2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 層級(jí)二 專題七 系列4選考 第1講 坐標(biāo)系與參數(shù)方程教學(xué)案（選修4-4）

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1、 第1講　選修4－4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 [考情考向·高考導(dǎo)航] 高考主要考查平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程與普通方程的互化，常見曲線的參數(shù)方程及參數(shù)方程的簡單應(yīng)用．以極坐標(biāo)、參數(shù)方程與普通方程的互化為主要考查形式，同時(shí)考查直線與曲線位置關(guān)系等解析幾何知識(shí)． [真題體驗(yàn)] 1．(2018·全國Ⅰ卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為y＝k|x|＋2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2＋2ρcos θ－3＝0. (1)求C2的直角坐標(biāo)方程； (2)若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求C1的方程． 解：(1

2、)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐標(biāo)方程為(x＋1)2＋y2＝4. (2)由(1)知C2是圓心為A(－1,0)，半徑為2的圓． 由題設(shè)知，C1是過點(diǎn)B(0,2)且關(guān)于y軸對(duì)稱的兩條射線．記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2.由于B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)，或l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)． 當(dāng)l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，A到l1 所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝－或k＝0.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k＝0時(shí)，l1與C2沒有公共點(diǎn)；當(dāng)k＝－時(shí)，l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)，l2與C2有兩

3、個(gè)公共點(diǎn)． 當(dāng)l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，A到l2所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝0或k＝.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k＝0時(shí)，l1與C2沒有公共點(diǎn)；當(dāng)k＝時(shí)，l2與C2沒有公共點(diǎn)． 綜上，所求C1的方程為y＝－|x|＋2. 2．(2019·全國Ⅰ卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為，(t為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為2ρcos θ＋ρsin θ＋11＝0. (1)求C和l的直角坐標(biāo)方程； (2)求C上的點(diǎn)到l距離的最小值． 解：(1)曲線C參數(shù)方程為 由①2＋2得 x2＋2＝1，又∵－1＜≤1， ∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋

4、＝1(x≠－1)． 由，得直線l的直角坐標(biāo)方程為2x＋y＋11＝0. (2)C上的點(diǎn)(cos θ，2sin θ)到直線l的距離d＝＝ 當(dāng)sin＝－1時(shí)，dmin＝. 即C上的點(diǎn)到l距離的最小值為. [主干整合] 1．直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化 把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸正半軸作為極軸， 且在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位．設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)分別為(x，y)和(ρ，θ)，則 2．直線的極坐標(biāo)方程 若直線過點(diǎn)M(ρ0，θ0)，且極軸到此直線的角為α，則它的方程為ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 幾個(gè)特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程： (1)

5、直線過極點(diǎn)：θ＝α； (2)直線過點(diǎn)M(a,0)(a＞0)且垂直于極軸；ρcos θ＝a； (3)直線過M且平行于極軸：ρsin θ＝b. 3．圓的極坐標(biāo)方程 幾個(gè)特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程： (1)當(dāng)圓心位于極點(diǎn)，半徑為r：ρ＝r； (2)當(dāng)圓心位于M(r,0)，半徑為r：ρ＝2rcos θ； (3)當(dāng)圓心位于M，半徑為r：ρ＝2rsin θ. 4．直線的參數(shù)方程 經(jīng)過點(diǎn)P0(x0，y0)，傾斜角為α的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 設(shè)P是直線上的任一點(diǎn)，則t表示有向線段的數(shù)量． 5．圓、橢圓的參數(shù)方程 (1)圓心在點(diǎn)M(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)

6、，0≤θ≤2π)． (2)橢圓＋＝1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 熱點(diǎn)一　極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用 數(shù)學(xué) 運(yùn)算 素養(yǎng) 數(shù)學(xué)運(yùn)算——極坐標(biāo)應(yīng)用問題中的核心素養(yǎng) 數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的過程，在極坐標(biāo)應(yīng)用中加強(qiáng)運(yùn)算求解能力和轉(zhuǎn)化與化歸思想. [例1]　(2019·全國Ⅲ卷) 如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在圓的圓心分別是(1,0)，，(1，π)，曲線M1是弧，曲線M2是弧，曲線M3是弧. (1)分別寫出M1，M2，M3的極坐標(biāo)方程； (2)曲線M由M1，M2，M3構(gòu)成，若點(diǎn)P在M上，且|OP|＝，求P

