2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 三角函數(shù) 1 周期現(xiàn)象 2 角的概念的推廣學(xué)案 北師大版必修4

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1、§1　周期現(xiàn)象 §2　角的概念的推廣 學(xué) 習(xí) 目 標 核 心 素 養(yǎng) 1.了解現(xiàn)實生活中的周期現(xiàn)象． 2．了解任意角的概念，理解象限角的概念．(重點) 3．掌握終邊相同角的含義及其表示．(難點) 4．會用集合表示象限角．(易錯點) 1.通過學(xué)習(xí)周期現(xiàn)象、任意角的概念，象限角的概念，體會數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)． 2．通過終邊相同的角的表示及象限角的表示，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng). 1．周期現(xiàn)象 (1)以相同間隔重復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象叫作周期現(xiàn)象． (2)要判斷一種現(xiàn)象是否為周期現(xiàn)象，關(guān)鍵是看每隔一段時間，這種現(xiàn)象是否會重復(fù)出現(xiàn)，若出現(xiàn)，則為周期現(xiàn)象；否則，不是周期現(xiàn)象． 思考1：“鐘表上的

2、時針每經(jīng)過12小時運行一周，分針每經(jīng)過1小時運行一周，秒針每經(jīng)過1分鐘運行一周．”這樣的現(xiàn)象，具有怎樣的特征？ [提示]　周而復(fù)始，重復(fù)出現(xiàn)． 2．角的概念 (1)角的有關(guān)概念 (2)角的概念的推廣 類型 定義 圖示 正角 按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 負角 按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 零角 一條射線從起始位置OA沒有作任何旋轉(zhuǎn)，終止位置OB與起始位置OA重合，我們稱這樣的角為零度角，又稱零角 思考2：如果一個角的始邊與終邊重合，那么這個角一定是零角嗎？ [提示]　不一定，若角的終邊未作旋轉(zhuǎn)，則這個角是零角．若角的終邊作了旋轉(zhuǎn)，則這個角就不是零角． 3

3、．象限角的概念 (1)前提條件 ①角的頂點與原點重合． ②角的始邊與x軸的非負半軸重合． (2)結(jié)論 角的終邊(除端點外)在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角． (3)終邊相同的角及其表示 所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合：S＝{β|β＝α＋k×360°， k∈Z}． 如圖所示： 注意以下幾點： ①k是整數(shù)，這個條件不能漏掉． ②α是任意角． ③k·360°與α之間用“＋”號連接，如k·360°－30°應(yīng)看成k·360°＋(－30°)(k∈Z)． ④終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同，終邊相同的角有無數(shù)個，它們相差周角的整數(shù)倍．

4、 思考3：假設(shè)60°的終邊是OB，那么－660°，420°的終邊與60°的終邊有什么關(guān)系，它們與60°分別相差多少？ [提示]　它們的終邊相同．－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它們與60°分別相隔了2個周角的和及1個周角． 1．下列變化是周期現(xiàn)象的是(　　) A．地球自轉(zhuǎn)引起的晝夜交替變化 B．隨機數(shù)表中數(shù)的排列 C．某交通路口每小時通過的車輛數(shù) D．某同學(xué)每天打電話的時間 A　[由周期現(xiàn)象的概念知A為周期現(xiàn)象．] 2．下列說法正確的是(　　) A．三角形的內(nèi)角一定是第一、二象限角 B．鈍角不一定是第二象限角 C．相差180°整數(shù)倍的角

5、為終邊相同的角 D．鐘表的時針旋轉(zhuǎn)而成的角是負角 D　[A錯，如90°既不是第一象限角，也不是第二象限角； B錯，鈍角在90°到180°之間，是第二象限角； C錯，終邊相同的角之間相差360°的整數(shù)倍； D正確，鐘表的時針是順時針旋轉(zhuǎn)，故是負角．] 3．－378°是第________象限角．(　　) A．一 B．二 C．三 D．四 D　[－378°＝－360°－18°，因為－18°是第四象限角，所以－378°是第四象限角．] 4．把－936°化為α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式為________． 144°＋(－3)×360°　[－936°＝－3×36

