2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第3節(jié) 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用學(xué)案 文 北師大版

《2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第3節(jié) 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用學(xué)案 文 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第3節(jié) 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用學(xué)案 文 北師大版（9頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第三節(jié)　平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用 [考綱傳真]　1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.5.會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.6.會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題． (對應(yīng)學(xué)生用書第61頁) [基礎(chǔ)知識填充] 1．向量的夾角 (1)定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，如圖4-3-1，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作a與b的夾角． 圖4-3-1 (2)當(dāng)θ

2、＝0°時(shí)，a與b共線同向． 當(dāng)θ＝180°時(shí)，a與b共線反向． 當(dāng)θ＝90°時(shí)，a與b互相垂直． 2．平面向量的數(shù)量積 (1)定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|·cos θ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)．規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0. (2)幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積或b的長度|b|與a在b方向上射影|a|cos θ的乘積． 3．平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)交換律：a·b＝b·a； (2)數(shù)乘結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)分配律：a·(b＋c

3、)＝a·b＋a·C． 4．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示 設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉． 結(jié)論 幾何表示 坐標(biāo)表示 模 |a|＝ |a|＝ 數(shù)量積 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 夾角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|與|a||b|的關(guān)系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤· [知識拓展] 1．兩個(gè)向量a，b的夾角為銳角?a·b＞0且a，b不共線； 兩個(gè)向量a，b的夾角為鈍角?a·b＜0且a，b不共線． 2．

4、平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. 3．當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝|a||b|； 當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b＝－|a||b|. [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量．(　　) (2)由a·b＝0，可得a＝0或b＝0.(　　) (3)由a·b＝a·c及a≠0不能推出b＝C．(　　) (4)在四邊形ABCD中，＝且·＝0，則四

5、邊形ABCD為矩形. (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．(2016·全國卷Ⅲ)已知向量＝，＝，則∠ABC＝(　　) A．30°　　　 B．45°　　　 C．60°　　　 D．120° A　[因?yàn)椋?，＝，所以·＝＋?又因?yàn)椤ぃ絴|||cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC，所以cos∠ABC＝.又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.故選A．] 3．(2015·全國卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，則(2a＋b)·a＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 C　[法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2

6、)，∴a2＝2，a·b＝－3， 從而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1. 法二：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)， ∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)， 從而(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故選C．] 4．(教材改編)已知|a|＝5，|b|＝4，a與b的夾角θ＝120°，則向量b在向量a方向上的投影為________． －2　[由數(shù)量積的定義知，b在a方向上的投影為|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.] 5．(2017·全國卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b與a垂直，則m＝________

7、. 7　[∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)， ∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3)． 又a＋b與a垂直，∴(a＋b)·a＝0， 即(m－1)×(－1)＋3×2＝0， 解得m＝7.] (對應(yīng)學(xué)生用書第62頁) 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 　(1)(2016·天津高考)已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長到點(diǎn)F，使得DE＝2EF，則·的值為(　　) A．－　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D． (2)已知正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E是AB邊上的動點(diǎn)，則·的值為________；·的最大值為__

8、______. 【導(dǎo)學(xué)號：00090135】 (1)B　(2)1　1　[(1)如圖所示，＝＋. 又D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)， 且DE＝2EF，所以＝，＝＋＝， 所以＝＋. 又＝－， 則·＝·(－) ＝·－2＋2－· ＝2－2－·. 又||＝||＝1，∠BAC＝60°， 故·＝－－×1×1×＝.故選B． (2)法一：以射線AB，AD為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，設(shè)E(t,0)，t∈[0,1]，則＝(t，－1)，＝(0，－1)，所以·＝(t，－1)·(0，－1)＝1. 因

9、為＝(1,0)，所以·＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1， 故·的最大值為1. 法二：由圖知，無論E點(diǎn)在哪個(gè)位置，在方向上的投影都是CB＝1，所以·＝||·1＝1， 當(dāng)E運(yùn)動到B點(diǎn)時(shí)，在方向上的投影最大，即為DC＝1， 所以(·)max＝||·1＝1.] [規(guī)律方法]　1.求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義． 2．(1)要有“基底”意識，關(guān)鍵用基向量表示題目中所求相關(guān)向量．(2)注意向量夾角的大小，以及夾角θ＝0°，90°，180°三種特殊情形． [變式訓(xùn)練1]　(1)已知＝(2,1)，點(diǎn)C(－1,0)，D(4,5)，

10、則向量在方向上的投影為 (　　) A．－ B．－3 C． D．3 (2)(2018·榆林模擬)已知在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝，＝2，點(diǎn)F在邊CD上．若·＝3，則·的值為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：00090136】 A．0 B． C．－4 D．4 (1)C　(2)C　[(1)因?yàn)辄c(diǎn)C(－1,0)，D(4,5)，所以CD＝(5,5)，又＝(2,1)，所以向量在方向上的投影為 ||cos〈，〉＝＝＝. (2)由·＝3得·(＋)＝·＝3， 所以||＝1，||＝2， 所以·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝·＋·＝－6＋2＝－4.] 平面向

