2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 不等式、推理與證明 第3節(jié) 二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題教學(xué)案 理（含解析）北師大版

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1、第三節(jié)　二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題 [考綱傳真]　1.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組.2.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.3.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決． 1．二元一次不等式表示的平面區(qū)域 一般地，直線l：ax＋by＋c＝0把直角坐標(biāo)平面分成了三個(gè)部分： (1)直線l上的點(diǎn)(x，y)的坐標(biāo)滿足ax＋by＋c＝0； (2)直線l一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)的坐標(biāo)滿足ax＋by＋c＞0； (3)直線l另一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)的坐標(biāo)滿足ax＋by＋c＜0. 所以，只需在直線l的某一側(cè)的平

2、面區(qū)域內(nèi)，任取一特殊點(diǎn)(x0，y0)，從ax0＋by0＋c值的正負(fù)，即可判斷不等式表示的平面區(qū)域． 2．線性規(guī)劃中的相關(guān)概念 名稱 意義 約束條件 由變量x，y組成的不等式(組) 線性約束條件 由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組 目標(biāo)函數(shù) 關(guān)于x，y的函數(shù)解析式，如z＝2x＋3y等 線性目標(biāo)函數(shù) 關(guān)于x，y的一次解析式 可行解 滿足線性約束條件的解(x，y) 可行域 所有可行解組成的集合 最優(yōu)解 使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解 二元線性 規(guī)劃問題 在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題 1．點(diǎn)P1(x1，y1)和P2(x

3、2，y2)位于直線Ax＋By＋C＝0的兩側(cè)的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＜0；位于直線Ax＋By＋C＝0同側(cè)的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0. 2．常見目標(biāo)函數(shù)的幾何意義 (1)z＝ax＋by：z表示直線y＝－x＋在y軸上的截距的b倍； (2)z＝：z表示可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)和點(diǎn)(a，b)連線的斜率； (3)z＝(x－a)2＋(y－b)2：z表示可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)和點(diǎn)(a，b)間的距離的平方． [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面區(qū)

4、域一定在直線Ax＋By＋C＝0的上方． (　　) (2)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解可能不唯一． (　　) (3)任何一個(gè)二元一次不等式組都表示平面上的一個(gè)區(qū)域． (　　) (4)線性目標(biāo)函數(shù)取得最值的點(diǎn)一定在可行域的頂點(diǎn)或邊界上． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．下列各點(diǎn)中，不在x＋y－1≤0表示的平面區(qū)域內(nèi)的是(　　) A．(0,0)　　　　　　　 B．(－1,1) C．(－1,3) D．(2，－3) C　[∵－1＋3－1＞0，∴點(diǎn)(－1,3)不在x＋y－1≤0表示的平面區(qū)域內(nèi)，故選C.] 3．不等式組表示的平面區(qū)域是(　　) 　　　

5、 A　 　　　　B　 　　　　C　　　　　D C　[把點(diǎn)(0,0)代入不等式組可知，點(diǎn)(0,0)不在x－3y＋6＜0表示的平面區(qū)域內(nèi)，點(diǎn)(0,0)在x－y＋2≥0表示的平面區(qū)域內(nèi)，故選C.] 4．設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y的最大值為(　　) A.　　　B．1 C.　　　D．3 D　[不等式組表示的可行域如圖所示． 由圖可知，當(dāng)過點(diǎn)A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y取得最大值．又A(0,3)，故z＝0＋3＝3.故選D．] 5．在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是__________． 1　[不等式組表示的區(qū)域如圖中的陰影部分所示， 由x＝1，x

6、＋y＝0得A(1，－1)， 由x＝1，x－y－4＝0得B(1，－3)， 由x＋y＝0，x－y－4＝0得C(2，－2)， ∴|AB|＝2，∴S△ABC＝×2×1＝1.] 二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 1．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐標(biāo)平面內(nèi)表示的區(qū)域(用陰影部分表示)大致是(　　) 　　　　　　　 A　　　　　　　　　B 　　　　　　　 C　　　　　　　　　D C　[(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0，即或與選項(xiàng)C符合． 故選C.] 2．已知不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镈，若直線y＝kx－3與平面區(qū)域D有公共點(diǎn)，則k的取值

7、范圍為(　　) A．[－3,3] B．∪ C．(－∞，－3]∪[3，＋∞) D． C　[滿足約束條件的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．因?yàn)橹本€y＝kx－3過定點(diǎn)(0，－3)，所以當(dāng)y＝kx－3過點(diǎn)C(1,0)時(shí)，k＝3；當(dāng)y＝kx－3過點(diǎn)B(－1,0)時(shí)，k＝－3，所以當(dāng)k≤－3或k≥3時(shí)，直線y＝kx－3與平面區(qū)域D有公共點(diǎn)．故選C.] 3．若不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?，且其面積等于，則m的值為(　　) A．－3　　　B．1　　　C.　　　D．3 B　[如圖，要使不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿切危瑒t－2m＜2，即m＞－1，所圍成的區(qū)域?yàn)椤鰽BC，S△ABC＝S△ADC－S△BD

