2019-2020學年高中數學 第1章 推理與證明 4 數學歸納法學案 北師大版選修2-2

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1、§4　數學歸納法 學 習 目 標 核 心 素 養(yǎng) 1．了解數學歸納法的思想實質，掌握數學歸納法的兩個步驟．(重點) 2．體會數學歸納法原理，并能應用數學歸納法證明簡單的問題．(重點、難點) 1．通過對數學歸納法步驟的理解，提升邏輯推理的核心素養(yǎng). 2．通過應用數學歸納法證明數學問題，培養(yǎng)邏輯推理和數學運算的核心素養(yǎng). 1．數學歸納法的基本步驟 數學歸納法是用來證明某些與正整數n有關的數學命題的一種方法．它的基本步驟是： (1)驗證：當n取第一個值n0(如n0＝1或2等)時，命題成立； (2)在假設當n＝k(n∈N＋，k≥n0)時命題成立的前提下，推出當n＝k＋1時，

2、命題成立． 根據(1)(2)可以斷定命題對一切從n0開始的正整數n都成立． 2．應用數學歸納法注意的問題 (1)用數學歸納法證明的對象是與正整數n有關的命題． (2)在用數學歸納法證明中，兩個基本步驟缺一不可． (3)步驟(2)的證明必須以“假設當n＝k(k≥n0，k∈N＋)時命題成立”為條件． 1．用數學歸納法證明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N＋)時，第一步驗證n＝1時，左邊應取的項是(　　) A．1　　　 B．1＋2 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 D　[當n＝1時，左邊應為1＋2＋3＋4，故選D.] 2．一個關于自然數n的命題，如果驗證當n＝1時命

3、題成立，并在假設當n＝k(k≥1且k∈N＋)時命題成立的基礎上，證明了當n＝k＋2時命題成立，那么綜合上述，對于(　　) A．一切正整數命題成立 B．一切正奇數命題成立 C．一切正偶數命題成立 D．以上都不對 B　[本題證的是對n＝1,3,5,7…時命題成立，即命題對一切正奇數成立．] 3．用數學歸納法證明不等式“＋＋…＋>(n∈N＋，n≥2)”的過程中，由n＝k(k∈N＋，k≥2)推導到n＝k＋1時，不等式左邊增加的式子是________． ＋－　[當n＝k時，左邊＝＋＋…＋，當n＝k＋1時，左邊＝＋＋…＋＋＋，故左邊增加的式子是＋－.] 用數學歸納法證明等式 【例1

4、】　用數學歸納法證明： 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋. 思路探究：→→→ [證明]　(1)當n＝1時，左邊＝1－＝＝＝右邊，等式成立． (2)假設n＝k(k≥1)時等式成立，即 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋， 則當n＝k＋1時， 左邊＝1－＋－＋…＋－＋－ ＝＋－ ＝＋ ＝＋＋…＋＋＋ ＝右邊． ∴n＝k＋1時等式也成立． 由(1)(2)知等式對任意正整數n都成立． 數學歸納法證題的三個關鍵點 1．驗證是基礎 找準起點，奠基要穩(wěn)，有些問題中驗證的初始值不一定是1． 2．遞推是關鍵 數學歸納法的實質在于遞推，所以從“k”到“k＋1”的過程中，要正確分析式子項數

5、的變化．關鍵是弄清等式兩邊的構成規(guī)律，弄清由n＝k到n＝k＋1時，等式的兩邊會增加多少項、增加怎樣的項． 3．利用假設是核心 在第二步證明n＝k＋1成立時，一定要利用歸納假設，即必須把歸納假設“n＝k時命題成立”作為條件來導出“n＝k＋1”，在書寫f(k＋1)時，一定要把包含f(k)的式子寫出來，尤其是f(k)中的最后一項，這是數學歸納法的核心，不用歸納假設的證明就不是數學歸納法． 1．用數學歸納法證明：＋＋＋…＋＝(n∈N＋)． [證明]　(1)當n＝1時，左邊＝＝，右邊＝，等式成立． (2)假設當n＝k(k∈N＋，k≥1)時， ＋＋＋…＋＝成立， 當n＝k＋1時，

