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1、九年級(jí)總復(fù)習(xí)(河北)習(xí)題 第4章 第3節(jié) 等腰三角形與直角三角形
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)
一、精心選一選
1.(xx·廣東)一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3和7,則它的周長(zhǎng)為( A )
A.17 B.15
C.13 D.13或17
2.(xx·濱州)下列四組線段中,可以構(gòu)成直角三角形的是( B )
A.4,5,6 B.1.5,2,2.5
C.2,3,4 D.1,,3
3.(xx·龍巖)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(0,2),B(0,6),動(dòng)點(diǎn)C在直線y=x上,若以A,B,C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形,則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是( B )
A.2 B.3 C.4 D.5
2、
4.(xx·威海)如圖,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=60°,點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上,∠ABC的平分線BD與∠ACE的平分線CD相交于點(diǎn)D,連接AD,下列結(jié)論中不正確的是( B )
A.∠BAC=70° B.∠DOC=90°
C.∠BDC=35° D.∠DAC=55°
5.(xx·南充)如圖,在△ABC中,AB=AC,且D為BC上一點(diǎn),CD=AD,AB=BD,則∠B的度數(shù)為( B )
A.30° B.36° C.40° D.45°
6.(xx·天門(mén))如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,BC=6 cm,AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)M,交AB于
3、點(diǎn)E,AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)N,交AC于點(diǎn)F,則MN的長(zhǎng)為( C )
A.4 cm B.3 cm C.2 cm D.1 cm
7.(xx·淄博)如圖,△ABC的周長(zhǎng)為26,點(diǎn)D,E都在邊BC上,∠ABC的平分線垂直于AE,垂足為Q,∠ACB的平分線垂直于AD,垂足為P,若BC=10,則PQ的長(zhǎng)為( C )
A. B. C.3 D.4
二、細(xì)心填一填
8.(xx·黔西南州)如圖,已知△ABC是等邊三角形,點(diǎn)B,C,D,E在同一直線上,且CG=CD,DF=DE,則∠E=__15__度.
,第8題圖) ,第9題圖)
9.(xx·天津)如圖,在Rt△ABC中,D,
4、E為斜邊AB上的兩個(gè)點(diǎn),且BD=BC,AE=AC,則∠DCE的大小為_(kāi)_45__度.
10.(xx·莆田)如圖是一株美麗的勾股樹(shù),其中所有的四邊形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A,B,C,D的面積分別為2,5,1,2,則最大的正方形E的面積是__10__.
11.如圖,梯形ABCD中,AB∥DC,∠ADC+∠BCD=90°且DC=2AB,分別以DA,AB,BC為邊向梯形外作正方形,其面積分別為S1,S2,S3,則S1,S2,S3之間的關(guān)系是__S1+S3=S2__.
,第11題圖) ,第12題圖)
12.(xx·涼山州)如圖,圓柱形容器高18 cm,底面周長(zhǎng)為
5、24 cm,在杯內(nèi)壁離杯底4 cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜,此時(shí)已知螞蟻正好在杯外壁,離杯上沿2 cm與蜂蜜相對(duì)的A處,則螞蟻從外壁A處到達(dá)內(nèi)壁B處的最短距離為_(kāi)_20__cm.
13.(xx·錦州)在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分線DE與AC所在的直線相交于點(diǎn)E,垂足為D,連接BE,已知AE=5,tan∠AED=,則BE+CE=__6或16__.
14.(xx·沈陽(yáng))已知等邊三角形ABC的高為4,在這個(gè)三角形所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P,若點(diǎn)P到AB的距離是1,點(diǎn)P到AC的距離是2,則點(diǎn)P到BC的最小距離和最大距離分別是__1或7__.
三、用心做一做
15.在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)E
6、,F(xiàn)分別在AB,AC上,AE=AF,BF與CE相交于點(diǎn)P,求證:PB=PC.并請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中其他相等的線段.
解:∵AE=AF,AC=AB,∠A=∠A,∴△ACE≌△ABF(SAS),∴∠ABF=∠ACE,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠PBC=∠PCB,∴PB=PC.其他相等線段:BE=CF,PE=PF,BF=CE
16.(xx·溫州)如圖,在等邊三角形ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊BC,AC上,DE∥AB,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
(1)求∠F的度數(shù);
(2)若CD=2,求DF的長(zhǎng).
解:(1)∵△ABC是等邊三角
7、形,∴∠B=60°,∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°,∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°,∴∠F=90°-∠EDC=30° (2)∵∠ACB=60°,∠EDC=60°,∴△EDC是等邊三角形,∴ED=DC=2,∵∠DEF=90°,∠F=30°,∴DF=2DE=4
17.(xx·杭州)把一條12個(gè)單位長(zhǎng)度的線段分成三條線段,其中一條線段長(zhǎng)為4個(gè)單位長(zhǎng)度,另兩條線段長(zhǎng)都是單位長(zhǎng)度的整數(shù)倍.
(1)不同分法得到的三條線段能組成多少個(gè)不全等的三角形?用尺規(guī)作出這些三角形;(用給定的單位長(zhǎng)度,不寫(xiě)作法,保留作圖痕跡)
(2)求出(1)中所作三角形外接圓的周長(zhǎng)
8、.
解:(1)3,4,5;4,4,4 (2)R1=2.5,外接圓周長(zhǎng)為5π;R2=,外接圓周長(zhǎng)為π
18.如圖,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分別為D,E,點(diǎn)F是BC的中點(diǎn),BE與DF,DC分別交于點(diǎn)G,H,∠ABE=∠CBE.