8、C. 點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1＋m，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為(1＋m)，C，D兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為2，－2m，所以S△ABC＝(2＋2m)(1＋m)－(2＋2m)(1＋m)＝(1＋m)2＝，解得m＝－3(舍去)或m＝1.] [規(guī)律方法]　(1)求平面區(qū)域的面積 對(duì)平面區(qū)域進(jìn)行分析，若為三角形應(yīng)確定底與高，若為規(guī)則的四邊形(如平行四邊形或梯形)，可利用面積公式直接求解，若為不規(guī)則四邊形，可分割成幾個(gè)三角形，分別求解再求和即可． (2)利用幾何意義求解的平面區(qū)域問題，也應(yīng)作出平面圖形，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解． 求目標(biāo)函數(shù)的最值 ?考法1　求線性目標(biāo)函數(shù)的最值 【例1】　(2019·濟(jì)南模擬)設(shè)變量x

9、，y滿足約束條件則z＝2x－y的取值范圍為(　　) A．[－1,3]　　　　　　　　 B．[－1,6] C．[－1,5] D．[5,6] B　[畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分(含邊界)所示，由圖知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝2x－y經(jīng)過點(diǎn)A(3,0)時(shí)取得最大值2×3－0＝6，經(jīng)過點(diǎn)B(0,1)時(shí)取得最小值2×0－1＝－1，所以z的取值范圍為[－1,6]，故選 B． ] ?考法2　求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值 【例2】　(1)若變量x，y滿足則x2＋y2的最大值是(　　) A．4 B．9 C．10 D．12 (2)若x，y滿足約束條件則z＝的最大值為________．

10、(1)C　(2)3　[(1)如圖，作出不等式組所表示的可行域(陰影部分)，設(shè)可行域內(nèi)任一點(diǎn)P(x，y)，則x2＋y2的幾何意義為|OP|2.顯然，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，取得最大值． 由解得A(3，－1)． 所以x2＋y2的最大值為32＋(－1)2＝10.故選C. (2)由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立解得A. z＝的幾何意義為可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，則z＝的最大值為＝3.] ?考法3　求參數(shù)的值或取值范圍 【例3】　已知a＞0，x，y滿足約束條件若z＝2x＋y的最小值為1，則a＝(　　) A. B． C．1 D．2 A　[約束條件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域是以點(diǎn)(1，

11、－2a)，(1,2)和(3,0)為頂點(diǎn)的三角形及其內(nèi)部，當(dāng)y＝－2x＋z經(jīng)過點(diǎn)(1，－2a)時(shí)，z取得最小值1，則2－2a＝1，a＝，故選A.] [規(guī)律方法]　1.求目標(biāo)函數(shù)最值的解題步驟 (1)作圖——畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平行直線系中過原點(diǎn)的那一條直線； (2)平移——將直線平行移動(dòng)，以確定最優(yōu)解的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置；最優(yōu)解一般在封閉圖形的邊界或頂點(diǎn)處取得． (3)求值——解方程組求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)(即最優(yōu)解)，代入目標(biāo)函數(shù)，即可求出最值． 2．常見的三類目標(biāo)函數(shù) (1)截距型：形如z＝ax＋by. 求這類目標(biāo)函數(shù)的最值常將函數(shù)z＝ax＋by轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：

12、y＝－x＋，通過求直線的截距的最值間接求出z的最值． (2)距離型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2. (3)斜率型：形如z＝. 易錯(cuò)警示：注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性及幾何意義． (1)(2018·浙江高考)若x，y滿足約束條件則z＝x＋3y的最小值是________，最大值是________． (2)已知變量x，y滿足約束條件且有無窮多個(gè)點(diǎn)(x，y)使目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my取得最小值，則m＝________. (1)－2　8　(2)1　[(1)由題可得，該約束條件表示的平面區(qū)域是以(2,2)，(1,1)，(4，－2)為頂點(diǎn)的三角形及其內(nèi)部區(qū)域(圖略)．由線性規(guī)劃的知識(shí)可知，目標(biāo)函數(shù)z＝x