6、0°＋144°，故－936°化為α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式為144°＋(－3)×360°.] 周期現(xiàn)象的判斷 【例1】　(1)下列變化中不是周期現(xiàn)象的是(　　) A．“春去春又回” B．鐘表的分針每小時轉(zhuǎn)一圈 C．天干地支表示年、月、日的時間順序 D．某交通路口每次綠燈通過的車輛數(shù) (2)水車上裝有16個盛水槽，每個盛水槽最多盛水10升，假設(shè)水車5分鐘轉(zhuǎn)一圈，計算1小時內(nèi)最多盛水多少升． (1)D　[由周期現(xiàn)象的概念易知，某交通路口每次綠燈通過的車輛數(shù)不是周期現(xiàn)象．故選D.] (2)解：因為1小時＝60分鐘＝12×5分鐘，且水車5分鐘轉(zhuǎn)一圈，

7、所以1小時內(nèi)水車轉(zhuǎn)12圈．又因為水車上裝有16個盛水槽，每個盛水槽最多盛水10升，所以每轉(zhuǎn)一圈，最多盛水16×10＝160(升)，所以水車1小時內(nèi)最多盛水160×12＝1 920(升)． 1．應(yīng)用周期現(xiàn)象中“周而復(fù)始”的規(guī)律性可以達到“化繁為簡”“化無限為有限”的目的． 2．只要確定好周期現(xiàn)象中重復(fù)出現(xiàn)的“基本單位”，就可以把問題轉(zhuǎn)化到一個周期內(nèi)來解決． 1．如圖所示是某人的心電圖，根據(jù)這個心電圖，請你判斷其心臟跳動是否正常． [解]　觀察圖像可知，此人的心電圖是周期性變化的，因此心臟跳動正常． 角的概念 【例2】　下列結(jié)論： ①銳角都是第一象限角； ②第二

8、象限角是鈍角； ③小于180 °的角是鈍角、直角或銳角． 其中，正確結(jié)論的序號為______． ①　[①銳角是大于0°且小于90°的角，終邊落在第一象限，故是第一象限角，所以①正確； ②480°角是第二象限角，但它不是鈍角，所以②不正確； ③0°角小于180°，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，所以③不正確．] 判斷角的概念問題的關(guān)鍵與技巧 (1)關(guān)鍵：正確理解象限角與銳角，直角，鈍角，平角，周角等概念. (2)技巧：判斷命題為真需要證明，而判斷命題為假只要舉出反例即可. 2．下列說法正確的是(　　) A．終邊相同的角一定相等 B．鈍角一定是第二象限角 C

9、．第一象限角一定不是負角 D．小于90°的角都是銳角 B　[終邊相同的角不一定相等，故A不正確；鈍角一定是第二象限角，故B正確；因－330°是第一象限角，所以C不正確；－45°<90°，但它不是銳角，所以D不正確．] 象限角的表示 [探究問題] 1．任意角都是象限角嗎？為什么？ [提示]　不是．一些特殊角終邊可能落在坐標軸上．如果角的終邊在坐標軸上，這個角就不是象限角． 2．象限角的表示． 象限角 角的集合表示 第一象限角 ________ 第二象限角 ________ 第三象限角 ________ 第四象限角 ________ [提示]　 象限角

10、角的集合表示 第一象限角 {α|k·360°<α

11、角， ∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)． ∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z)． ∴2α是第三或第四象限角，以及終邊落在y軸的負半軸上的角． 同理，45°＋·360°<<90°＋·360°(k∈Z)． ①當k為偶數(shù)時，令k＝2n(n∈Z)． 則45°＋n·360°<<90°＋n·360°(k∈Z)， 此時為第一象限角； ②當k為奇數(shù)時，令k＝2n＋1(n∈Z)． 則225°＋n·360°<<270°＋n·360°(n∈Z)． 此時為第三象限角． 綜上可知，為第一或第三象限角． 1．(變結(jié)論)在本例條件下，求

12、角2α的終邊的位置． [解]　∵α是第二象限角， ∴k·360°＋90°<α

13、nα的范圍，再直接轉(zhuǎn)化為終邊相同的角即可.注意不要漏掉nα的終邊在坐標軸上的情況. (2)已知角α終邊所在的象限，確定終邊所在的象限，分類討論法要對k的取值分以下幾種情況進行討論：k被n整除；k被n除余1；k被n除余2，…，k被n除余 n－1.然后方可下結(jié)論.幾何法依據(jù)數(shù)形結(jié)合思想，簡單直觀. 終邊相同的角 [探究問題] 3．在同一坐標系中作出390°，－330°，30°的角并觀察這三個角終邊之間的位置關(guān)系，角的大小關(guān)系． [提示]　如圖所示，三個角終邊相同，相差360°的整數(shù)倍． 4．對于任意一個角α，與它終邊相同的角的集合應(yīng)如何表示？ [提示]　所有與角α終邊相

