2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 下篇 指導(dǎo)四 高考創(chuàng)新題型揭-秘教學(xué)案

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1、 指導(dǎo)四 高考創(chuàng)新題型揭-秘 創(chuàng)新型數(shù)學(xué)問(wèn)題的命制是以集合、函數(shù)圖象與性質(zhì)、立體幾何、數(shù)列、復(fù)數(shù)等常規(guī)知識(shí)為基礎(chǔ)，并用新的背景、新的情境等進(jìn)行“包裝”，使平淡的數(shù)學(xué)題煥發(fā)出新的活力，充滿了無(wú)窮的魅力．此類問(wèn)題有利于考查考生在新情境下分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的實(shí)際能力，有利于考查考生的發(fā)散性思維能力和探索、創(chuàng)新精神，是各級(jí)各類考試中一道亮麗的風(fēng)景線． 　　　設(shè)置“新定義” “新定義”試題是指給出一個(gè)考生從未接觸過(guò)的新規(guī)定、新概念，要求考生現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，其目的是考查考生的閱讀理解能力、應(yīng)變能力和創(chuàng)新能力，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、主動(dòng)探究的品質(zhì)．此類問(wèn)題可能以文字的形式出現(xiàn)，也可能以數(shù)學(xué)符號(hào)或數(shù)學(xué)表達(dá)式的

2、形式出現(xiàn)，要求考生要先準(zhǔn)確理解“新定義”的特點(diǎn)，再加以靈活運(yùn)用．特別提醒：“給什么，用什么”是應(yīng)用“新定義”解題的基本思路． [例1]　(2020·唐山調(diào)研)若函數(shù)exf(x)(e＝2.718 28…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì)．下列函數(shù)中所有具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號(hào)為________． ①f(x)＝2－x?、趂(x)＝3－x?、踗(x)＝x3?、躥(x)＝x2＋2 [解析]　設(shè)g(x)＝exf(x)． 對(duì)于①，g(x)＝ex·2－x(x∈R)，g′(x)＝ex·2－x－ex·2－x·ln 2＝(1－ln 2)·ex·2－x＞0，∴函數(shù)g(x

3、)在R上單調(diào)遞增，故①中f(x)具有M性質(zhì)． 對(duì)于②，g(x)＝ex·3－x(x∈R)，g′(x)＝ex·3－x－ex·3－x·ln 3＝(1－ln 3)·ex·3－x＜0，∴函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞減，故②中f(x)不具有M性質(zhì)． 對(duì)于③，g(x)＝ex·x3(x∈R)， g′(x)＝ex·x3＋ex·3x2＝(x＋3)·ex·x2， 當(dāng)x＜－3時(shí)，g′(x)＜0，g(x)單調(diào)遞減，故③中f(x)不具有M性質(zhì)． 對(duì)于④，g(x)＝ex·(x2＋2)(x∈R)，g′(x)＝ex·(x2＋2)＋ex·2x＝(x2＋2x＋2)·ex＝[(x＋1)2＋1]·ex＞0， ∴函數(shù)g(x)在R

4、上單調(diào)遞增，故④中f(x)具有M性質(zhì)． 綜上，具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號(hào)為①④. [答案]?、佗? 解決此類新定義問(wèn)題首先要準(zhǔn)確理解給出的新定義，然后把其轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題求解．如本例通過(guò)對(duì)函數(shù)f(x)所具有M性質(zhì)的理解，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判定函數(shù)是否具有此性質(zhì)． [活學(xué)活用1] (2019·青島三模)已知函數(shù)y＝f(x)(x∈R)．對(duì)于函數(shù)y＝g(x)(x∈I)，定義g(x)關(guān)于f(x)的“對(duì)稱函數(shù)”為函數(shù)y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)滿足：對(duì)任意x∈I，兩個(gè)點(diǎn)(x，h(x))，(x，g(x))關(guān)于點(diǎn)(x，f(x))對(duì)稱．若h(x)是g(x)＝關(guān)于f(x)＝3x＋b的“對(duì)稱函數(shù)”，

