2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 層級二 專題五 解析幾何 第1講 直線與圓教學(xué)案
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1、 第1講 直線與圓 [考情考向·高考導(dǎo)航] 對于直線的考查,主要是求直線的方程;兩條直線平行與垂直的判定;兩條直線的交點(diǎn)和距離等問題.一般以選擇題、填空題的形式考查.對于圓的考查,主要是結(jié)合直線的方程,用幾何法或待定系數(shù)法確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;對于直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系等問題,含參數(shù)問題為命題熱點(diǎn),一般以選擇題、填空題的形式考查,難度不大,涉及圓的解答題有逐漸強(qiáng)化的趨勢. [真題體驗(yàn)] 1.(2018·全國Ⅲ卷)直線x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在圓(x-2)2+y2=2上,則△ABP面積的取值范圍是( ) A.[2,6] B.[4,8]
2、 C.[,3] D.[2,3] 解析:A [由已知A(-2,0),B(0,-2).圓心(2,0)到直線x+y+2=0的距離為d==2,又圓的半徑為.∴點(diǎn)P到直線x+y+2=0的距離的最小值為,最大值為3,又|AB|=2.∴△ABP面積的最小值為Smin=×2×=2,最大值為Smax=×2×3=6.] 2.(2018·北京卷)在平面直角坐標(biāo)系中,記d為點(diǎn)P(cos θ,sin θ)到直線x-my-2=0的距離.當(dāng)θ,m變化時(shí),d的最大值為( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:C [本題考查直線與圓的位置關(guān)系.
3、點(diǎn)P(cos θ,sin θ)是單位圓x2+y2=1上的點(diǎn),直線x-my-2=0過定點(diǎn)(2,0),當(dāng)直線與圓相離時(shí),d可取到最大值,設(shè)圓心到直線的距離為d0,d0=,d=d0+1=+1,可知,當(dāng)m=0時(shí),dmax=3,故選C.] 3.(2018·天津卷)在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過三點(diǎn)(0,0),(1,1),(2,0)的圓的方程為________. 解析:設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0, 圓經(jīng)過三點(diǎn)(0,0),(1,1),(2,0),則: 解得 則圓的方程為x2+y2-2x=0. 答案:x2+y2-2x=0 4.(2018·全國Ⅰ卷)直線y=x+1與圓x2+y2+2y-3
4、=0交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=________. 解析:圓方程可化為x2+(y+1)2=4,∴圓心為(0,-1),半徑r=2,圓心到直線x-y+1=0的距離d==,∴|AB|=2=2=2. 答案:2 [主干整合] 1.兩條直線平行與垂直的判定 若兩條不重合的直線l1,l2的斜率k1,k2存在,則l1∥l2?k1=k2,l1⊥l2?k1k2=-1.若給出的直線方程中存在字母系數(shù),則要考慮斜率是否存在. 2.兩個(gè)距離公式 (1)兩平行直線l1:Ax+By+C1=0與l2:Ax+By+C2=0間的距離d=. (2)點(diǎn)(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離d=. 3.圓的
5、方程 (1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圓心為(a,b),半徑為r. (2)圓的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圓心為,半徑為r=. 4.直線與圓的位置關(guān)系的判定 (1)幾何法:把圓心到直線的距離d和半徑r的大小加以比較:d<r?相交;d=r?相切;d>r?相離. (2)代數(shù)法:將圓的方程和直線的方程聯(lián)立起來組成方程組,利用判別式Δ來討論位置關(guān)系:Δ>0?相交;Δ=0?相切;Δ<0?相離. 熱點(diǎn)一 直線的方程及其應(yīng)用 [例1] (1)(2020·大連模擬)“a=2”是“直線ax+y-2=0與直線2x+(a-1)y
