2020版高考數(shù)學一輪復習 第2章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第4節(jié) 二次函數(shù)與冪函數(shù)教學案 理（含解析）北師大版

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1、第四節(jié)　二次函數(shù)與冪函數(shù) [考綱傳真]　1.理解二次函數(shù)的圖像和性質，能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關系解決簡單問題.2.(1)了解冪函數(shù)的概念；(2)結合函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的圖像，了解它們的變化情況． 1．二次函數(shù) (1)二次函數(shù)解析式的三種形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 頂點式：f(x)＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)，頂點坐標為(h，k)； 零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點． (2)二次函數(shù)的圖像與性質 函數(shù) y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜

2、0) 圖像 定義域 R 值域 單調性 在上減， 在上增 在上增， 在上減 對稱性 函數(shù)的圖像關于直線x＝－對稱 2.冪函數(shù) (1)定義：如果一個函數(shù)，底數(shù)是自變量x，指數(shù)是常量α，即y＝xα，這樣的函數(shù)稱為冪函數(shù)． (2)五種常見冪函數(shù)的圖像與性質 [常用結論] 1．冪函數(shù)y＝xα在第一象限的兩個重要結論 (1)恒過點(1,1)； (2)當x∈(0,1)時，α越大，函數(shù)值越?。划攛∈(1，＋∞)時，α越大，函數(shù)值越大． 2．研究二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在區(qū)間[m，n](m＜n)上的單調性與值域時，分類討論－與m或n的大?。?/p>

3、 3．二次函數(shù)圖像對稱軸的判斷方法 (1)對于二次函數(shù)y＝f(x)對定義域內所有x，都有f(x1)＝f(x2)，那么函數(shù)y＝f(x)的圖像關于x＝對稱． (2)對于二次函數(shù)y＝f(x)對定義域內所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要條件是函數(shù)y＝f(x)的圖像關于直線x＝a對稱(a為常數(shù))． [基礎自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函數(shù)． (　　) (2)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是. (　　) (3)冪函數(shù)的圖像一定經(jīng)過點(1,1)和點(0,

4、0)． (　　) (4)當α＞0時，冪函數(shù)y＝xα在(0，＋∞)上是增函數(shù)． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)已知冪函數(shù)f(x)＝k·xα的圖像過點，則k＋α等于(　　) A.　　　　　　　 B．1 C. D．2 C　[∵f(x)＝k·xα是冪函數(shù)，∴k＝1， 又f＝α＝，∴α＝， ∴k＋α＝1＋＝.] 3.如圖是y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的圖像，則a，b，c的大小關系為(　　) A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．a(chǎn)＜c＜b D　[結合冪函數(shù)的圖像可知b＞c＞a.] 4．(教材改編)

5、已知函數(shù)y＝x2＋ax＋6在內是增函數(shù)，則a的取值范圍為(　　) A．a(chǎn)≤－5 B．a(chǎn)≤5 C．a(chǎn)≥－5 D．a(chǎn)≥5 C　[由題意可得－≤，即a≥－5.] 5．(教材改編)函數(shù)g(x)＝x2－2x(x∈[0,3])的值域是________． [－1,3]　[∵g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]， ∴當x＝1時，g(x)min＝g(1)＝－1， 又g(0)＝0，g(3)＝9－6＝3， ∴g(x)max＝3，即g(x)的值域為[－1,3]．] 冪函數(shù)的圖像及性質 1．冪函數(shù)y＝f(x)的圖像經(jīng)過點(3，)，則f(x)是(　　) A．偶函數(shù)，

6、且在(0，＋∞)上是增函數(shù) B．偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù) C．奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù) D　[設冪函數(shù)f(x)＝xα，則f(3)＝3α＝，解得α＝，則f(x)＝x＝，是非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)．] 2.冪函數(shù)y＝xm2－4m(m∈Z)的圖像如圖所示，則m的值為(　　) A．0　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 C　[由圖像可知y＝xm2－4m是偶函數(shù)，且m2－4m＜0， ∴0＜m＜4，又m∈Z，∴m＝1,2,3， 經(jīng)檢驗m＝2符合題意．] 3．若(a＋1)＜(3－2a)，則實數(shù)a的

7、取值范圍是________． 　[易知函數(shù)y＝x的定義域為[0，＋∞)，在定義域內為增函數(shù)，所以 解之得－1≤a＜.] [規(guī)律方法]　(1)求解與冪函數(shù)圖像有關的問題，應根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內的函數(shù)圖像特征，結合其奇偶性、單調性等性質研究. (2)利用冪函數(shù)的單調性比較冪值大小的技巧：結合冪值的特點利用指數(shù)冪的運算性質化成同指數(shù)冪，選擇適當?shù)膬绾瘮?shù)，借助其單調性進行比較. 求二次函數(shù)的解析式 【例1】　(1)已知二次函數(shù)f(x)＝x2－bx＋c滿足f(0)＝3，對任意x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，則f(x)的解析式為________． (2)若函數(shù)f(x)＝(x