5、且h(x)＞g(x)恒成立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是____________． 解析：由于g(x)＝的圖象是圓x2＋y2＝4在x軸上方的半圓(包括與x軸的交點(diǎn))，設(shè)這個(gè)半圓的一條切線方程為y＝3x＋b1，則有＝2，解得b1＝2，要使得h(x)＞g(x)恒成立，則需b＞b1＝2.故實(shí)數(shù)b的取值范圍為(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞) 　　　設(shè)置“新運(yùn)算” “新運(yùn)算”是指在現(xiàn)有的運(yùn)算法則和運(yùn)算律的基礎(chǔ)上定義的一種新的運(yùn)算，是一種特別設(shè)計(jì)的計(jì)算形式，它使用一些特殊的運(yùn)算符號(hào)，如“*”“?”“※”等，這些符號(hào)與四則運(yùn)算中的加減乘除符號(hào)是不一樣的．“新運(yùn)算”類問(wèn)題的情境一般比較陌生，求解時(shí)考生需要坦

6、然面對(duì)，先準(zhǔn)確理解“新運(yùn)算”法則，再加以靈活運(yùn)用即可解決問(wèn)題．特別注意：新定義的算式在沒有轉(zhuǎn)化前，是不適合運(yùn)用現(xiàn)有的運(yùn)算法則和運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算的． [例2]　定義一種運(yùn)算“※”，對(duì)于任意n∈N*均滿足以下運(yùn)算性質(zhì)：(1)2※2 017＝1；(2)(2n＋2)※2 017＝(2n)※2 017＋3.則2 018※2 017＝________. [解析]　設(shè)an＝(2n)※2 017，則由運(yùn)算性質(zhì)(1)知a1＝1，由運(yùn)算性質(zhì)(2)知an＋1＝an＋3，即an＋1－an＝3. 于是，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且首項(xiàng)為1，公差為3. 故2 018※2 017＝(2×1 009)※2 017＝a1

7、009＝1＋1 008×3＝3 025. [答案]　3 025 注意到(2n)※2 017與[2(n＋1)]※2 017((2n＋2)※2 017)結(jié)構(gòu)相同，具體區(qū)別為前邊是“n”，后邊是“n＋1”，于是，可將它們看作某一數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)，從而通過(guò)“換元”將不熟悉的“新運(yùn)算”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的等差數(shù)列問(wèn)題，這是求解本題的關(guān)鍵． [活學(xué)活用2] 定義平面向量之間的一種運(yùn)算“⊙”如下：對(duì)任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面說(shuō)法錯(cuò)誤的是(　　) A．若a與b共線，則a⊙b＝0 B．a(chǎn)⊙b＝b⊙a(bǔ) C．對(duì)任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b) D．(a⊙

8、b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2 解析：B　[若a＝(m，n)與b＝(p，q)共線，則mq－np＝0，依運(yùn)算“⊙”知a⊙b＝0，故A正確，由于a⊙b＝mq－np，又b⊙a(bǔ)＝np－mq，因此a⊙b＝－b⊙a(bǔ)，故B不正確．由于λa＝(λm，λn)，因此(λa)⊙b＝λmq－λnp，又λ(a⊙b)＝λ(mq－np)＝λmq－λnp，故C正確．(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2－2mnpq＋n2p2＋(mp＋nq)2＝m2(p2＋q2)＋n2(p2＋q2)＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，故D正確．] 　　　設(shè)置“實(shí)際背景” 以現(xiàn)實(shí)中的生活實(shí)例或最新時(shí)事為背景，考查學(xué)生的

9、應(yīng)用能力和創(chuàng)新意識(shí)．解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵，正確理解題意，建立數(shù)學(xué)模型． [例3]　交強(qiáng)險(xiǎn)是車主必須為機(jī)動(dòng)車購(gòu)買的險(xiǎn)種，若普通6座以下私家車投保交強(qiáng)險(xiǎn)第一年的費(fèi)用(基準(zhǔn)保費(fèi))統(tǒng)一為a元，在下一年續(xù)保時(shí)，實(shí)行的是費(fèi)率浮動(dòng)機(jī)制，且保費(fèi)與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系．發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費(fèi)率也就越高，具體浮動(dòng)情況如下表： 交強(qiáng)險(xiǎn)浮動(dòng)因素和費(fèi)率浮動(dòng)比率表 浮動(dòng)因素 浮動(dòng)比率 A1 上一個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 下浮10% A2 上兩個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 下浮20% A3 上三個(gè)及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 下浮30% A4 上一個(gè)年度