6、+4=0平行”的( ) A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件 [解析] A [由ax+y-2=0與直線2x+(a-1)y+4=0平行,得a(a-1)=2,∴a=-1,a=2.經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)a=-1時(shí),兩直線重合(舍去).∴“a=2”是“直線ax+y-2=0與直線2x+(a-1)y+4=0平行”的充要條件.] (2)(2020·廈門模擬)過直線l1:x-2y+3=0與直線l2:2x+3y-8=0的交點(diǎn),且到點(diǎn)P(0,4)的距離為2的直線方程為________________. [解析] 由得所以l1與l2的交點(diǎn)為(1,2),當(dāng)所求直
7、線的斜率不存在時(shí),所求直線為x=1,顯然不符合題意. 故設(shè)所求直線的方程為y-2=k(x-1), 即kx-y+2-k=0, 因?yàn)镻(0,4)到所求直線的距離為2,所以2=,所以k=0或k=. 所以所求直線的方程為y=2或4x-3y+2=0. [答案] y=2或4x-3y+2=0 (3)三名工人加工同一種零件,他們在一天中的工作情況如圖所示,其中點(diǎn)Ai的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人上午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù),點(diǎn)Bi的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人下午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù),i=1,2,3. ①記Qi為第i名工人在這一天中加工的零件總數(shù),則Q1,Q2,Q3中最大的是________
8、. ②記pi為第i名工人在這一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù),則p1,p2,p3中最大的是________. [解析] 設(shè),線段A1B1的中點(diǎn)為E1(x1,y1),則Q1==2y1. 因此,要比較Q1,Q2,Q3的大小,只需比較線段A1B1,A2B2,A3B3中點(diǎn)縱坐標(biāo)的大小,作圖(圖略)比較知Q1最大. 又p1====,其幾何意義為線段A1B1的中點(diǎn)E1與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率, 因此,要比較p1,p2,p3的大小,只需比較線段A1B1,A2B2,A3B3中點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率,作圖比較知p2最大. [答案]?、貿(mào)1 ②p2 求解直線方程應(yīng)注意的問題 (1)求解兩條直線平行的問
9、題時(shí),在利用A1B2-A2B1=0建立方程求出參數(shù)的值后,要注意代入檢驗(yàn),排除兩條直線重合的情況. (2)要注意幾種直線方程的局限性.點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式要求直線不能與x軸垂直.而截距式方程不能表示過原點(diǎn)的直線,也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線. (3)求直線方程要考慮直線的斜率是否存在. (2020·寧德模擬)過點(diǎn)M(0,1)作直線,使它被兩條直線l1:x-3y+10=0,l2:2x+y-8=0所截得的線段恰好被M所平分,則此直線方程為____________. 解析:過點(diǎn)M且與x軸垂直的直線是x=0,它和直線l1,l2的交點(diǎn)分別為,(0,8),顯然不符合題意,故可設(shè)所求直線方程為
10、y=kx+1,其圖象與直線l1,l2分別交于A,B兩點(diǎn),則有① ② 由①解得xA=,由②解得xB=. 因?yàn)辄c(diǎn)M平分線段AB,所以xA+xB=2xM, 即+=0,解得k=-. 故所求的直線方程為y=-x+1,即x+4y-4=0. 答案:x+4y-4=0 熱點(diǎn)二 圓的方程及應(yīng)用 [例2] (1)(山東高考題)圓心在直線x-2y=0上的圓C與y軸的正半軸相切,圓C截x軸所得弦的長為2,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________. [解析] 設(shè)圓C的圓心為(a,b)(b>0),由題意得a=2b>0,且a2=()2+b2,解得a=2,b=1. ∴所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2
11、)2+(y-1)2=4. [答案] (x-2)2+(y-1)2=4 (2)(2019·唐山三模)已知A(-2,0),B(0,2),實(shí)數(shù)k是常數(shù),M,N是圓x2+y2+kx=0上兩個(gè)不同點(diǎn),P是圓x2+y2+kx=0上的動(dòng)點(diǎn),如果M,N關(guān)于直線x-y-1=0對稱,則△PAB面積的最大值是____________. [解析] 依題意得圓x2+y2+kx=0的圓心位于直線x-y-1=0上,于是有--1=0,即k=-2,因此圓心坐標(biāo)是(1,0),半徑是1.由題意可得|AB|=2,直線AB的方程是+=1,即x-y+2=0,圓心(1,0)到直線AB的距離等于=,點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值是+1,△