7、的極坐標(biāo)． [審題指導(dǎo)]　(1)依據(jù)條件直接寫出圓的極坐標(biāo)方程，因?yàn)槭菆A弧，所以要對(duì)極角θ進(jìn)行范圍限制． (2)根據(jù)點(diǎn)P在三段圓弧上的不同情況分類討論，由|OP|＝分別求出極角，從而確定點(diǎn)P的極坐標(biāo)． [解]　(1)由題設(shè)可得，弧所在圓的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ. 所以M1的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ，M2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ，M3的極坐標(biāo)方程為ρ＝－2cos θ. (2)設(shè)P(ρ，θ)，由題設(shè)及(1)知 若0≤θ≤，則2cos θ＝，解得θ＝； 若≤θ≤，則2sin θ＝，解得θ＝或θ＝； 若≤θ≤π，則－2cos θ

8、＝，解得θ＝. 綜上，P的極坐標(biāo)為或或或. 極坐標(biāo)方程問題的求解方法 有關(guān)曲線的極坐標(biāo)方程的問題中，常見的有直線與圓的交點(diǎn)問題，圓心到直線的距離問題等．一般情況下，解決的方案是：化極坐標(biāo)方程為平面直角坐標(biāo)方程，然后用平面解析幾何的方法解決問題，必要時(shí)，還要把結(jié)果返回到極坐標(biāo)系中． (2018·江蘇卷)在極坐標(biāo)系中，直線l的方程為ρsin(－θ)＝2，曲線C的方程為ρ＝4cos θ，求直線l被曲線C截得的弦長． 解： 因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ， 所以曲線C是圓心為(2,0)，直徑為4的圓． 因?yàn)橹本€l的極坐標(biāo)方程為ρsin(－θ)＝2， 則直線l過A

9、(4,0)，傾斜角為， 所以A為直線l與圓C的一個(gè)交點(diǎn)． 設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為B，則∠OAB＝. 連結(jié)OB.因?yàn)镺A為直徑，從而∠OBA＝， 所以AB＝OA·cos∠OAB＝4cos＝2. 因此，直線l被曲線C截得的弦長為2. 熱點(diǎn)二　參數(shù)方程及其應(yīng)用 [例2]　(2018·全國Ⅱ卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (1)求C和l的直角坐標(biāo)方程； (2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，求l的斜率． [審題指導(dǎo)]　(1)直接消去參數(shù)可得曲線的直角坐標(biāo)方程，注意對(duì)相關(guān)系數(shù)的分類討論； (2)利用直線參數(shù)方程中參

10、數(shù)的幾何意義求解． [解析]　(1)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))， ∴＋＝1. 直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)) ∴＝tan α(α≠90°)，即tan α·x－y＋2－tan α＝0，當(dāng)α＝90°時(shí)，x＝1. 綜上，l： (2)當(dāng)α＝90°，點(diǎn)(1,2)不為中點(diǎn)，∴不成立． 當(dāng)a≠90°，把l代入曲線C中得：4x2＋[tan α·(x－1)＋2]2＝16， 化簡得：(4＋tan2α)x2＋(4tan α－2tan2α)x＋tan2α－4tan α－12＝0， ∵點(diǎn)(1,2)為弦的中點(diǎn)，∴x1＋x2＝2，即＝2， ∴tan α＝－2，∴直線l的斜率k＝－2. 參數(shù)方程

11、與普通方程的互化及應(yīng)用技巧 (1)將參數(shù)方程化為普通方程的過程就是消去參數(shù)的過程，常用的消參方法有代入消參、加減消參、三角恒等式消參等，往往需要對(duì)參數(shù)方程進(jìn)行變形，為消去參數(shù)創(chuàng)造條件．但在消參時(shí)要注意參數(shù)范圍等價(jià)變形． (2)在與直線、圓、橢圓有關(guān)的題目中，參數(shù)方程的使用會(huì)使問題的解決事半功倍，尤其是求取值范圍和最值問題，可將參數(shù)方程代入相關(guān)曲線的普通方程中，根據(jù)參數(shù)的取值條件求解． (2018·全國Ⅲ卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為，(θ為參數(shù))，過點(diǎn)(0，－)且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點(diǎn)． (1)求α的取值范圍； (2)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程．