10、發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故 0% A5 上一個(gè)年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任道路交通事故 上浮10% A6 上一個(gè)年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故 上浮30% 某機(jī)構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機(jī)抽取了60輛車齡已滿三年該品牌同型號(hào)私家車的下一年續(xù)保時(shí)的情況，統(tǒng)計(jì)得到了下面的表格： 類型 A1 A2 A3 A4 A5 A6 數(shù)量 10 5 5 20 15 5 (1)求一輛普通6座以下私家車在第四年續(xù)保時(shí)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的頻率； (2)某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強(qiáng)險(xiǎn)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的車輛記為事

11、故車．假設(shè)購(gòu)進(jìn)一輛事故車虧損5 000元，一輛非事故車盈利10 000元．且各種投保類型的頻率與上述機(jī)構(gòu)調(diào)查的頻率一致，完成下列問(wèn)題： ①若該銷售商店內(nèi)有6輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，某顧客欲在其內(nèi)隨機(jī)挑選2輛車，求這2輛車恰好有一輛為事故車的概率； ②若該銷售商一次購(gòu)進(jìn)120輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，求一輛車盈利的平均值． [解析]　(1)一輛普通6座以下私家車第四年續(xù)保時(shí)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的頻率為＝. (2)①由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，該銷售商店內(nèi)的6輛該品牌車齡已滿三年的二手車中有2輛事故車，設(shè)為b1，b2,4輛非事故車，設(shè)為a1，a2，a3，a4.從6輛車中隨機(jī)挑選2輛車的情況有

12、(b1，b2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，a3)，(b1，a4)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，a3)，(b2，a4)，(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a3，a4)，共15種．其中2輛車恰好有一輛為事故車的情況有(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，a3)，(b1，a4)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，a3)，(b2，a4)，共8種． 所以該顧客在店內(nèi)隨機(jī)挑選2輛車，這2輛車恰好有一輛事故車的概率為. ②由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，該銷售商一次購(gòu)進(jìn)120輛該品牌車齡已滿三年的二手車有事故車40輛，非事故車80輛，

13、所以一輛車盈利的平均值為[(－5 000)×40＋10 000×80]＝5 000(元)． 本例以“交強(qiáng)險(xiǎn)”這一實(shí)際生活實(shí)例為背景，考查了古典概型概率的求法以及平均值的計(jì)算． [活學(xué)活用3] 幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件．為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)．這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一項(xiàng)是20，接下來(lái)的兩項(xiàng)是20,21，再接下來(lái)的三項(xiàng)是20,21,22，依此類推．求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N＞100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪．那么該款

14、軟件的激活碼是(　　) A．440　　　　　　　　 B．330 C．220 D．110 解析：A　[設(shè)第一項(xiàng)為第1組，接下來(lái)的兩項(xiàng)為第2組，再接下來(lái)的三項(xiàng)為第3組，依次類推，則第n組的項(xiàng)數(shù)為n，前n組的項(xiàng)數(shù)和為.由題意可知，N＞100，令＞100，得n≥14，n∈N*，即N出現(xiàn)在第13組之后．易得第n組的所有項(xiàng)的和為＝2n－1，前n組的所有項(xiàng)的和為－n＝2n＋1－n－2.設(shè)滿足條件的N在第k＋1(k∈N*，k≥13)組，且第N項(xiàng)為第k＋1組的第t(t∈N*)個(gè)數(shù)，若要使前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪，則第k＋1組的前t項(xiàng)的和2t－1應(yīng)與－2－k互為相反數(shù)，即2t－1＝k＋2， ∴2t＝k＋3，

15、∴t＝log2(k＋3)，∴當(dāng)t＝4，k＝13時(shí)，N＝＋4＝95＜100，不滿足題意；當(dāng)t＝5，k＝29時(shí)，N＝＋5＝440；當(dāng)t＞5時(shí)，N＞440，故選A.] 　　　設(shè)置“新模型” “新模型”試題指已知條件中給出具體的解題模型，需要考生將所給解題模型遷移至新情境中，對(duì)目標(biāo)問(wèn)題進(jìn)行合理探究．著重考查考生的閱讀理解能力，接受能力，應(yīng)變能力和創(chuàng)新、探究能力． [例4]　我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標(biāo)系中，利用求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法，可以求出過(guò)點(diǎn)A(－2,3)且法向量為n＝(4，－1)的直線(點(diǎn)法式)方程為4×(x＋2)＋(－1)×(y－3)＝0，化簡(jiǎn)得4x－y

