2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 層級二 專題五 解析幾何 第2講 圓錐曲線的方程性質(zhì)及與弦有關(guān)的問題教學(xué)案
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1、 第2講 圓錐曲線的方程性質(zhì)及與弦有關(guān)的問題 [考情考向·高考導(dǎo)航] 圓錐曲線是高考的重點和熱點,是高考中每年必考的內(nèi)容.主要考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等內(nèi)容.對圓錐曲線方程與性質(zhì)的考查,以選擇題、填空題為主,對直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的考查,常與其他知識交匯命題,多以解答題的形式出現(xiàn). [真題體驗] 1.(2019·全國Ⅱ卷)若拋物線y2=2px(p>0)的焦點是橢圓+=1的一個焦點,則p=( ) A.2 B.3 C.4 D.8 解析:D [由橢圓+=1,知半焦距c==, ∴=,∴p=8.] 2.(2019·全國
2、Ⅱ卷)設(shè)F為雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的右焦點,O為坐標(biāo)原點,以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P,Q兩點.若|PQ|=|OF|,則C的離心率為( ) A. B. C.2 D. 解析:A [以O(shè)F為直徑的圓為2+y2=,即x2+y2-cx=0, 與圓x2+y2=a2相減得直線PQ的方程為x=, 由勾股定理得:==, ∴|PQ|==c, ∴2ab=c2,平方得:4a2b2=c4,∴4a2(c2-a2)=c4, 化簡得:e4-4e2+4=0,∴e2=2,即e=.] 3.(2018·全國Ⅱ卷)已知F1,F(xiàn)2是橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點,A是C的
3、左頂點,點P在過A且斜率為的直線上,△PF1F2為等腰三角形,∠F1F2P=120°,則C的離心率為( ) A. B. C. D. 解析:D [如圖直線AP的方程為y=(x+a),?、? 直線PF2的方程為y=(x-c),② ①與②聯(lián)立解得:x=,y=(a+c), ∴P, ∴|PF2|= =(a+c),又∵|PF2|=|F1F2|,∴(a+c)=2c, ∴a=4c,∴e==.] 4.(2018·全國Ⅲ卷)已知點M(-1,1)和拋物線C:y2=4x,過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A,B兩點.若∠AMB=90°,則k=________. 解析:設(shè)直線AB的方
4、程為y=k(x-1),由 得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,設(shè)A(x1,y1), B(x2,y2). 則x1+x2=,x1·x2=1. ∵∠AMB=90°,∴kMA·kMB=-1 解·=-1. 化簡得k2-4k+4=0,解得k=2. 答案:2 [主干整合] 1.圓錐曲線的定義 (1)橢圓:|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|); (2)雙曲線:||MF1|-|MF2||=2a(2a<|F1F2|); (3)拋物線:|MF|=d(d為M點到準(zhǔn)線的距離). 應(yīng)用圓錐曲線定義解題時,易忽視定義中隱含條件導(dǎo)致錯誤. 2.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1)橢圓
5、:+=1(a>b>0)(焦點在x軸上)或+=1(a>b>0)(焦點在y軸上); (2)雙曲線:-=1(a>0,b>0)(焦點在x軸上)或-=1(a>0,b>0)(焦點在y軸上); (3)拋物線:y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py(p>0). 3.圓錐曲線的重要性質(zhì) (1)橢圓、雙曲線中a,b,c之間的關(guān)系 ①在橢圓中:a2=b2+c2;離心率為e== . ②在雙曲線中:c2=a2+b2;離心率為e== . (2)雙曲線的漸近線方程與焦點坐標(biāo) ①雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±x,焦點坐標(biāo)F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0). ②雙曲線-=