(1)線段BH與AC相等嗎?若相等,給予證明,若不相等,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)求證:BG2-GE2=EA2.
解:(1)相等.證△DBH≌△DCA,得BH=AC (2)連接CG,證△ABE≌△CBE,得EC=EA,在Rt△CGE中,由勾股定理得CG2-GE2=EC2,可證GF垂直平分
9、BC,∴BG=CG,∴BG2-GE2=EA2
挑戰(zhàn)技能
19.(xx·瀘州)如圖,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,O是斜邊AB的中點(diǎn),點(diǎn)D,E分別在直角邊AC,BC上,且∠DOE=90°,DE交OC于點(diǎn)P,則下列結(jié)論:①圖形中全等的三角形只有兩對(duì);②△ABC的面積等于四邊形CDOE的面積的2倍;③CD+CE=OA;④AD2+BE2=2OP·OC.其中正確的結(jié)論有( C )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
20.(xx·珠海)如圖,在等腰Rt△OAA1中,∠OAA1=90,OA=1,以O(shè)A1為直角邊作等腰Rt△OA
10、1A2,以O(shè)A2為直角邊作等腰Rt△OA2A3,……則OA6的長(zhǎng)度為_(kāi)_8__.
21.(xx·金華)如圖,等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6,在AC,BC邊上各取一點(diǎn)E,F(xiàn),連接AF,BE相交于點(diǎn)P.若AE=CF.
(1)求證:AF=BE,并求∠APB的度數(shù);
(2)若AE=2,試求AP·AF的值.
解:(1)由SAS可證△ABE≌△CAF,∴AF=BE,∠ABE=∠CAF,∴∠ABE+∠BAF=∠CAF+∠BAF=∠BAC=60°,∴∠APB=180°-60°=120° (2)由(1)得∠AFC=∠AEP,又∵∠PAE=∠CAF,∴△APE∽△ACF,∴=,∴AP·AF=AE·AC=2
11、×6=12
22.(xx·重慶)如圖,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,垂足是D,AE平分∠BAD,交BC于點(diǎn)E.在△ABC外有一點(diǎn)F,使FA⊥AE,F(xiàn)C⊥BC.
(1)求證:BE=CF;
(2)在AB上取一點(diǎn)M,使BM=2DE,連接MC,交AD于點(diǎn)N,連接ME.求證:①M(fèi)E⊥BC;②DE=DN.
解:(1)∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=45°,∵FC⊥BC,∴∠BCF=90°,∴∠ACF=90°-45°=45°,∴∠B=∠ACF,∵∠BAC=90°,F(xiàn)A⊥AE,∴∠BAE+∠CAE=90°,∠CAF+∠CAE=90°,∴∠BAE
12、=∠CAF,又∵AB=AC,∴△ABE≌△ACF(ASA),∴BE=CF (2)①過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于H,則△BEH是等腰直角三角形,∴HE=BH,∠BEH=45°,∵AE平分∠BAD,AD⊥BC,∴DE=HE,∴DE=BH=HE,∵BM=2DE,∴HE=HM,∴△HEM是等腰直角三角形,∴∠MEH=45°,∴∠BEM=45°+45°=90°,∴ME⊥BC ②由題意得∠CAE=45°+×45°=67.5°,∴∠CEA=180°-45°-67.5°=67.5°,∴∠CAE=∠CEA=67.5°,∴AC=CE,由HL可證Rt△ACM≌Rt△ECM,∴∠ACM=∠ECM=×45°=22.5°,又∵∠
13、DAE=×45°=22.5°,∴∠DAE=∠ECM,∵∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,∴AD=CD=BC,由ASA可證△ADE≌△CDN,∴DE=DN
23.(1)操作發(fā)現(xiàn):如圖①,D是等邊△ABC邊BA上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合),連接DC,以DC為邊在BC上方作等邊△DCF,連接AF,你能發(fā)現(xiàn)AF與BD之間的數(shù)量關(guān)系嗎?并證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論;
(2)類比猜想:如圖②,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)至等邊△ABC邊BA的延長(zhǎng)線時(shí),其他作法與(1)相同,猜想AF與BD在(1)中的結(jié)論是否仍然成立?
(3)深入探究:Ⅰ.如圖③,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在等邊△ABC邊BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)D與B不重合),連接
14、DC,以DC為邊在BC上方、下方分別作等邊△DCF和等邊△DCF′,連接AF,BF′,探究AF,BF′與AB有何數(shù)量關(guān)系?并證明你探究的結(jié)論;
Ⅱ.如圖④,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在等邊△ABC的邊BA的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí),其他作法與圖③相同,Ⅰ中的結(jié)論是否成立?若不成立,是否有新的結(jié)論?并證明你得出的結(jié)論.
解:(1)AF=BD,證△BCD≌△ACF(SAS)即可
(2)仍然成立,證△BCD≌△ACF(SAS)即可 (3)Ⅰ.AF+BF′=AB.由(1)知△BCD≌△ACF(SAS),則BD=AF.同理△BCF′≌△ACD(SAS),則BF′=AD,∴AF+BF′=BD+AD=AB Ⅱ.Ⅰ中的結(jié)論不成立,新的結(jié)論是AF=AB+BF′.易證△BCF′≌△ACD(SAS),∴BF′=AD.由(2)知AF=BD,∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′