6、＋＋＋…＋＋ ＝＋＝ ＝＝＝， 所以n＝k＋1時，等式成立， 綜上可得，等式對于任意n∈N＋都成立. 用數學歸納法證明不等式 【例2】　(1)用數學歸納法證明不等式＋＋…＋>(n≥2，n∈N＋)的過程中，由n＝k推導n＝k＋1時，不等式的左邊增加的式子是__________． (2)證明：不等式1＋＋＋…＋<2(n∈N＋)． 思路探究：(1)寫出當n＝k時左邊的式子，和當n＝k＋1時左邊的式子，比較即可． (2)在由n＝k到n＝k＋1推導過程中利用放縮法，在利用放縮時，注意放縮的度． 　[(1)當n＝k＋1時左邊的代數式是＋＋…＋＋，增加了兩項與，但是少了一項，故不等式

7、的左邊增加的式子是＋－＝.] (2)[證明]　①當n＝1時，左邊＝1，右邊＝2，左邊<右邊，不等式成立． ②假設當n＝k(k≥1且k∈N＋)時，不等式成立， 即1＋＋＋…＋<2. 則當n＝k＋1時， 1＋＋＋…＋＋ <2＋＝ <＝＝2. ∴當n＝k＋1時，不等式成立． 由①②可知，原不等式對任意n∈N＋都成立． 本例(2)中把“<2”改為“>(n>1且n∈N＋)”，能給予證明嗎？ [證明]?、佼攏＝2時，左邊＝1＋＝，右邊＝， ∴左邊>右邊，所以不等式成立． ②假設n＝k(k≥2，k∈N＋)時不等式成立， 即1＋＋＋…＋>. 那么n＝k＋1時， 1＋＋＋…＋

8、＋ >＋＝>＝. ∴當n＝k＋1時，不等式也成立． 由①②可知，原不等式對任意n∈N＋且n>1都成立． 數學歸納法證明第二步時的注意點 用數學歸納法證明不等式，推導n＝k＋1也成立時，證明不等式的常用方法，如比較法、分析法、綜合法均可靈活運用．在證明過程中，常常要在“湊”出歸納假設的前提下，根據剩余部分的結構特點及n＝k＋1時命題的需要進行放縮． 2．若n∈N＋，且n>1，求證：＋＋…＋>. [證明]　(1)當n＝2時， 左邊＝＋＝＝>，不等式成立． (2)假設當n＝k(k∈N＋，且k≥2)時不等式成立，即 ＋＋…＋>， 那么當n＝k＋1時， ＋＋…＋ ＝

9、＋＋…＋＋＋ ＝＋＋－>＋>. ∴當n＝k＋1時，不等式也成立． 根據(1)、(2)可知，對任意大于1的正整數不等式都成立. 歸納——猜想證明 【例3】　已知數列{an}的前n項和為Sn，其中an＝且a1＝. (1)求a2，a3； (2)猜想數列{an}的通項公式，并證明． 思路探究：(1)令n＝2,3可分別求a2，a3. (2)根據a1，a2，a3的值，找出規(guī)律，猜想an，再用數學歸納法證明． [解]　(1)a2＝＝，a1＝， 則a2＝，類似地求得a3＝. (2)由a1＝，a2＝，a3＝，…，猜想： an＝. 證明：①當n＝1時，由(1)可知等式成立； ②假

10、設當n＝k時猜想成立，即ak＝，那么， 當n＝k＋1時，由題設an＝， 得ak＝，ak＋1＝， 所以Sk＝k(2k－1)ak＝k(2k－1)＝， Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1， ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1－. 因此，k(2k＋3)ak＋1＝， 所以ak＋1＝＝. 這就證明了當n＝k＋1時命題成立． 由①②可知命題對任何n∈N＋都成立． 證明“歸納—猜想—證明”的一般環(huán)節(jié)和主要題型 1．“歸納—猜想—證明”的一般環(huán)節(jié) 2．“歸納—猜想—證明”的主要題型 (1)已知數列的遞推公式，求通項或前n項和． (2)由一些恒等式、

11、不等式改編的一些探究性問題，求使命題成立的參數值是否存在． (3)給出一些簡單的命題(n＝1,2,3，…)，猜想并證明對任意正整數n都成立的一般性命題． 3．數列{an}滿足Sn＝2n－an(Sn為數列{an}的前n項和)，先計算數列的前4項，再猜想an，并證明． [解]　由a1＝2－a1，得a1＝1； 由a1＋a2＝2×2－a2，得a2＝； 由a1＋a2＋a3＝2×3－a3，得a3＝； 由a1＋a2＋a3＋a4＝2×4－a4，得a4＝. 猜想an＝. 下面證明猜想正確： (1)當n＝1時，由上面的計算可知猜想成立． (2)假設當n＝k時猜想成立，則有ak＝，當n＝