6、1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±x,焦點坐標(biāo)F1(0,-c),F(xiàn)2(0,c). (3)拋物線的焦點坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程 ①拋物線y2=2px(p>0)的焦點F,準(zhǔn)線方程x=-. ②拋物線x2=2py(p>0)的焦點F,準(zhǔn)線方程y=-. 4.弦長問題 (1)直線與圓錐曲線相交的弦長 設(shè)而不求,利用根與系數(shù)的關(guān)系,進行整體代入.即當(dāng)斜率為k,直線與圓錐曲線交于A(x1,y1),B(x2,y2)時,|AB|= |x1-x2|= . (2)過拋物線焦點的弦長 拋物線y2=2px(p>0)過焦點F的弦AB,若A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2=,y1y2=-p2,弦長|AB
7、|=x1+x2+p. 熱點一 圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 [例1] (1)(2018·天津卷)已知雙曲線-=1,(a>0,b>0)的離心率為2,過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點.設(shè)A、B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2,且d1+d2=6,則雙曲線的方程為( ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 [解析] C [設(shè)雙曲線的右焦點坐標(biāo)為F(c,0)(c>0),則xA=xB=c, 由-=1可得:y=±, 不妨設(shè):A,B, 雙曲線的一條漸近線方程為:bx-ay=0, 據(jù)此可得:d1==,d2==, 則d1+d2==2b
8、=6,則b=3,b2=9, 雙曲線的離心率:e== = =2, 據(jù)此可得:a2=3,則雙曲線的方程為-=1.] (2)(2020·太原模擬)已知F1,F(xiàn)2分別是雙曲線3x2-y2=3a2(a>0)的左、右焦點,P是拋物線y2=8ax與雙曲線的一個交點,若|PF1|+|PF2|=12,則拋物線的準(zhǔn)線方程為____________. [解析] 由題意得拋物線的焦點與雙曲線的右焦點(2a,0)重合.聯(lián)立消去y得3x2-8ax-3a2=0,解得xP=3a(負舍).由點P在雙曲線上得|PF1|-|PF2|=2a,又因為|PF1|+|PF2|=12,所以|PF2|=6-a,又因為點P在拋物線上,所
9、以|PF2|=3a+2a=5a=6-a,解得a=1,所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-2a=-2. [答案] x=-2 圓錐曲線定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)注點 1.圓錐曲線的定義是根本,“回歸定義”是一種重要的解題策略.對于圓錐曲線的定義不僅要熟記,還要深入理解細節(jié)部分:比如橢圓的定義中要求|PF1|+|PF2|>|F1F2|,雙曲線的定義中要求||PF1|-|PF2||<|F1F2|,拋物線上的點到焦點的距離與到準(zhǔn)線的距離相等的轉(zhuǎn)化. 2.當(dāng)焦點位置無法確定時,拋物線常設(shè)為y2=2ax或x2=2ay(a≠0),橢圓常設(shè)為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),雙曲線常設(shè)為mx2-ny2=
10、1(mn>0). 3.注意數(shù)形結(jié)合,提倡畫出合理草圖. (1)(2019·全國Ⅰ卷)已知橢圓C的焦點為F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),過F2的直線與C交于A,B兩點.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,則C的方程為( ) A.+y2=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析:B [由已知|AF1|+|AF2|=2a, |BF1|+|BF2|=2a. 又|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|, ∴|BF2|=a,|AF2|=|AF1|=a, |BF1|=a. 又|F1F2|=2. ∴=- 解得a2=3,∴b2=2. ∴橢圓C的方