11、量數(shù)量積的性質(zhì) 角度1　平面向量的模 　(1)(2017·合肥二次質(zhì)檢)已知不共線的兩個(gè)向量a，b滿足|a－b|＝2且a⊥(a－2b)，則|b|＝(　　) A． B．2 C．2 D．4 (2)(2018·西安模擬)已知平面向量a，b的夾角為，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D為BC的中點(diǎn)，則||＝________. (1)B　(2)2　[(1)由a⊥(a－2b)得a·(a－2b)＝|a|2－2a·b＝0.又∵|a－b|＝2，∴|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝4，則|b|2＝4，|b|＝2，故選B． (2)因?yàn)椋?＋)

12、 ＝(2a＋2b＋2a－6b) ＝2a－2b， 所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2) ＝4×(3－2×2××cos＋4)＝4， 所以||＝2.] 角度2　平面向量的夾角 　(1)已知單位向量e1與e2的夾角為α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2與b＝3e1－e2的夾角為β，則cos β＝________. (2)若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知2a－3b與c的夾角為鈍角，則k的取值范圍是________． (1)　(2)∪　[(1)因?yàn)閍2＝(3e1－2e2)2 ＝9－2×3×2×12×cos α＋4＝9，

13、 所以|a|＝3， 因?yàn)閎2＝(3e1－e2)2＝9－2×3×1×12×cos α＋1＝8， 所以|b|＝2， a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2) ＝9e－9e1·e2＋2e＝9－9×1×1×＋2＝8， 所以cos β＝＝＝. (2)∵2a－3b與c的夾角為鈍角， ∴(2a－3b)·c＜0， 即(2k－3，－6)·(2,1)＜0， ∴4k－6－6＜0， ∴k＜3. 又若(2a－3b)∥c，則2k－3＝－12，即k＝－. 當(dāng)k＝－時(shí)，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c， 即2a－3b與c反向． 綜上，k的取值范圍為∪.] 

14、角度3　平面向量的垂直 　(2016·山東高考)已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(ta＋b)，則實(shí)數(shù)t的值為________． －5　[∵a＝(1，－1)，b＝(6，－4)，∴ta＋b＝(t＋6，－t－4)． 又a⊥(ta＋b)，則a·(ta＋b)＝0，即t＋6＋t＋4＝0，解得t＝－5.] [規(guī)律方法]　1.求兩向量的夾角：cos θ＝，要注意θ∈[0，π]． 2．兩向量垂直的應(yīng)用：兩非零向量垂直的充要條件是：a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|. 3．求向量的模：利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法有： (1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.

15、 (2)|a±b|＝＝. (3)若a＝(x，y)，則|a|＝. 平面向量與三角函數(shù)的綜合 　(2018·佛山模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈. (1)若m⊥n，求tan x的值； (2)若m與n的夾角為，求x的值． 【導(dǎo)學(xué)號：00090137】 [解]　(1)因?yàn)閙＝，n＝(sin x，cos x)，m⊥n. 所以m·n＝0，即sin x－cos x＝0， 所以sin x＝cos x，所以tan x＝1. (2)因?yàn)閨m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝， 即sin x－cos x＝， 所以

16、sin＝， 因?yàn)?＜x＜，所以－＜x－＜， 所以x－＝，即x＝. [規(guī)律方法]　平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路 (1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解． (2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的模或者其他向量的表達(dá)形式，解題思路是經(jīng)過向量的運(yùn)算，利用三角函數(shù)的定義域內(nèi)的有界性，求得值域等． [變式訓(xùn)練2]　(2018·郴州模擬)已知向量a＝，b＝(cos x，－1)． (1)當(dāng)a∥b時(shí)，求tan 2x的值； (2)求函數(shù)f(x)＝(a＋b)·b在上的值域． [解]　(1

17、)∵a∥b，a＝，b＝(cos x，－1) ∴sin x·(－1)－·cos x＝0， 即sin x＋cos x＝0， 得sin x＝－cos x， ∴tan x＝＝－， ∴tan 2x＝＝. (2)∵a＝，b＝(cos x，－1)， ∴a·b＝sin xcos x－，b2＝cos2x＋(－1)2＝cos2x＋1， ∴f(x)＝(a＋b)·b＝a·b＋b2＝sin xcos x－＋cos2x＋1＝sin 2x＋(1＋cos 2x)－＝sin. ∵x∈，∴2x＋∈， ∴sin∈， ∴f(x)＝sin∈. 故函數(shù)f(x)＝(a＋b)·b在上的值域?yàn)? 9