea+e-a)ln-1=(ea+e-a)-2=-2,所以f(-a)=-2-f(a)=-3,故選D. 解法二 令g(x)=f(x)+1=(ex+e-x)ln,則g(-x)=(e-x+ex)ln=-(ex+e-x
20、)ln=-g(x),所以g(x)為奇函數(shù),所以f(-a)=g(-a)-1=-g(a)-1=-f(a)-2=-3,故選D.] 2.(2020·唐山摸底)設(shè)函數(shù)f(x)=x(ex+e-x),則f(x)( ) A.是奇函數(shù),且在(0,+∞)上是增函數(shù) B.是偶函數(shù),且在(0,+∞)上是增函數(shù) C.是奇函數(shù),且在(0,+∞)上是減函數(shù) D.是偶函數(shù),且在(0,+∞)上是減函數(shù) 解析:A [通解 由已知可知,f(-x)=(-x)(e-x+ex)=-x(ex+e-x)=-f(x),故f(x)為奇函數(shù).f′(x)=ex+e-x+x(ex-e-x),當(dāng)x>0時(shí),ex>e-x,所以x(ex-e-x
21、)>0,又ex+e-x>0,所以f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),故選A. 優(yōu)解 根據(jù)題意知f(-x)=-f(x),所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù).又f(1)<f(2),所以f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),故選A.] 3.(2019·合肥調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(x)=則g(f(-7))=( ) A.3 B.-3 C.2 D.-2 解析:D [函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(x)= 設(shè)x<0,則-x>0,則f(-x)=log2(-x+1), 因?yàn)閒(-x)=-f(x), 所以f(x)=-f(-x)=-log2(-x+1),
22、所以g(x)=-log2(-x+1)(x<0), 所以f(-7)=g(-7)=-log2(7+1)=-3, 所以g(-3)=-log2(3+1)=-2.] 4.(2020·大連模擬)若函數(shù)f(x)同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件,則稱該函數(shù)為“優(yōu)美函數(shù)”: (1)?x∈R,都有f(-x)+f(x)=0; (2)?x1,x2∈R,且x1≠x2,都有<0. ①f(x)=sin x;②f(x)=-2x3;③f(x)=1-x;④f(x)=ln(+x). 以上四個(gè)函數(shù)中,“優(yōu)美函數(shù)”的個(gè)數(shù)是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:B [由條件(1),得f(x)是奇函數(shù),由條件(2),
23、得f(x)是R上的減函數(shù). 對(duì)于①,f(x)=sin x在R上不單調(diào),故不是“優(yōu)美函數(shù)”;對(duì)于②,f(x)=-2x3既是奇函數(shù),又在R上單調(diào)遞減,故是“優(yōu)美函數(shù)”;對(duì)于③,f(x)=1-x不是奇函數(shù),故不是“優(yōu)美函數(shù)”;對(duì)于④,易知f(x)在R上單調(diào)遞增,故不是“優(yōu)美函數(shù)”.故選B.] 5.(2020·遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且x≥0時(shí),f(x)=(-x+a+1)log2(x+2)+x+m,其中a,m是常數(shù),且a>0.若f(0)+f(a)=1,則f(m-3)=( ) A.1 B.-1 C.6 D.-6 解析:C [由題意知f(0)=a+1+m=
24、0,所以a+m=-1,又f(a)=log2(a+2)+a+m,f(0)+f(a)=1,所以log2(a+2)=2,解得a=2,所以m=-3.于是,當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=(3-x)log2(x+2)+x-3.故f(m-3)=f(-6)=-f(6)=-(-3log28+3)=6.故選C.] 6.(組合型選擇題)函數(shù)y=f(x)和y=g(x)在[-2,2]上的圖象分別如圖(1)(2)所示: 給出下列四個(gè)命題: ①方程f(g(x))=0有且僅有6個(gè)根; ②方程g(f(x))=0有且僅有3個(gè)根; ③方程f(f(x))=0有且僅有5個(gè)根; ④方程g(f(g))=0有且僅有4個(gè)根; 其中正
25、確命題的個(gè)數(shù)是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 解析:B [由圖象可得-2≤g(x)≤2,-2≤f(x)≤2. 對(duì)于①,觀察f(x)的圖象,可知滿足方程f(g(x))=0的g(x)有三個(gè)不同的值,一個(gè)值在-2或-1之間,一個(gè)值為0,一個(gè)值在1與2之間. 再觀察g(x)的圖象,由圖象知,g(x)的值在-2與-1之間時(shí)對(duì)應(yīng)了2個(gè)x值, g(x)=0時(shí)對(duì)應(yīng)了2個(gè)x值,g(x)的值在1與2之間時(shí)對(duì)應(yīng)了2個(gè)x值,故方程f(g(x))=0有且僅有6個(gè)根,故①正確. 對(duì)于②,觀察g(x)的圖象,可知滿足g(f(x))=0的f(x)有兩個(gè)不同的值,一個(gè)值處于-2與-1之間,另一個(gè)值處