12、k＋1時，Sk＋ak＋1＝2(k＋1)－ak＋1， ∴ak＋1＝[2(k＋1)－Sk]＝k＋1－＝， 所以，當n＝k＋1時，等式也成立． 由(1)和(2)可知，an＝對任意正整數n都成立. 用數學歸納法證明整除性問題 [探究問題] 1．數學歸納法的第一步n的初始值是否一定為1? [提示]　不一定，如證明n邊形的內角和為(n－2)·180°時，第一個值為n0＝3. 2．數學歸納法兩個步驟之間有怎樣的聯(lián)系？ [提示]　第一步是驗證命題遞推的基礎，第二步是論證命題遞推的依據，這兩個步驟缺一不可，只完成步驟(1)而缺少步驟(2)就作出判斷，可能得出不正確的結論．因為單靠步驟(1)

13、，無法遞推下去，即n取n0以后的數命題是否正確，我們無法判定，同樣只有步驟(2)而缺少步驟(1)時，也可能得出不正確的結論，缺少步驟(1)這個基礎，假設就失去了成立的前提，步驟(2)也就沒有意義了． 【例4】　用數學歸納法證明：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N＋)． 思路探究：在第二步時注意根據歸納假設進行拼湊． [證明]　(1)當n＝1時，13＋23＋33＝36能被9整除，所以結論成立； (2)假設當n＝k(k∈N＋，k≥1)時結論成立， 即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除． 則當n＝k＋1時， (k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝[k3＋(k

14、＋1)3＋(k＋2)3]＋[(k＋3)3－k3] ＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27 ＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)． 因為k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，9(k2＋3k＋3)也能被9整除， 所以(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3也能被9整除，即n＝k＋1時結論也成立． 由(1)(2)知命題對一切n∈N＋都成立． 證明整除性問題的關鍵 與正整數有關的整除性問題常用數學歸納法證明，證明的關鍵在于第二步中，根據歸納假設，將n＝k＋1時的式子進行增減項、倍數調整等變形，使之能與歸納假設聯(lián)系起來． 4

15、．用數學歸納法證明“n3＋5n能被6整除”的過程中，當n＝k＋1時，對式子(k＋1)3＋5(k＋1)應變形為__________． (k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6　[由n＝k成立推證n＝k＋1成立時必須用上歸納假設，∴(k＋1)3＋5(k＋1)＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.] 1．數學歸納法是一種直接證明的方法，一般地，與正整數有關的恒等式、不等式、數的整除、數列的通項及前n項和等問題都可以用數學歸納法證明．但并不是所有與正整數有關的問題都能用數學歸納法解決． 2．第一個值n0是命題成立的第一個正整數，并不是所有的第一個值n0都是1． 3．步驟(2)是數學歸納法證明命題

16、的關鍵．歸納假設“當n＝k(k≥n0，k∈N＋)時命題成立”起著已知的作用，證明“當n＝k＋1時命題也成立”的過程中，必須用到歸納假設，再根據有關的定理、定義、公式、性質等推證． 1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)與正整數n有關的數學命題的證明只能用數學歸納法． (　　) (2)數學歸納法的第一步n0的初始值一定為1． (　　) (3)數學歸納法的兩個步驟缺一不可． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 2．用數學歸納法證明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N＋，a≠1)，在驗證n＝1成立時，左邊所得的項為(　　) A．1　　　　　 B．1＋a＋a

17、2 C．1＋a D．1＋a＋a2＋a3 B　[當n＝1時，n＋1＝2，故左邊所得的項為1＋a＋a2．] 3．用數學歸納法證明關于n的恒等式時，當n＝k時，表達式為1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，則當n＝k＋1時，表達式為________． 1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2　[當n＝k＋1時，應將表達式1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2中的k更換為k＋1．] 4．用數學歸納法證明：對于任意正整數n，(n2－1)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝. [證明]　(1)當n＝1時，左邊＝12－1＝0，右邊＝＝0， 所以等式成立． (2)假設當n＝k(k∈N＋)時等式成立，即(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＝. 那么當n＝k＋1時，有[(k＋1)2－1]＋2[(k＋1)2－22]＋…＋k[(k＋1)2－k2]＋(k＋1)[(k＋1)2－(k＋1)2] ＝(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＋(2k＋1)(1＋2＋…＋k) ＝＋(2k＋1) ＝k(k＋1)[k(k－1)＋2(2k＋1)]＝k(k＋1)(k2＋3k＋2) ＝. 所以當n＝k＋1時等式成立． 由(1)(2)知，對任意n∈N＋等式成立． - 10 -