2019版高考數(shù)學一輪復習 第一部分 基礎與考點過關 幾何證明選講學案 選修4-1

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1、 選修4-1 幾何證明選講 第1課時 圓的進一步認識 掌握圓的切線的判定定理和性質(zhì)定理,弦切角定理,割線定理,切割線定理和圓內(nèi)接四邊形的判定定理與性質(zhì)定理,能用這些定理解決有關圓的問題. ① 理解圓的切線的判定定理和性質(zhì)定理,圓周角定理,弦切角定理,相交弦定理,割線定理,切割線定理和圓內(nèi)接四邊形的判定定理與性質(zhì)定理.② 能應用圓的切線的判定定理和性質(zhì)定理,圓周角定理,弦切角定理,相交弦定理,割線定理,切割線定理和圓內(nèi)接四邊形的判定定理與性質(zhì)定理解決與圓有關的問題.  1. 如圖,四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形,已知∠BOD=100°,求∠BCD.  解:由題設∠BAD

2、=∠BOD=50°, 則∠BCD=180°-∠BAD=130°. 2. 如圖,AB是圓O的直徑,MN與圓O相切于點C,AC=BC,求sin∠MCA的值.  解:由弦切角定理得,∠MCA=∠ABC, sin∠ABC====. 故sin∠MCA=. 3. 已知△ABC內(nèi)接于圓O,BE是圓O的直徑,AD是BC邊上的高.求證:BA·AC=BE·AD.  證明:連結(jié)AE. ∵ BE是圓O的直徑, ∴ ∠BAE=90°,∴ ∠BAE=∠ADC. ∵ ∠BEA=∠ACD,∴ Rt△BEA∽Rt△ACD. ∴ =,∴ BA·AC=BE·AD. 4. 如圖,在圓O中,M,N是弦A

3、B的三等分點,弦CD,CE分別經(jīng)過點M,N.若CM=2,MD=4,CN=3,求線段NE的長.  解:設AM=a,由相交弦定理可知,CM·MD=AM·MB,CN·NE=AN·NB,即2×4=a×2a,3×NE=2a×a,消去a解得NE=. 5. 如圖,EA與圓O相切于點A,D是EA的中點,過點D引圓O的割線,與圓O相交于點B,C,連結(jié)EC.求證:∠DEB=∠DCE.  證明:∵ EA與圓O相切于點A, 由切割線定理得DA2=DB·DC. ∵ D是EA的中點,∴ DA=DE. ∴ DE2=DB·DC.∴ =.∵ ∠EDB=∠CDE, ∴ △EDB∽△CDE,∴ ∠DEB=∠D

4、CE.  1. 圓周角定理 (1) 圓周角定理:圓周角的度數(shù)等于其所對弧的度數(shù)的一半. (2) 推論1:同?。ɑ虻然。┧鶎Φ膱A周角相等.同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧相等. (3) 推論2:半圓(或直徑)所對的圓周角等于90°.反之,90°的圓周角所對的弧為半圓(或弦為直徑). 2. 圓的切線 (1) 圓的切線的性質(zhì)與判定 ① 相關定義:當直線與圓有2個公共點時,直線與圓相交;當直線與圓有且只有1個公共點時,直線與圓相切,此時直線是圓的切線,公共點稱為切點;當直線與圓沒有公共點時,直線與圓相離. ② 切線的判定定理:過半徑外端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線. ③ 切

5、線的性質(zhì)定理:圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑. ④ 切線長定理:從圓外一點引圓的兩條切線,切線長相等. (2) 弦切角 ① 定義:頂點在圓上,一邊與圓相切,另一邊與圓相交的角稱為弦切角. ② 弦切角定理:弦切角的度數(shù)等于其所夾弧的度數(shù)的一半. ③ 推論:同?。ɑ虻然。┥系南仪薪窍嗟龋。ɑ虻然。┥系南仪薪桥c圓周角相等. 3. 相交弦定理 相交弦定理:圓的兩條相交弦,每條弦被交點分成的兩條線段長的積相等. 4. 切割線定理 (1) 割線定理:從圓外一點引圓的兩條割線,該點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等. (2) 切割線定理:從圓外一點引圓的一條割線與一條切線,切線長

6、是這點到割線與圓的兩個交點的線段長的等比中項. 5. 圓內(nèi)接四邊形 (1) 圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理:圓內(nèi)接四邊形的對角互補. (2) 圓內(nèi)接四邊形判定定理:如果四邊形的對角互補,則此四邊形內(nèi)接于圓.[備課札記]   ,         1 圓周角與弦切角定理及應用) ,     1)?。?017·蘇錫常鎮(zhèn)一模)如圖,圓O的直徑AB=6,C為圓上一點,BC=3,過點C作圓的切線l,過點A作l的垂線AD,AD分別與直線l、圓交于點D,E.求∠DAC的大小與線段AE的長.  解:如圖,連結(jié)OC,BE,  因為BC=OB=OC=3, 所以∠CBO=60°. 因為∠D