12、PAB面積的最大值為×2×=3+. [答案] 3+ 求圓的方程的兩種方法 (1)幾何法:通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系,求出圓的基本量:圓心坐標(biāo)和半徑.如圓中弦所在的直線與圓心和弦中點(diǎn)的連線相互垂直,設(shè)圓的半徑為r,弦長為|AB|,弦心距為d,則r2=d2+2等. (2)代數(shù)法:設(shè)出圓的方程,用待定系數(shù)法求解.在求圓的方程時(shí),要根據(jù)具體的條件選用合適的方法,但一般情況下,應(yīng)用幾何法運(yùn)算較簡捷. (1)(2019·臨沂三模)已知圓M的圓心在x軸上,且圓心在直線l1:x=-2的右側(cè),若圓M截直線l1所得的弦長為2,且與直線l2:2x-y-4=0相切,則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程
13、為________________. 解析:由已知,可設(shè)圓M的圓心坐標(biāo)為(a,0),a>-2,半徑為r,得 解得滿足條件的一組解為 所以圓M的方程為(x+1)2+y2=4. 答案:(x+1)2+y2=4 (2)(2020·馬鞍山模擬)圓心在曲線y=(x>0)上,且與直線2x+y+1=0相切的面積最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________. 解析:由條件設(shè)圓心坐標(biāo)為(a>0),又因?yàn)閳A與直線2x+y+1=0相切,所以圓心到直線的距離d=r=≥=,當(dāng)且僅當(dāng)2a=,即a=1時(shí)取等號,所以圓心坐標(biāo)為(1,2),圓的半徑的最小值為,則所求圓的方程為(x-1)2+(y-2)2=5.
14、 答案:(x-1)2+(y-1)2=5 熱點(diǎn)三 直線(圓)與圓的位置關(guān)系 直觀 想象 素養(yǎng) 直觀想象——圓的方程應(yīng)用中的核心素養(yǎng) 以學(xué)過的圓的相關(guān)知識為基礎(chǔ),借助曲線的方程感知一類問題共同特征的“直觀想象”,然后利用“直觀想象”解決問題. [例3] (1)(2020·湖北八校聯(lián)考)過點(diǎn)(,0)作直線l與曲線y=相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),當(dāng)△AOB的面積取最大值時(shí),直線l的斜率等于________. [解析] 令P(,0),如圖,易知|OA|=|OB|=1, 所以S△AOB=|OA|·|OB|·sin∠AOB=sin∠AOB≤,當(dāng)∠AOB=90°時(shí),△AOB的面積
15、取得最大值,此時(shí)過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H,則|OH|=, 于是sin∠OPH===, 易知∠OPH為銳角,所以∠OPH=30°,則直線AB的傾斜角為150°,故直線AB的斜率為tan 150°=-. [答案] - (2)如圖所示,已知以點(diǎn)A(-1,2)為圓心的圓與直線l1:x+2y+7=0相切.過點(diǎn)B(-2,0)的動(dòng)直線l與圓A相交于M,N兩點(diǎn),Q是MN的中點(diǎn),直線l與l1相交于點(diǎn)P. ①當(dāng)|MN|=2時(shí),則直線l的方程為____________. ②若·為定值,則這個(gè)定值為________. [解析] ①設(shè)圓A的半徑為R. ∵圓A與直線l1:x+2y+7=0相切, ∴R
16、==2. ∴圓A的方程為(x+1)2+(y-2)2=20. a.當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),易知x=-2符合題意; b.當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x+2),即kx-y+2k=0.連接AQ,則AQ⊥MN. ∵|MN|=2,∴|AQ|==1. 由|AQ|==1,得k=, ∴直線l的方程為3x-4y+6=0. ∴所求直線l的方程為x=-2或3x-4y+6=0. ②∵AQ⊥BP,∴·=0. ∵·=(+)· =·+·=·. 當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),得P. 則=,又=(1,2), ∴·=·=-5. 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x+2). 由解得