26、于0與1之間.觀察f(x)的圖象,知f(x)的值在-2與-1之間時(shí)對(duì)應(yīng)了1個(gè)x值,f(x)的值在0與1之間時(shí)對(duì)應(yīng)了3個(gè)x值,所以方程g(f(x))=0有且僅有4個(gè)根,故②不正確. 對(duì)于③,觀察f(x)的圖象,可知滿足方程f(f(x))=0的f(x)有3個(gè)不同的值,一個(gè)值在-2與-1之間,一個(gè)值為0,一個(gè)值在1與2之間. 再觀察f(x)的圖象,由圖象知f(x)的值在-2與-1之間時(shí)對(duì)應(yīng)了1個(gè)x值,f(x)=0時(shí)對(duì)應(yīng)了3個(gè)x值,f(x)的值在1與2之間時(shí)對(duì)應(yīng)了1個(gè)x值,故方程f(f(x))=0有且僅有5個(gè)根,故③正確. 對(duì)于④,觀察g(x)的圖象,可知滿足方程g(g(x))=0的g(x)有2
27、個(gè)不同的值,一個(gè)值在-2與-1之間,一個(gè)值在0與1之間.再觀察g(x)的圖象,由圖象可知g(x)的值在-2與-1之間時(shí)對(duì)應(yīng)了2個(gè)x值,g(x)的值在0與1之間時(shí)對(duì)應(yīng)了2個(gè)x值,故方程g(g(x))=0有且僅有4個(gè)根,故④正確. 綜上所述,正確命題的個(gè)數(shù)是3.故選B.] 7.(2019·廣州二模)已知定義在R上的函數(shù)f(x),對(duì)任意x∈R,都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立,若函數(shù)y=f(x+1)的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱,則f(2 022)的值為( ) A.2 018 B.-2 018 C.0 D.4 解析:C [依題意得,函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱,因此函
28、數(shù)y=f(x)是偶函數(shù),且f(-2+4)=f(-2)+f(2),即f(2)=f(2)+f(2),所以f(2)=0,所以f(x+4)=f(x),即函數(shù)y=f(x)是以4為周期的函數(shù),f(2 022)=f(4×505+2)=f(2)=0.] 8.(2019·蘇州調(diào)研)函數(shù)y=的部分圖象大致為( ) 解析:C [令f(x)=, ∵f(1)=>0,f(π)==0, ∴排除選項(xiàng)A,D. 由1-cos x≠0得x≠2kπ(k∈Z), 故函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 又∵f(-x)==-=-f(x), ∴f(x)為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,∴排除選項(xiàng)B.故選C.] 9.已知函
29、數(shù)f(x)=x-4+,x∈(0,4).當(dāng)x=a時(shí),f(x)取得最小值b,則函數(shù)g(x)=|x+b|的圖象為( ) 解析:B [因?yàn)閤∈(0,4),所以x+1>1,所以f(x)=x-4+=x+1+-5≥2 -5=1,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào),且f(x)的最小值為1,所以a=2,b=1,所以g(x)=|x+1|,其圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱,又g(x)=|x+1|≤0=1,所以B.] 10.(2020·河北衡水中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)=+sin x,其中f′(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),則f(2 018)+f(-2 018)+f′(2 019)-f′(-2 019)等于( ) A.2
30、B.2 019 C.2 018 D.0 解析:A [由題意得f(x)+f(-x)=2, ∴f(2 018)+f(-2 018)=2, 由f(x)+f(-x)=2可得f(x)-1+f(-x)-1=0, ∴y=f(x)-1為奇函數(shù), ∴y=f(x)-1的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù), 即y=f′(x)為偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱, ∴f′(2 019)-f′(-2 019)=0, ∴f(2 018)+f(-2 018)+f′(2 019)-f′(-2 019)=2.故選A.] 11.(2019·定州二模)已知a>0,設(shè)函數(shù)f(x)=(x∈[-a,a])的最大值為M,最小值為N,那么M+N=