7、CA=∠CBO, 所以∠DCA=60°. 又AD⊥DC得∠DAC=30°. 因為∠ACB=90°,得∠CAB=30°, 所以∠EAB=60°,從而∠ABE=30°, 所以AE=AB=3. 變式訓練 如圖,CP是圓O的切線,P為切點,直線CO交圓O于A,B兩點,AD⊥CP,垂足為D.求證:∠DAP=∠BAP.  證明:∵ CP與圓O 相切,∴ ∠DPA=∠PBA. ∵ AB為圓O的直徑,∴ ∠APB=90°, ∴ ∠BAP=90°-∠PBA. ∵ AD⊥CP,∴ ∠DAP=90°-∠DPA, ∴ ∠DAP=∠BAP. ,         2 圓的切線的判定與性質(zhì)

8、) ,     2) 如圖,∠PAQ是直角,圓O與射線AP相切于點T,與射線AQ相交于B,C兩點.求證:BT平分∠OBA.  ∵ AT是切線,∴ OT⊥AP. ∵ ∠PAQ是直角,即AQ⊥AP,∴ AB∥OT, ∴ ∠TBA=∠BTO. 又OT=OB,∴ ∠OTB=∠OBT, ∴ ∠OBT=∠TBA,即BT平分∠OBA. 如圖,AC切圓O于D,AO的延長線交圓O于B,BC切圓O于B,若AD∶AC=1∶2,求的值.   ∵ AD∶AC=1∶2,∴ D為AC的中點. 又AC切圓O于D,∴ OD⊥AC.∴OA=OC. ∴ △AOD≌△COD,∴ ∠1=∠2.

9、又△OBC≌△ODC,∴ ∠3=∠2. ∴ ∠1=∠2=∠3=60°,∴ OC=2OB. ∴ OA=2OB,即=2. ,         3 圓內(nèi)接四邊形的判定與性質(zhì)) ,     3)?。?017·南通、揚州、泰州模擬)如圖,已知AB為圓O的一條弦,點P為弧AB的中點,過點P任作兩條弦PC,PD,分別交AB于點E,F(xiàn).求證:PE·PC=PF·PD.   因為∠PAB=∠PCB,點P為弧AB的中點, 所以∠PAB=∠PBA, 所以∠PCB=∠PBA. 又∠DCB=∠DPB, 所以∠PFE=∠PBA+∠DPB=∠PCB+∠DCB=∠PCD, 所以E,F(xiàn),D,C四點

10、共圓. 所以PE·PC=PF·PD. 如圖,已知AP是圓O的切線,P為切點,AC是圓O的割線,與圓O交于B,C兩點,圓心O在∠PAC的內(nèi)部,點M是BC的中點. (1) 求證:A,P,O,M四點共圓; (2) 求∠OAM+∠APM的大小.   (1) 證明:連結(jié)OP,OM, 因為AP與圓O相切于點P, 所以OP⊥AP. 因為M是圓O的弦BC的中點,所以OM⊥BC, 于是∠OPA+∠OMA=180°. 由圓心O在∠PAC的內(nèi)部,可知四邊形APOM的對角互補, 所以A,P,O,M四點共圓. (2) 解:由(1)得A,P,O,M四點共圓, 所以∠OAM=∠OP

11、M. 因為AP是圓O的切線,P為切點,所以OP⊥AP, 所以∠OPM+∠APM=90°, 所以∠OAM+∠APM=90°. ,         4 相交弦定理、割線定理及切割線定理的應用) ,     4)?。?017·蘇州暑期檢測)如圖,△ABC是圓O的內(nèi)接三角形,PA是圓O的切線,A為切點,PB交AC于點E,交圓O于點D,若PE=PA,∠ABC=60°,且PD=1,PB=9,求EC.  解:∵ 弦切角∠PAE=∠ABC=60°,又PA=PE,∴ △PAE為等邊三角形.由切割線定理有PA2=PD·PB=9, ∴ AE=EP=PA=3,ED=EP-PD=2,EB=PB-P

12、E=6, 由相交弦定理有EC·EA=EB·ED=12, ∴ EC=12÷3=4. 變式訓練 (2017·南京、鹽城期末)如圖,AB是半圓O的直徑,點P為半圓O外一點,PA,PB分別交半圓O于點D,C.若AD=2,PD=4,PC=3,求BD的長.  解:由割線定理得PD·PA=PC·PB, 則4×(2+4)=3×(3+BC),解得BC=5. 又AB是半圓O的直徑,故∠ADB=. 則在Rt△PDB中有BD===4.  1. (2017·蘇州期末)如圖,點E是圓O內(nèi)兩條弦AB和CD的交點,過AD延長線上一點F作圓O的切線FG,G為切點,已知EF=FG.求證:EF∥CB.