17、P. ∴=. ∴·=·=-=-5. 綜上所述:·為定值,其定值為-5. [答案]?、賦=-2或3x-4y+6=0?、冢? 直線(圓)與圓的位置關(guān)系的解題思路 (1)討論直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時(shí),要注意數(shù)形結(jié)合,充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑,減少運(yùn)算量. (2)圓上的點(diǎn)與圓外點(diǎn)的距離的最值問題,可以轉(zhuǎn)化為圓心到點(diǎn)的距離問題;圓上的點(diǎn)與直線上點(diǎn)的距離的最值問題,可以轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問題;圓上的點(diǎn)與另一圓上點(diǎn)的距離的最值問題,可以轉(zhuǎn)化為兩圓心之間的距離問題. (1)(2020·銀川調(diào)研)已知圓M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長度是2
18、,則圓M與圓N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置關(guān)系是____________. 解析:由題意知圓M的圓心為(0,a),半徑R=a,因?yàn)閳AM截直線x+y=0所得線段的長度為2,所以圓心M到直線x+y=0的距離d==(a>0),解得a=2,又知圓N的圓心為(1,1),半徑r=1,所以|MN|=,則R-r<<R+r,所以兩圓的位置關(guān)系為相交. 答案:相交 (2)(2020·江西七校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為x2+y2-8x+15=0,若直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn),使得以該點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn),則k的最大值是________. 解析: 圓C:(
19、x-4)2+y2=1,如圖,直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn),使得以該點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn),只需保證圓心C到y(tǒng)=kx-2的距離小于等于2即可, ∴≤2?0≤k≤. ∴kmax=. 答案: 限時(shí)40分鐘 滿分80分 一、選擇題(本大題共11小題,每小題5分,共55分) 1.(2020·成都二診)設(shè)a,b,c分別是△ABC中角A,B,C所對的邊,則直線sin A·x+ay-c=0與bx-sin B·y+sin C=0的位置關(guān)系是( ) A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直 解析:C [由題意可得直線sin A·x+ay-c=0的斜率
20、k1=-,bx-sin B·y+sin C=0的斜率k2=,故k1k2=-·=-1,則直線sin A·x+ay-c=0與直線bx-sin B·y+sin C=0垂直,故選C.] 2.(2020·杭州質(zhì)檢)一條光線從點(diǎn)(-2,-3)射出,經(jīng)y軸反射后與圓(x+3)2+(y-2)2=1相切,則反射光線所在直線的斜率為( ) A.-或- B.-或- C.-或- D.-或- 解析:D [點(diǎn)(-2,-3)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為(2,-3),故可設(shè)反射光線所在直線的方程為y+3=k(x-2),∵反射光線與圓(x+3)2+(y-2)2=1相切,∴圓心(-3,2)到直線的距離d==1,化簡得12k2
21、+25k+12=0,解得k=-或-.] 3.(2020·廣州模擬)若動(dòng)點(diǎn)A,B分別在直線l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上運(yùn)動(dòng),則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為( ) A. B.2 C.3 D.4 解析:C [由題意知AB的中點(diǎn)M的集合為到直線l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0的距離都相等的直線,則點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為原點(diǎn)到該直線的距離.設(shè)點(diǎn)M所在直線的方程為l:x+y+m=0,根據(jù)兩平行線間的距離公式得,=,即|m+7|=|m+5|,所以m=-6,即l:x+y-6=0,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式,得點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為=3.] 4.(2020·河