12、 解析：(1)⊙O的普通方程為x2＋y2＝1. 當(dāng)α＝時(shí)，l與⊙O交于兩點(diǎn)． 當(dāng)α≠時(shí)，記tan α＝k，則l的方程為y＝kx－.l與⊙O交于兩點(diǎn)且當(dāng)且僅當(dāng)＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈或α∈. 綜上，α的取值范圍是. (2)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，＜α＜)． 設(shè)A，B，P對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA，tB，tP，則tP＝， 且tA，tB滿足t2－2tsin α＋1＝0. 于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α. 又點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足 所以點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是(α為參數(shù)，＜α＜)． 熱點(diǎn)三　極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用 [例3]　(2020·廣東七校聯(lián)考)已

13、知橢圓C：(φ為參數(shù))，A，B是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足OA⊥OB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))．以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)D的極坐標(biāo)為. (1)求線段AD的中點(diǎn)M的軌跡E的普通方程． (2)利用橢圓C的極坐標(biāo)方程證明＋為定值，并求△AOB面積的最大值． [審題指導(dǎo)]　(1)利用參數(shù)法求出軌跡E的參數(shù)方程，再化為普通方程即可；(2)求出橢圓C的極坐標(biāo)方程，由題設(shè)條件設(shè)出A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)，代入橢圓C的極坐標(biāo)方程即可證明＋為定值，利用極坐標(biāo)建立關(guān)于△AOB面積的函數(shù)解析式，從而求出△AOB面積的函數(shù)解析式，從而法度出△AOB面積的最大值． [解析]　(1)點(diǎn)D的直角坐標(biāo)為(2,2

14、)． 由題意可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2cos α，sin α)， 則AD的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為， 所以點(diǎn)M的軌跡E的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，消去α可得E的普通方程為(x－1)2＋4(y－)2＝1. (2)橢圓C的普通方程為＋y2＝1. 化為極坐標(biāo)方程得ρ2＋3ρ2sin2θ＝4，變形得ρ＝. 由OA⊥OB，不妨設(shè)A(ρ1，θ)，B， 所以＋＝＋＝＋＝＝(定值)． 所以△AOB的面積S＝ρ1ρ2 ＝＝ ＝ 易知當(dāng)sin 2θ＝0時(shí)，△AOB的面積取得最大值1. 1．涉及參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解．當(dāng)然，還要結(jié)合題目本身特點(diǎn)，

15、確定選擇何種方程． 2．?dāng)?shù)形結(jié)合的應(yīng)用，即充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，或者利用ρ和θ的幾何意義，直接求解，能達(dá)到化繁為簡的解題目的． (2020·惠州質(zhì)檢)已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ＝4cos θ.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是(t是參數(shù))， (1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； (2)若直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|＝，求直線l的傾斜角α的值． 解析：(1)由ρ＝4cos θ得其直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋y2＝4. (2)將代入圓C的方程得(tcos α－1)2＋(tsin α)2＝4，化簡

16、得t2－2tcos α－3＝0. 設(shè)A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2， 則 ∴|AB|＝|t1－t2|＝ ＝＝， ∴4cos2α＝2，故cos α＝±，即α＝或. 限時(shí)45分鐘　滿分50分 解答題(本大題共5小題，每小題10分，共50分) 1．(2020·惠州模擬)已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ＋2sin θ，直線l1：θ＝(ρ∈R)，直線l2：θ＝(ρ∈R)．以極點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系． (1)求直線l1，l2的直角坐標(biāo)方程以及曲線C的參數(shù)方程； (2)若直線l1與曲線C交于O，A兩點(diǎn)，直線l2與曲線C交于O，B兩點(diǎn)，求△A