11、程為+=1.選B.] (2)(2020·龍巖質(zhì)檢)已知以圓C:(x-1)2+y2=4的圓心為焦點的拋物線C1與圓C在第一象限交于A點,B點是拋物線C2:x2=8y上任意一點,BM與直線y=-2垂直,垂足為M,則|BM|-|AB|的最大值為( ) A.1 B.2 C.-1 D.8 解析:A [因為圓C:(x-1)2+y2=4的圓心為C(1,0), 所以可得以C(1,0)為焦點的拋物線方程為y2=4x, 由解得A(1,2). 拋物線C2:x2=8y的焦點為F(0,2), 準(zhǔn)線方程為y=-2, 即有|BM|-|AB|=|BF|-|AB|≤|AF|=1, 當(dāng)且僅當(dāng)A,B,F(xiàn)(
12、A在B,F(xiàn)之間)三點共線時,可得最大值1.] 熱點二 圓錐曲線的幾何性質(zhì) 數(shù)學(xué) 運算 素養(yǎng) 數(shù)學(xué)運算——圓錐曲線的性質(zhì)與不等式綜合中的核心素養(yǎng) 以學(xué)習(xí)過的圓錐曲線和不等式相關(guān)知識為基礎(chǔ),通過將已知條件代數(shù)化,并進行一系列的數(shù)學(xué)運算,從而解決問題. [例2] (1)(2019·長沙二模)設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓+=1(a>b>0)的左,右焦點,若在直線x=上存在點P,使線段PF1的中垂線過點F2,則橢圓的離心率的取值范圍是( ) A. B. C. D. [解析] D [設(shè)P,線段F1P的中點Q的坐標(biāo)為, y2=,y2≥0. 但注意到b2-2c2≠0
13、,即2c2-b2>0, 即3c2-a2>0,即e2>,故<e<1. 當(dāng)不存在時,b2-2c2=0,y=0, 此時F2為中點,即-c=2c,得e=, 綜上,得≤e<1, 即所求的橢圓離心率的取值范圍是.故選D.] (2)(2020·石家莊模擬)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的焦距為2c,直線l過點且與雙曲線C的一條漸近線垂直,以雙曲線C的右焦點為圓心,半焦距為半徑的圓與直線l交于M,N兩點,若|MN|=c,則雙曲線C的漸近線方程為( ) A.y=±x B.y=±x C.y=±2x D.y=±4x [解析] B [由題意可設(shè)漸近線方程為y=x,則直線l的斜率kl=-
14、,直線方程為y=-, 整理可得ax+by-a2=0. 焦點(c,0)到直線的距離 d==, 則弦長為2=2 =c, 整理可得c4-9a2c2+12a3c-4a4=0, 即e4-9e2+12e-4=0, 分解因式得(e-1)(e-2)(e2+3e-2)=0. 又雙曲線的離心率e>1,則e==2, 又==, ∴雙曲線的漸近線方程為y=±x.故選B.] (1)求橢圓、雙曲線的離心率,關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a,b,c的等量關(guān)系,然后把b用a,c代換,求的值;在雙曲線中由于e2=1+2,故雙曲線的漸近線與離心率密切相關(guān). (2)圓錐曲線的幾何性質(zhì)常涉及一些不等關(guān)系,例如對橢圓
15、+=1(a>b>0),有-a≤x≤a,-b≤y≤b,0<e<1等,在求與圓錐曲線有關(guān)的一些量的范圍,或者求這些量的最大值或最小值時,經(jīng)常用到這些不等關(guān)系. (1)(2018·全國Ⅲ卷)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率為,則點(4,0)到C的漸近線的距離為( ) A. B.2 C. D.2 解析:D [∵e===. ∴=±1. ∴雙曲線C的漸近線方程為x±y=0, ∴點(4,0)到C的漸近線的距離d==2. 故答案選D.] (2)(2018·北京卷改編)已知橢圓M:+=1(a>b>0),雙曲線N:-=1.若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的
16、兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點,則橢圓M的離心率為________. 解析: 設(shè)橢圓的右焦點為F(c,0),雙曲線N的漸近線與橢圓M在第一象限內(nèi)的交點為A, 由題意可知A, 由點A在橢圓M上得,+=1,∴b2c2+3a2c2=4a2b2,∵b2=a2-c2, ∴(a2-c2)c2+3a2c2=4a2(a2-c2),則4a4-8a2c2+c4=0,e4-8e2+4=0,∴e2=4+2(舍),e2=4-2.由0<e<1,得e=-1. 答案:-1 (3)(2019·臨沂三模)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩條漸近線與拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線分別交于A,B兩點,O為坐