22、南六校聯(lián)考)已知直線x+y=a與圓x2+y2=1交于A,B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),向量,滿足|+|=|-|,則實(shí)數(shù)a的值為( ) A.1 B.2 C.±1 D.±2 解析:C [由,滿足|+|=|-|,得⊥, 因?yàn)橹本€x+y=a的斜率是-1, 所以A,B兩點(diǎn)在坐標(biāo)軸上并且在圓上; 所以(0,1)和(0,-1)兩點(diǎn)都適合直線的方程,故a=±1.] 5.(2020·懷柔調(diào)研)過點(diǎn)P(1,-2)作圓C:(x-1)2+y2=1的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,則AB所在直線的方程為( ) A.y=- B.y=- C.y=- D.y=- 解析:B [圓(x-1)2+y2=1的圓心
23、為C(1,0),半徑為1,以|PC|==2為直徑的圓的方程為(x-1)2+(y+1)2=1,將兩圓的方程相減得AB所在直線的方程為2y+1=0,即y=-.故選B.] 6.(2020·溫州模擬)已知圓C:(x-2)2+y2=2,直線l:y=kx,其中k為[-,]上的任意一個(gè)實(shí)數(shù),則事件“直線l與圓C相離”發(fā)生的概率為( ) A. B. C. D. 解析:D [當(dāng)直線l與圓C相離時(shí),圓心C到直線l的距離d=>,解得k>1或k<-1,又k∈[-,],所以-≤k<-1或1<k≤,故事件“直線l與圓C相離”發(fā)生的概率P==,故選D.] 7.(2019·濰坊三模)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),A,
24、B是圓C:x2+y2-6y+5=0上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且|AB|=2,則|+|的取值范圍是( )
A.[6-2,6+2] B.[3-,3+]
C.[3,9] D.[3,6]
解析:A [圓C:x2+(y-3)2=4,取弦AB的中點(diǎn)M,連接CM,CA,在直角三角形CMA中,|CA|=2,|MA|=1,則|CM|==,則點(diǎn)M的軌跡方程為x2+(y-3)2=3,則|+|=2||∈[6-2,6+2].]
8.(多選題)直線x-y+m=0與圓x2+y2-2x-1=0有兩個(gè)不同的交點(diǎn)的一個(gè)充分不必要條件是( )
A.0 25、[本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系的判斷.圓x2+y2-2x-1=0的圓心為(1,0),半徑為.因?yàn)橹本€x-y+m=0與圓x2+y2-2x-1=0有兩個(gè)不同的交點(diǎn),所以直線與圓相交,因此圓心到直線的距離d=<,所以|1+m|<2,解得-3 26、常規(guī)求解法)設(shè)圓C2的圓心坐標(biāo)為(a,b),連接AB,C1C2.因?yàn)镃1(-2,3),A(0,2),B(-1,1),所以|AC1|=|BC1|=,所以平行四邊形C1AC2B為菱形,所以C1C2⊥AB且|AC2|=.
可得解得或則圓心C2的坐標(biāo)為(1,0)或(-2,3)(舍去).
因?yàn)閳AC2的半徑為,所以圓C2的方程為(x-1)2+y2=5.故選A.
優(yōu)解 (特值驗(yàn)證法)由題意可知,平行四邊形C1AC2B為菱形,則|C2A|=|C1A|==,即圓C2的半徑為,排除B,D;將點(diǎn)A(0,2)代入選項(xiàng)A,C,顯然選項(xiàng)A符合.故選A.]
10.(2020·惠州二測)已知圓C:x2+y2-2ax- 27、2by+a2+b2-1=0(a<0)的圓心在直線x-y+=0上,且圓C上的點(diǎn)到直線x+y=0的距離的最大值為1+,則a2+b2的值為( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:C [化圓C:x2+y2-2ax-2by+a2+b2-1=0(a<0)為標(biāo)準(zhǔn)方程得C:(x-a)2+(y-b)2=1,其圓心為(a,b),故a-b+=0,即b=a+,(a,b)到直線x+y=0的距離d===,因?yàn)閳AC上的點(diǎn)到直線x+y=0的距離的最大值為1+,故d+1=|2a+1|+1=1+,得到|2a+1|=2,解得a=-或a=(舍去),故b=×+=-,故a2+b2=2+2=3.選C.]
11.(201 28、9·煙臺三模)已知圓C:(x-1)2+(y-4)2=10和點(diǎn)M(5,t),若圓C上存在兩點(diǎn)A,B使得MA⊥MB,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是( )
A.[-2,6] B.[-3,5]
C.[2,6] D.[3,5]
解析:C [
當(dāng)MA,MB是圓C的切線時(shí),∠AMB取得最大值,若圓C上存在兩點(diǎn)A,B使得MA⊥MB,則MA,MB是圓C的切線時(shí),∠AMB≥90°,∠AMC≥45°,且∠AMC<90°,如圖,所以|MC|=≤=,所以16+(t-4)2≤20,所以2≤t≤6,故選C.]