31、( ) A.2 017 B.2 019 C.4 040 D.4 036 解析:D [由題意得f(x)==2 019-. 因?yàn)閥=2 019x+1在[-a,a]上是單調(diào)遞增的, 所以f(x)=2 019-在[-a,a]上是單調(diào)遞增的,所以M=f(a),N=f(-a), 所以M+N=f(a)+f(-a) =4 038--=4 036.] 12.(2019·貴陽監(jiān)測(cè))已知函數(shù)f(x)=,則下列結(jié)論正確的是( ) A.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,2)中心對(duì)稱 B.函數(shù)f(x)在(-∞,1)上是增函數(shù) C.函數(shù)f(x)的圖象上存在不同的兩點(diǎn)A、B,使得直線AB∥x軸 D
32、.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱 解析:A [因?yàn)閒(x)===+2,所以該函數(shù)圖象可以由y=的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到,所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,2)中心對(duì)稱,A正確,D錯(cuò)誤;易知函數(shù)f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,故B錯(cuò)誤;易知函數(shù)f(x)的圖象是由y=的圖象平移得到的,所以不存在不同的兩點(diǎn)A、B,使得直線AB∥x軸,C錯(cuò)誤.故選A.] 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分) 13.(2020·安徽江淮十校聯(lián)考)函數(shù)f(x)=log(x2+2)+,若f(2x+1)≥f(x),則實(shí)數(shù)x的取值范圍是____________. 解析:
33、易知f(x)為偶函數(shù),且在[0,+∞)上單調(diào)遞減,∴|2x+1|≤|x|,解得-1≤x≤-,∴x∈. 答案: 14.(2019·北京卷)設(shè)函數(shù)f(x)=ex+ae-x(a為常數(shù)).若f(x)為奇函數(shù),則a=____________;若f(x)是R上的增函數(shù),則a的取值范圍是____________. 解析:若函數(shù)f(x)=ex+ae-x為奇函數(shù),則f(-x)=-f(x),e-x+aex=-(ex+ae-x)恒成立,即(a+1)(ex+e-x)=0恒成立,欲(a+1)(ex+e-x)=0對(duì)任意的x恒成立.需a+1=0,即a=-1時(shí),所以a=-1. 若函數(shù)f(x)=ex+ae-x是R上的增
34、函數(shù),則f′(x)=ex-ae-x≥0恒成立,a≤e2x,a≤0. 即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,0]. 答案:-1 (-∞,0] 15.(2020·湖北省八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=若f(e2)=f(1),f(e)=f(0),則函數(shù)f(x)的值域?yàn)開_______________. 解析:由題意可得解得∴當(dāng)x>0時(shí),f(x)=(ln x)2-2ln x+3=(ln x-1)2+2≥2;當(dāng)x≤0時(shí),<ex+≤e0+=,則函數(shù)f(x)的值域?yàn)椤萚2,+∞). 答案:∪[2,+∞) 16.(2020·遼寧五校聯(lián)考)如果定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:對(duì)任意的x1≠x2,都有x1f(x1)+
35、x2f(x2)≥x1f(x2)+x2f(x1),則稱f(x)為“H函數(shù)”,給出下列函數(shù): ①y=-x3+x+1;②y=3x-2(sin x-cos x) ③y=1-ex;④f(x)=;⑤y=. 其中是“H函數(shù)”的是________.(寫出所有滿足條件的函數(shù)的序號(hào)) 解析:因?yàn)閤1f(x1)+x2f(x2)≥x1f(x2)+x2f(x1),所以f(x1)(x1-x2)-f(x2)(x1-x2)≥0,即[f(x1)-f(x2)](x1-x2)≥0,分析可得,若函數(shù)f(x)為“H函數(shù)”,則函數(shù)f(x)為增函數(shù)或常函數(shù).對(duì)于①,y=-x3+x+1,則y′=-3x2+1,所以y=-x3+x+1既不是R上的增函數(shù)也不是常函數(shù),故其不是“H函數(shù)”;對(duì)于②,y=3x-2(sin x-cos x),則y′=3-2(cos x+sin x)=3-2sin>0,所以y=3x-2(sin x-cos x)是R上的增函數(shù),故其是“H函數(shù)”;對(duì)于③,y=1-ex是R上的減函數(shù),故其不是“H函數(shù)”;對(duì)于④,f(x)=當(dāng)x<1時(shí),是常函數(shù),當(dāng)x≥1時(shí),是增函數(shù),且當(dāng)x=1時(shí),ln x=0,故其是“H函數(shù)”;對(duì)于⑤,y=,當(dāng)x≠0時(shí),y=,不是R上的增函數(shù)也不是常函數(shù),故其不是“H函數(shù)”.所以滿足條件的函數(shù)的序號(hào)是②④. 答案:②④ - 15 -
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