17、標(biāo)原點.若雙曲線的離心率為2,△AOB的面積為,則p=________. 解析: 由e==2,得c=2a,b=a,所以雙曲線的漸近線為y=±x.又拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-,聯(lián)立雙曲線的漸近線和拋物線的準(zhǔn)線方程得A,B, 在△AOB中,|AB|=p,O到AB的距離為, 因為S△AOB=,所以·p·=,p=2. 答案:2 熱點三 直線與圓錐曲線 [例3] (2019·江蘇卷)如圖, 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:+=1(a>b>0)的焦點為F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0).過F2作x軸的垂線l,在x軸的上方,l與圓F2:(x-1)2+y2=4a2交于點A,與橢圓C交于點
18、D.連接AF1并延長交圓F2于點B,連接BF2交橢圓C于點E,連接DF1.已知DF1=. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)求點E的坐標(biāo). [審題指導(dǎo)] (1)直接根據(jù)條件運用橢圓的定義求解. (2)思路1:結(jié)合(1)中結(jié)論求出點A的坐標(biāo),寫出直線AF1的方程,并與圓的方程聯(lián)立得點B的坐標(biāo),從而寫出直線BF2的方程,將其與橢圓方程聯(lián)立求得點E的坐標(biāo). 思路2:連接EF1,注意到∠A=∠B=∠BF1E,所以EF1∥F2A,可得EF1⊥x軸,從而可得點E的橫坐標(biāo)為-1,將x=-1與橢圓方程聯(lián)立可得點E的坐標(biāo). [解] (1)設(shè)橢圓C的焦距為2c. 因為F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0)
19、,所以F1F2=2,c=1. 又因為DF1=,AF2⊥x軸, 所以DF2= = =. 因此2a=DF1+DF2=4,從而a=2. 由b2=a2-c2,得b2=3. 因此橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. (2)方法1:由(1)知,橢圓C:+=1,a=2. 因為AF2⊥x軸,所以點A的橫坐標(biāo)為1. 將x=1代入圓F2的方程(x-1)2+y2=16,解得y=±4. 因為點A在x軸上方,所以A(1,4). 又F1(-1,0),所以直線AF1:y=2x+2. 由得5x2+6x-11=0, 解得x=1或x=-. 將x=-代入y=2x+2,解得y=-. 因此B. 又F2(1,0),所
20、以直線BF2:y=(x-1). 由得7x2-6x-13=0, 解得x=-1或x=. 又因為E是線段BF2與橢圓的交點,所以x=-1. 將x=-1代入y=(x-1),得y=-. 因此E. 方法2:由(1)知,橢圓C: +=1. 如圖,連接EF1. 因為BF2=2a, EF1+EF2=2a, 所以EF1=EB, 從而∠BF1E=∠B. 因為F2A=F2B,所以∠A=∠B. 所以∠A=∠BF1E, 從而EF1∥F2A. 因為AF2⊥x軸,所以EF1⊥x軸. 因為F1(-1,0),由得y=±. 又因為E是線段BF2與橢圓的交點,所以y=-. 因此E. 1
21、.在涉及弦長的問題中,應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)關(guān)系與弦長公式|AB|=|x2-x1|,設(shè)而不求計算弦長;涉及過焦點的弦的問題,可考慮用圓錐曲線的定義求解,以簡化運算. 2.對于弦的中點問題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點差法”求解,在使用根與系數(shù)的關(guān)系時,要注意使用條件Δ>0,在用“點差法”時,要檢驗直線與圓錐曲線是否相交. (1)(2019·日照三模)中心為原點,一個焦點為F(0,5)的橢圓,截直線y=3x-2所得弦中點的橫坐標(biāo)為,則該橢圓方程為( ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析:C [由已知知c=5,設(shè)橢圓的方程為+=1,聯(lián)立得消去y得(10