二、填空題(本大題共5小題,每小題5分,共25分)
12.(雙空填空題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知 29、圓C過點(diǎn)A(0,-8),且與圓x2+y2-6x-6y=0相切于原點(diǎn),則圓C的方程為___________________________________________,
圓C被x軸截得的弦長為________.
解析:本題考查圓與圓的位置關(guān)系.將已知圓化為標(biāo)準(zhǔn)式得(x-3)2+(y-3)2=18,圓心為(3,3),半徑為3.由于兩個(gè)圓相切于原點(diǎn),連心線過切點(diǎn),故圓C的圓心在直線y=x上.由于圓C過點(diǎn)(0,0),(0,-8),所以圓心又在直線y=-4上.聯(lián)立y=x和y=-4,得圓心C的坐標(biāo)(-4,-4).又因?yàn)辄c(diǎn)(-4,-4)到原點(diǎn)的距離為4,所以圓C的方程為(x+4)2+(y+4)2=3 30、2,即x2+y2+8x+8y=0.圓心C到x軸距離為4,則圓C被x軸截得的弦長為2×=8.
答案:x2+y2+8x+8y=0 8
13.(2019·哈爾濱二模)設(shè)圓x2+y2-2x-2y-2=0的圓心為C,直線l過(0,3),且與圓C交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=2,則直線l的方程為________________.
解析:當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線l的方程為x=0,聯(lián)立方程得
得 或∴|AB|=2,符合題意.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kx+3,∵圓x2+y2-2x-2y-2=0,即(x-1)2+(y-1)2=4,其圓心為C(1,1),圓的半徑r=2,圓心C(1,1)到 31、直線y=kx+3的距離d==,∵d2+2=r2,∴+3=4,解得k=-,∴直線l的方程為y=-x+3,即3x+4y-12=0.綜上,直線l的方程為3x+4y-12=0或x=0.
答案:x=0或3x+4y-12=0
14.若圓x2+y2=4與圓x2+y2+ax+2ay-9=0(a>0)相交,公共弦的長為2,則a=________.
解析:聯(lián)立兩圓方程
可得公共弦所在直線方程為ax+2ay-5=0,
故圓心(0,0)到直線ax+2ay-5=0的距離為=(a>0).
故2 =2,
解得a2=,
因?yàn)閍>0,所以a=.
答案:
15.(2018·江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A 32、為直線l:y=2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn),B(5,0),以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點(diǎn)D.若·=0,則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為________.
解析:
∵AB為直徑
∴AD⊥BD
∴BD即B到直線l的距離
|BD|==2.
∵|CD|=|AC|=|BC|=r,又CD⊥AB.
∴|AB|=2|BC|=2
設(shè)A(a,2a)
|AB|==2?a=-1或3(-1舍去)
答案:3
16.(2020·廈門模擬)為保護(hù)環(huán)境,建設(shè)美麗鄉(xiāng)村,鎮(zhèn)政府決定為A,B,C三個(gè)自然村建造一座垃圾處理站,集中處理A,B,C三個(gè)自然村的垃圾,受當(dāng)?shù)貤l件限制,垃圾處理站M只能建在與A村相距5 km,且與C村 33、相距 km的地方.已知B村在A村的正東方向,相距3 km,C村在B村的正北方向,相距3 km,則垃圾處理站M與B村相距________km.
解析:以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略),則A(0,0),B(3,0),C(3,3).
由題意得垃圾處理站M在以A(0,0)為圓心,5為半徑的圓A上,同時(shí)又在以C(3,3)為圓心,為半徑的圓C上,兩圓的方程分別為x2+y2=25和(x-3)2+(y-3)2=31.
由
解得或
∴垃圾處理站M的坐標(biāo)為(5,0)或,
∴|MB|=2或|MB|= =7,
即垃圾處理站M與B村相距2 km或7 km.
答案:2或7
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