14、同的角連同α在內(nèi)，可以構(gòu)成一個集合，S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一個與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與周角整數(shù)倍的和． 【例4】　已知α＝－1 910°. (1)把α寫成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第幾象限角； (2)求θ，使θ與α的終邊相同，且－720°≤θ<0°. [思路探究]　利用終邊相同的角的關(guān)系α＝β＋k·360°，k∈Z.求解． [解]　(1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，從而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限的角． (2)令θ＝250°＋k·360°(k∈Z)， 取k

15、＝－1，－2就得到滿足－720°≤θ<0°的角， 即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°. 所以θ為－110°，－470°. 3.(變條件)若將例題改為如圖所示的圖形，那么陰影部分(包括邊界)表示的終邊相同的角的集合如何表示？ [解]　在0°～360°范圍內(nèi)、陰影部分(包括邊界)表示的范圍是： 150°≤α≤225°，則滿足條件的角α為 {α|k·360°＋150°≤ α≤k·360°＋225°，k∈Z}． 4．(變條件)若將例題改為如圖所示的圖形，那么終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合如何表示？ [解]　由題干圖可知滿足題意的角的集合

16、為{β|k·360°＋60°≤β ≤k·360°＋105°，k∈Z}∪{k·360°＋240°≤β ≤k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β≤2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤ β≤(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤ β≤n·180°＋105°，n∈Z}． 即所求的集合為{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}． 1．終邊落在直線上的角的集合的步驟 (1)寫出在0°～360°范圍內(nèi)相應(yīng)的角； (2)由終邊相同的角的表示方法寫出角的集合； (3)根據(jù)條件

17、能合并一定合并， 使結(jié)果簡捷． 2．終邊相同角常用的三個結(jié)論 (1)終邊相同的角之間相差360°的整數(shù)倍． (2)終邊在同一直線上的角之間相差180°的整數(shù)倍． (3)終邊在相互垂直的兩直線上的角之間相差90°的整數(shù)倍． 1．對于某些具有重復(fù)現(xiàn)象的事件，研究其規(guī)律，可預(yù)測未來在一定時間該現(xiàn)象發(fā)生的可能性及發(fā)生規(guī)律，具有一定的研究價值． 2．對角的理解，初中階段是以“靜止”的眼光看，高中階段應(yīng)用“運動”的觀點下定義，理解這一概念時，要注意“旋轉(zhuǎn)方向”決定角的“正負”，“旋轉(zhuǎn)量”決定角的“絕對值大小”． 3．區(qū)域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示為{α|90°

18、＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示為{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}． 1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)某同學(xué)每天上學(xué)的時間是周期現(xiàn)象．(　　) (2)第三象限角一定比鈍角大．(　　) (3)始邊相同，終邊不同的角一定不相等．(　　) (4)始邊相同，終邊也相同的角一定相等．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．下列現(xiàn)象不是周期現(xiàn)象的是(　　) A．鐘擺擺心偏離鉛垂線角度的變化 B．游樂場中摩天輪的運行 C．拋一枚骰子，向上的數(shù)字是奇數(shù) D．太陽的東升西落

19、 C　[A，B，D所述都是周期現(xiàn)象，而C中“向上的數(shù)字是奇數(shù)”不是周期現(xiàn)象．] 3．下面各組角中，終邊相同的是 (　　) A．390°，690° B．－330°，750° C．480°，－420° D．3 000°，－840° B　[因為－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，所以－330°與750°終邊相同．] 4．從13：00到14：00，時針轉(zhuǎn)過的角度為________，分針轉(zhuǎn)過的角度為________． －30°?。?60°　[經(jīng)過1小時，時針順時針轉(zhuǎn)過了30°，分針順時針轉(zhuǎn)過了360°.] 5．在0°～360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角． (1)－150°；(2)650°. [解]　(1)因為－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范圍內(nèi)，與－150°角終邊相同的角是210°角，它是第三象限角． (2)因為650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范圍內(nèi)，與650°角終邊相同的角是290°角，它是第四象限角． - 10 -