22、a2-450)x2-12(a2-50)x+4(a2-50)-a2(a2-50)=0,設(shè)直線y=3x-2與橢圓的交點坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),由根與系數(shù)關(guān)系得x1+x2=,由題意知x1+x2=1,即=1,解得a2=75,所以該橢圓方程為+=1,故選C.] (2)(2018·全國Ⅰ卷)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點為F,過點(-2,0)且斜率為的直線與C交于M,N兩點,則·=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 解析:D [如圖焦點F(1,0), 直線的方程為y=(x+2), 將其代入y2=4x得:x2-5x+4=0, 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
23、則x1+x2=5,x1x2=4, ∴·=(x1-1,y1)·(x2-1,y2)=(x1-1)(x2-1)+y1y2 =x1x2-(x1+x2)+1+(x1+2)·(x2+2) =x1x2-(x1+x2)+ =×4-×5+=8.故選D.] 限時50分鐘 滿分76分 一、選擇題(本大題共6小題,每小題5分,共30分) 1.(2019·天津卷)已知拋物線y2=4x的焦點為F,準(zhǔn)線為l.若l與雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于點A和點B,且|AB|=4|OF|(O為原點),則雙曲線的離心率為( ) A. B. C.2 D. 解析:
24、D [雙曲線-=1(a>0,b>0)的離心率e== . l的方程為x=-1,雙曲線的漸近線方程為y=±x, 故得A,B, 所以|AB|=,=4,b=2a, 所以e===.故選D.] 2.(2020·貴陽監(jiān)測)已知拋物線x2=2py(p>0)的焦點F是橢圓+=1(a>b>0)的一個焦點,且該拋物線的準(zhǔn)線與橢圓相交于A,B兩點,若△FAB是正三角形,則橢圓的離心率為( ) A. B. C. D. 解析:C [ 如圖,由|AB|=,△FAB是正三角形,得×=2c,化簡可得(2a2-3b2)(2a2+b2)=0,所以2a2-3b2=0,所以=,所以橢圓的離心率e== =
25、,故選C.] 3.(2020·福州模擬)過橢圓C:+=1(a>b>0)的右焦點作x軸的垂線,交C于A,B兩點,直線l過C的左焦點和上頂點.若以AB為直徑的圓與l存在公共點,則C的離心率的取值范圍是( ) A. B. C. D. 解析:A [由題設(shè)知,直線l:+=1,即bx-cy+bc=0,以AB為直徑的圓的圓心為(c,0),根據(jù)題意,將x=c代入橢圓C的方程,得y=±,即圓的半徑r=.又圓與直線l有公共點,所以≤,化簡得2c≤b,平方整理得a2≥5c2,所以e=≤.又0<e<1,所以0<e≤.故選A.] 4.(2019·全國Ⅲ卷)雙曲線C:-=1的右焦點為F,點P在C的一條
26、漸近線上,O為坐標(biāo)原點,若|PO|=|PF|,則△PFO的面積為( ) A. B. C.2 D.3 解析:A [忽視圓錐曲線方程和兩點間的距離公式的聯(lián)系導(dǎo)致求解不暢,采取列方程組的方式解出三角形的高,便可求三角形面積.由a=2,b=,c==. ∵|PO|=|PF|,∴xP=, 又P在C的一條漸近線上,不妨設(shè)為在y=x上, ∴S△PFO=|OF|·|yP|=××=,故選A.] 5.(2019·煙臺三模)過拋物線E:x2=2py(p>0)的焦點,且與其對稱軸垂直的直線與E交于A,B兩點,若E在A,B兩點處的切線與E的對稱軸交于點C,則△ABC外接圓的半徑是( ) A.(-
27、1)p B.p C.p D.2p 解析:B [因為直線過拋物線E:x2=2py(p>0)的焦點,且與其對稱軸垂直,∴A,B,由y′=可知E在A,B兩點處的切線斜率為k1=1,k2=-1, ∴k1·k2=-1,∴AC⊥BC, 即△ABC為直角三角形,又|AB|=2p,所以△ABC外接圓的半徑是p.] 6.以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A,B兩點,交C的準(zhǔn)線于D,E兩點.已知|AB|=4,|DE|=2,則C的焦點到準(zhǔn)線的距離為( ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析:B [設(shè)出拋物線和圓的方程,將點的坐標(biāo)代入,聯(lián)立方程組求解. 設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p>0
28、), 圓的方程為x2+y2=r2. ∵|AB|=4,|DE|=2, 拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-, ∴不妨設(shè)A,D. ∵點A,D在圓x2+y2=r2上, ∴∴+8=+5,∴p=4(負值舍去). ∴C的焦點到準(zhǔn)線的距離為4.] 二、填空題(本大題共2小題,每小題5分,共10分) 7.(2020·深圳模擬)已知圓C1:x2+(y-2)2=4,拋物線C2:y2=2px(p>0),C1與C2相交于A,B兩點,|AB|=,則拋物線C2的方程為____________. 解析:由題意,知圓C1與拋物線C2的其中一個交點為原點,不妨記為B,設(shè)A(m,n).∵|AB|=, ∴∴即A.將A的坐