8、＋a)(bx＋2a)(a，b∈R)是偶函數(shù)，且它的值域為(－∞，4]，則該函數(shù)的解析式f(x)＝________. (1)f(x)＝x2－2x＋3　(2)－2x2＋4　[(1)∵f(0)＝3，∴c＝3. 又f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)的圖像關于直線x＝1對稱， ∴＝1，∴b＝2. ∴f(x)＝x2－2x＋3. (2)∵f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2， 又f(x)為偶函數(shù)，且值域為(－∞，4]， ∴∴ ∴f(x)＝－2x2＋4.] [規(guī)律方法]　求二次函數(shù)解析式的方法 已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－

9、1，且f(x)的最大值是8，試確定該二次函數(shù)的解析式． [解]　法一(利用一般式)： 設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由題意得 解得∴所求二次函數(shù)為f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二(利用頂點式)： 設f(x)＝a(x－m)2＋n. ∵f(2)＝f(－1)， ∴函數(shù)圖像的對稱軸為x＝＝. ∴m＝.又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8，∴n＝8. ∴y＝f(x)＝a2＋8. ∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4， ∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三(利用零點式)： 由已知f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1， 故可設f(x)＋1＝

10、a(x－2)(x＋1)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函數(shù)的最大值是8，即＝8，解得a＝－4， ∴所求函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7. 二次函數(shù)的圖像與性質 ?考法1　二次函數(shù)的單調性 【例2】　函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在區(qū)間[－1，＋∞)上是遞減的，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．[－3,0) B．(－∞，－3] C．[－2,0] D．[－3,0] D　[當a＝0時，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上遞減，滿足題意． 當a≠0時，f(x)的對稱軸為x＝， 由f(x)在[－1，＋∞)上遞減知 解得－3≤a＜0.

11、綜上，a的取值范圍為[－3,0]．] [母題探究]　若函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的減區(qū)間是[－1，＋∞)，則a＝________. －3　[由題意知f(x)必為二次函數(shù)且a＜0，又＝－1，∴a＝－3.] ?考法2　二次函數(shù)的最值 【例3】　求函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋1在區(qū)間[－1,2]上的最大值． [解]　f(x)＝(x＋a)2＋1－a2， ∴f(x)的圖像是開口向上的拋物線，對稱軸為x＝－a. (1)當－a＜，即a＞－時， f(x)max＝f(2)＝4a＋5； (2)當－a≥，即a≤－時， f(x)max＝f(－1)＝2－2a. 綜上，f(x)max＝

12、 ?考法3　二次函數(shù)中的恒成立問題 【例4】　(1)已知函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋2，若對一切x∈，f(x)＞0都成立，則實數(shù)a的取值范圍為(　　) A. B. C．[－4，＋∞) D．(－4，＋∞) (2)已知函數(shù)f(x)＝x2＋mx－1，若對于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，則實數(shù)m的取值范圍是________． (1)B　(2)　[(1)因為對一切x∈，f(x)＞0都成立，所以當x∈時，a＞＝－＋＝－22＋， 又－22＋≤， 則實數(shù)a的取值范圍為. (2)因為函數(shù)f(x)＝x2＋mx－1的圖像是開口向上的拋物線，要使對于任意x∈[m，m＋1]，都有

13、f(x)＜0，則有 即解得－＜m＜0. 所以實數(shù)m的取值范圍是.] [規(guī)律方法]　1.二次函數(shù)最值問題的解法：抓住“三點一軸”數(shù)形結合，三點是指區(qū)間兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸，結合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調性及分類討論的思想即可完成. 2.由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關鍵 (1)一般有兩個解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù). (2)兩種思路都是將問題歸結為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關鍵是看參數(shù)是否已分離.這兩個思路的依據(jù)是：a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min. 已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x

14、∈R. (1)若函數(shù)f(x)的最小值為f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并寫出單調區(qū)間； (2)在(1)的條件下，f(x)＞x＋k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立，試求k的取值范圍． [解]　(1)由題意知解得 所以f(x)＝x2＋2x＋1， 函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為[－1，＋∞)，遞減區(qū)間為(－∞，－1]． (2)由題意知，x2＋2x＋1＞x＋k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立，即k＜x2＋x＋1在區(qū)間[－3，－1]上恒成立， 令g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]． g(x)在區(qū)間[－3，－1]上是減函數(shù)， 則g(x)min＝g(－1)＝1，所以k＜1， 故k的取值范圍是(－∞，1)． - 8 -