13、  證明:由切割線定理得FG2=FA·FD. 又EF=FG,所以EF2=FA·FD,即=. 因為∠EFA=∠DFE,所以△DEF∽△EAF, 所以∠FED=∠FAE. 因為∠FAE=∠DAB=∠DCB,所以∠FED=∠BCD, 所以EF∥CB. 2. 如圖所示,△ABC是圓O的內(nèi)接三角形,且AB=AC,AP∥BC,弦CE的延長線交AP于點D.求證:AD2=DE·DC.  證明:連結(jié)AE,則∠AED=∠B. ∵ AB=AC,∴ ∠ACB=∠B,∴ ∠ACB=∠AED. ∵ AP∥BC,∴ ∠ACB=∠CAD, ∴ ∠CAD=∠AED. 又∠ADC=∠EDA,∴ △A

14、CD∽△EAD. ∴ =,即AD2=DE·DC.  3. (2017·南京、鹽城模擬)△ABC的頂點A,C在圓O上,B在圓O外,線段AB與圓O交于點M. (1) 如圖①,若BC是圓O的切線,且AB=8,BC=4,求線段AM的長; (2) 如圖②,若線段BC與圓O交于另一點N,且AB=2AC,求證:BN=2MN.  (1) 解:因為BC是圓O的切線,故由切割線定理得BC2=BM·BA. 設AM=t,因為AB=8,BC=4, 所以42=8(8-t),解得t=6,即線段AM的長度為6. (2) 證明:因為四邊形AMNC為圓內(nèi)接四邊形, 所以∠A=∠MNB. 又∠B=∠B

15、,所以△BMN∽△BCA, 所以=. 因為AB=2AC,所以BN=2MN. 4. (2017·常州期末)如圖,過圓O外一點P作圓O的切線PA,切點為A,連結(jié)OP與圓O交于點C,過點C作AP的垂線,垂足為D.若PA=2,PC∶PO=1∶3,求CD的長.   解:延長PO交圓O于點B,連結(jié)OA. 設PC=x(x>0), 則由PC∶PO=1∶3, 得PO=3x,則PB=5x. 因為PA是圓O的切線, 所以PA2=PC·PB,即(2)2=x·(5x),解得x=2. 故OA=OC=4. 因為PA是圓O的切線,所以OA⊥PA. 又CD⊥PA,則OA∥CD,因此==. 又O

16、A=4,所以CD=.  1. (2017·蘇北四市期末)如圖,AB為半圓O的直徑,點D為弧BC的中點,點E為BC的中點.求證:AB·BC=2AD·BD.  證明:因為D為弧BC的中點, 所以∠DBC=∠DAB,DC=DB. 因為AB為半圓O的直徑,所以∠ADB=90°. 又E為BC的中點,所以EC=EB,所以DE⊥BC, 所以△ABD∽△BDE. 所以==,所以AB·BC=2AD·BD.  2. 如圖,AB為圓O的切線,A為切點,C為線段AB的中點,過C作圓O的割線CED,求證:∠CBE=∠BDE. 證明:因為CA為圓O的切線, 所以CA2=CE·CD. 又C

17、A=CB,所以CB2=CE·CD,即=. 又∠ECB=∠BCD, 所以△BCE∽△DCB, 所以∠CBE=∠BDE. 3. 如圖,AB是圓O的直徑,弦BD,CA的延長線相交于點E,EF垂直于BA,交BA的延長線于點F. 求證: (1) ∠DEA=∠DFA; (2) AB2=BE·BD-AE·AC.  證明:(1) 連結(jié)AD,因為AB為圓O的直徑, 所以∠ADB=90°. 又EF⊥AB,∠EFA=90°, 所以A,D,E,F(xiàn)四點共圓. 所以∠DEA=∠DFA. (2) 由(1)知,BD·BE=BA·BF, 連結(jié)BC.又△ABC∽△AEF, ∴ =,即AB·AF=

18、AE·AC. ∴ BE·BD-AE·AC=BA·BF-AB·AF=AB(BF-AF)=AB2. 4. 如圖,直線AB與圓O相切于點B,直線AO交圓O于D,E兩點,BC⊥DE,垂足為C,且AD=3DC,BC=,求圓O的直徑.  解:因為DE是圓O的直徑,則∠BED+∠EDB=90°. 又BC⊥DE,所以∠CBD+∠EDB=90°. 又AB切圓O于點B,得∠ABD=∠BED, 所以∠CBD=∠DBA. 即BD平分∠CBA,則==3. 又BC=,從而AB=3,所以AC==4, 所以AD=3. 由切割線定理得AB2=AD·AE,即AE==6, 故DE=AE-AD=3,即圓O的直徑為3.  與圓有關的輔助線的五種作法 (1) 有弦,作弦心距; (2) 有直徑,作直徑所對的圓周角; (3) 有切點,作過切點的半徑; (4) 兩圓相交,作公共弦; (5) 兩圓相切,作公切線. 10

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