29、標(biāo)代入拋物線方程得2=2p×,∴p=,∴拋物線C2的方程為y2=x. 答案:y2=x 8.(2019·全國Ⅰ卷)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點.若=,·=0,則C的離心率為____________. 解析:設(shè)直線方程為y=k(x+c), 由得A點坐標(biāo)為A, 由得B點坐標(biāo)為B ∵=, ∴A為F1B的中點, ∴ 整理得b=3ak.① ∵=, =, ·=0. ∴2-c2+2=0 整理得c2k2=(b-ak)2② 由①②得=2 ∴C的離心率e=2. 答案:2 三、解答題(本大題共3小
30、題,每小題12分,共36分) 9.(2019·全國Ⅰ卷)已知拋物線C:y2=3x的焦點為F,斜率為的直線l與C的交點為A,B,與x軸的交點為P. (1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程; (2)若=3,求||. 解: (1)設(shè)直線l的方程為y=x+b, A(x1,y1),B(x2,y2) 由得x2+(3b-3)x+b2=0. ∴x1+x2==, 又|AF|+|BF|=x1++x2+=+=4. 解得b=-,∴直線l的方程為y=x-. (2)設(shè)直線l的方程為y=(x-a),則P(a,0). 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2). 由消去x,得y2-2y-3a=0.
31、 ∵=3,∴y1=-3y2. 又,解得a=1. ∴y1+y2=2,y1·y2=-3, ∴|AB|= · = ·=. 10.(2019·天津卷)設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左焦點為F,上頂點為B.已知橢圓的短軸長為4,離心率為. (1)求橢圓的方程; (2)設(shè)點P在橢圓上,且異于橢圓的上、下頂點,點M為直線PB與x軸的交點,點N在y軸的負半軸上.若|ON|=|OF|(O為原點),且OP⊥MN,求直線PB的斜率. 解:(1)設(shè)橢圓的半焦距為c,依題意,2b=4,=,又a2=b2+c2,可得a=,b=2,c=1. 所以,橢圓的方程為+=1. (2)由題意,設(shè)P(xp,yp)(x
32、p≠0),M(xM,0).設(shè)直線PB的斜率為k(k≠0),又B(0,2),則直線PB的方程為y=kx+2,與橢圓方程聯(lián)立得整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得xp=-,代入y=kx+2得yp=,進而直線OP的斜率=.在y=kx+2中,令y=0,得xM=-.由題意得N(0,-1),所以直線MN的斜率為-.由OP⊥MN,得·=-1,化簡得k2=,從而k=±. 所以,直線PB的斜率為或-. 11.(2018·北京卷)已知橢圓M:+=1(a>b>0)的離心率為,焦距為2.斜率為k的直線l與橢圓M有兩個不同的交點A,B. (1)求橢圓M的方程; (2)若k=1,求|AB|的最大值; (
33、3)設(shè)P(-2,0),直線PA與橢圓M的另一個交點為C,直線PB與橢圓M的另一個交點為D.若C、D和點Q共線,求k. 解:(1)由題意得2c=2,∴c= 又∵e==,∴a= ∴b2=a2-c2=1,∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1 (2)設(shè)直線AB的方程為:y=x+m, A(x1,y1),B(x2,y2) 聯(lián)立,得:4x2+6mx+3m2-3=0 又∵Δ=36m2-4×4(3m2-3)=48-12m2>0, ∴m2<4, |AB|=|x1-x2|=×= ∴m2=0時,|AB|max= (3)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4) x+3y=3① x+3y=3② 又∵P(-2,0),故設(shè)k1=kPA=, ∴直線PA的方程為:y=k1(x+2) 聯(lián)立,消y得(1+3k1)x2+12kx+12k-3=0 x1+x3=-,∴x3=--x1 又k1=,代入①式得 ∴x3=,∴y3= ∴C,同理可得D 易知:=(x3+,y3-),=(x4+,y4-) ∵Q,C,D三點共線,∴(x3+)(y4-)-(x4+)(y3-)=0 代入C,D坐標(biāo)化簡得:=1,∴k=1 - 20 -
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