13、＋3y在點(diǎn)(2,2)處取得最大值，在點(diǎn)(4，－2)處取得最小值，則最小值z(mì)min＝4－6＝－2，最大值z(mì)max＝2＋6＝8. (2)作出線性約束條件表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示． 若m＝0，則z＝x，目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my取得最小值的最優(yōu)解只有一個(gè)，不符合題意． 若m≠0，則目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my可看作斜率為－的動(dòng)直線y＝－x＋， 若m＜0，則－＞0，數(shù)形結(jié)合知使目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my取得最小值的最優(yōu)解不可能有無窮多個(gè)； 若m＞0，則－＜0，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)動(dòng)直線與直線AB重合時(shí)，有無窮多個(gè)點(diǎn)(x，y)在線段AB上，使目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my取得最小值，即－＝－1，則m＝1. 綜上

14、可知，m＝1.] 線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用 【例4】　某化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，需要A，B，C三種主要原料．生產(chǎn)1車皮甲種肥料和生產(chǎn)1車皮乙種肥料所需三種原料的噸數(shù)如下表所示： 　　原料 肥料　　 A B C 甲 4 8 3 乙 5 5 10 現(xiàn)有A種原料200噸，B種原料360噸，C種原料300噸，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)甲、乙兩種肥料．已知生產(chǎn)1車皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤(rùn)為2萬元；生產(chǎn)1車皮乙種肥料，產(chǎn)生的利潤(rùn)為3萬元．分別用x，y表示計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種肥料的車皮數(shù)． (1)用x，y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域； (2)問分別生產(chǎn)甲、乙兩種

15、肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤(rùn)？并求出此最大利潤(rùn)． [解]　(1)由已知，x，y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為 該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)閳D(1)中的陰影部分． 圖(1) (2)設(shè)利潤(rùn)為z萬元，則目標(biāo)函數(shù)為z＝2x＋3y. 考慮z＝2x＋3y，將它變形為y＝－x＋，它的圖像是斜率為－，隨z變化的一族平行直線，為直線在y軸上的截距，當(dāng)取最大值時(shí)，z的值最大． 又因?yàn)閤，y滿足約束條件，所以由圖(2)可知，當(dāng)直線z＝2x＋3y經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時(shí)，截距最大，即z最大． 圖(2) 解方程組 得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(20,24)， 所以zmax＝2×20＋3×24＝112. 答

16、：生產(chǎn)甲種肥料20車皮、乙種肥料24車皮時(shí)利潤(rùn)最大，且最大利潤(rùn)為112萬元． [規(guī)律方法]　解線性規(guī)劃應(yīng)用題的步驟 (1)設(shè)變量；(2)列約束條件；(3)建目標(biāo)函數(shù)；(4)畫可行域；(5)求最優(yōu)解；(6)作答． 某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料，已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示．如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤(rùn)分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤(rùn)為(　　) 甲 乙 原料限額 A(噸) 3 2 12 B(噸) 1 2 8 A.12萬元 B．16萬元 C．17萬元 D．18萬元 D　[設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品

17、分別為x噸、y噸，每天所獲利潤(rùn)為z萬元，則有z＝3x＋4y，作出可行域如圖陰影部分所示，由圖形可知，當(dāng)直線z＝3x＋4y經(jīng)過點(diǎn)A(2,3)時(shí)，z取最大值，最大值為3×2＋4×3＝18.] 1．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)若x，y滿足約束條件則z＝3x＋2y的最大值為________． 6　[作出可行域?yàn)槿鐖D所示的△ABC所表示的陰影區(qū)域，作出直線3x＋2y＝0，并平移該直線，當(dāng)直線過點(diǎn)A(2,0)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋2y取得最大值，且zmax＝3×2＋2×0＝6. ] 2.(2017·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)x，y滿足約束條件則z＝3x－2y的最小值為________． －5　[作出可行域如圖陰

18、影部分所示． 由z＝3x－2y，得y＝x－. 作出直線l0：y＝x，并平移l0，知當(dāng)直線y＝x－過點(diǎn)A時(shí)，z取得最小值． 由得A(－1,1)， ∴zmin＝3×(－1)－2×1＝－5.] 3．(2015·全國(guó)卷Ⅰ)若x，y滿足約束條件則的最大值為________． 3　[畫出可行域如圖陰影所示，∵表示過點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)的直線的斜率， ∴點(diǎn)(x，y)在點(diǎn)A處時(shí)最大． 由得 ∴A(1,3)． ∴的最大值為3.] 4．(2016·全國(guó)卷Ⅰ)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個(gè)工時(shí)；

19、生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個(gè)工時(shí)．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2 100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為________元． 216 000　[設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品A x件，產(chǎn)品B y件，則 目標(biāo)函數(shù)z＝2 100x＋900y. 作出可行域?yàn)閳D中的陰影部分(包括邊界)內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)，圖中陰影四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)． 當(dāng)直線z＝2 100x＋900y經(jīng)過點(diǎn)(60,100)時(shí)，z取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．] - 10 -