17、OB的面積． 解析：(1)依題意，直線l1的直角坐標(biāo)方程為y＝x，直線l2的直角坐標(biāo)方程為y＝x. 由ρ＝2cos θ＋2sin θ得ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ， 因?yàn)棣?＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y(tǒng)， 所以(x－)2＋(y－1)2＝4， 所以曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))． (2)聯(lián)立得所以|OA|＝4， 同理，|OB|＝2. 又∠AOB＝， 所以S△AOB＝·|OA|·|OB|·sin∠AOB＝×4×2×＝2， 即△AOB的面積為2. 2．(2019·全國Ⅱ卷)在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，點(diǎn)M(ρ0，θ0)(ρ0＞0)在曲線C：ρ＝4sin

18、θ上，直線l過點(diǎn)A(4,0)且與OM垂直，垂足為P. (1)當(dāng)θ0＝時(shí)，求ρ0及l(fā)的極坐標(biāo)方程； (2)當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段OM上時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程． 解：(1)因?yàn)镸(ρ0，θ0)在C上，當(dāng)θ0＝時(shí)，ρ0＝4sin ＝2.由已知得|OP|＝|OA|cos ＝2. 設(shè)Q(ρ，θ)為l上除P的任意一點(diǎn)，在Rt△OPQ中，ρcos ＝|OP|＝2. 經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)P在曲線ρcos ＝2上． 所以，l的極坐標(biāo)方程為ρcos ＝2. (2)設(shè)P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，則ρ＝4cos θ， 因?yàn)镻在線段OM上，且AP⊥OM，故θ的

19、取值范圍是. 所以，P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ， θ∈. 3．(2020·成都摸底)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2(1＋2cos2θ)＝3. (1)寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)點(diǎn)M(1,1)，若直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，求|AM|＋|BM|的值． 解析：(1)由直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t，得x－1＝(y－1)， 化簡，得直線l的普通方程為x－y＋1－＝0. 曲線C的極坐標(biāo)方程可化為ρ2＋2ρ2cos2θ＝3， ∴(x2＋y2)

20、＋2x2＝3， ∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋＝1. (2)由題易知，點(diǎn)M在直線l上． 將直線l的參數(shù)方程代入x2＋＝1，得2＋2＝1， 化簡，得t2＋2t＋＝0， 此時(shí)Δ＝＋＞0， 此方程的兩根為直線l與曲線C的交點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)t1，t2. 由根與系數(shù)的關(guān)系，得t1＋t2＝－，t1t2＝， ∴|AM|＋|BM|＝|t1|＋|t2|＝－t1－t2＝2＋. 4．(2020·南昌模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(其中α為參數(shù))，曲線C2：(x－1)2＋y2＝1，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的極坐標(biāo)

21、方程． (2)若射線θ＝(ρ＞0)與曲線C1，C2分別交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|. 解析：(1)因?yàn)榍€C1的參數(shù)方程為(其中α為參數(shù))， 所以曲線C1的普通方程為x2＋(y－2)2＝4. 因?yàn)榍€C2：(x－1)2＋y2＝1， 所以把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(x－1)2＋y2＝1， 得到曲線C2的極坐標(biāo)方程(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ)2＝1，化簡得ρ＝2cos θ. (2)依題意設(shè)A，B， 因?yàn)榍€C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－4ρsin θ－3＝0， 將θ＝(ρ＞0)代入曲線C1的極坐標(biāo)方程， 得ρ2－2ρ－3＝0，解得ρ1＝3， 同理，將θ＝(ρ

22、＞0)代入曲線C2的極坐標(biāo)方程， 得ρ2＝，所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝3－. 5．(2020·長春模擬)已知曲線C1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ＝4cos θ. (1)求C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程； (2)若過點(diǎn)F(1,0)的直線l與C1交于A，B兩點(diǎn)，與C2交于M，N兩點(diǎn)，求的取值范圍． 解析：(1)曲線C1的普通方程為＋y2＝1， 曲線C2的直角坐標(biāo)方程為y2＝4x. (2)設(shè)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， 因?yàn)橹本€l與曲線C2：y2＝4x有兩個(gè)交點(diǎn)，因此sin α≠0. 聯(lián)立直線l與曲線C1：＋y2＝1， 可得(1＋sin2α)t2＋2tcos α－1＝0， 則|FA|·|FB|＝|t1t2|＝， 聯(lián)立直線l與曲線C2：y2＝4x， 可得t2sin2α－4tcos α－4＝0， 則|FM|·|FN|＝|t3t4|＝， 所以＝＝· ＝·∈. - 11 -