16、＋11＝0.類比以上方法，在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(1,2,3)且法向量為m＝(－1，－2,1)的平面(點(diǎn)法式)方程為________________． [解析]　由題意可設(shè)Q(x，y，z)為所求平面內(nèi)的任一點(diǎn)，則根據(jù)⊥m，得·m＝0，所以(－1)×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0，化簡(jiǎn)得x＋2y－z－2＝0.故所求平面方程為x＋2y－z－2＝0. [答案]　x＋2y－z－2＝0 本題求解的關(guān)鍵是具體探究所給解題過(guò)程：設(shè)P(x，y)為所求直線上的任一點(diǎn)，則根據(jù)⊥n，得·n＝0，所以4×(x＋2)＋(－1)×(y－3)＝0，化簡(jiǎn)得4x－y＋11＝0.類比此解題過(guò)

17、程，即可輕松解決目標(biāo)問(wèn)題． [活學(xué)活用4] (1)“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”說(shuō)明同一事物從不同角度看，我們會(huì)有不同的認(rèn)識(shí)．在數(shù)學(xué)解題活動(dòng)中，倘若能恰當(dāng)?shù)馗淖兎治鰡?wèn)題的角度，往往會(huì)有“山重水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村”之感．請(qǐng)閱讀以下問(wèn)題及其解答： 問(wèn)題：對(duì)任意a∈[－1,1]，不等式x2＋ax－2≤0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍． 解析：令f(a)＝xa＋(x2－2)，則對(duì)任意的a∈[－1,1]，不等式x2＋ax－2≤0恒成立，等價(jià)于解得－1≤x≤1.故實(shí)數(shù)x的取值范圍是[－1,1]． (2)類比上述解法，可得關(guān)于x的方程2x3－ax2－8x－(a2＋4a)＝0(a＜1)的根為_

18、___________． 解析：因?yàn)?x3－ax2－8x－(a2＋4a)＝0，所以a2＋(x2＋4)a－2(x3－4x)＝0，所以[a－2(x－2)][a＋(x2＋2x)]＝0，解得a＝2(x－2)或a＝－x2－2x，故所求方程的根為x1＝2＋，x2＝－1＋，x3＝－1－. 答案：－1－ 　　　設(shè)置“新考查方向” “新考查方向”試題是指試題考查的方式、方法與常規(guī)試題不同，此類試題設(shè)計(jì)新穎，注意對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法的有效整合，側(cè)重考查考生的綜合運(yùn)用能力．此類型問(wèn)題的設(shè)置充分體現(xiàn)了考綱要求．“以能力立意”，側(cè)重體現(xiàn)對(duì)知識(shí)的理解和應(yīng)用，尤其是綜合和靈活的應(yīng)用，以此來(lái)檢測(cè)考生將知識(shí)遷移到不同情

19、境中去的能力，從而檢測(cè)出考生的理性思維的廣度和深度以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能． [例5]　 我市某高中從高三年級(jí)甲、乙兩個(gè)班中各選出7名學(xué)生參加全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(河南預(yù)賽)，他們?nèi)〉玫某煽?jī)(滿分140分)的莖葉圖如圖所示，其中甲班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是81，乙班學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)是86.若正實(shí)數(shù)a，b滿足a，G，b成等差數(shù)列且x，G，y成等比數(shù)列，則＋的最小值為(　　) A. B．2 C. D．9 解析：C　[由題意及莖葉圖可知80＋x＝81，＝86，則x＝1，y＝4.因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a，b滿足a，G，b成等差數(shù)列且x，G，y成等比數(shù)列，所以2G＝a＋b，G2＝xy＝4，所以a＋b＝4，所以＋

20、＝·＝＋＋≥＋2 ＝，當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a＝時(shí)取等號(hào)．故選C.] 本題以統(tǒng)計(jì)、數(shù)列知識(shí)為背景，考查基本不等式的運(yùn)用，設(shè)計(jì)新穎，綜合性強(qiáng)，體現(xiàn)了在知識(shí)交匯處命題的特點(diǎn)．根據(jù)樣本的數(shù)字特征及莖葉圖求得x，y的值，并利用等差、等比中項(xiàng)建立關(guān)于a，b的等量關(guān)系，即可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的基本不等式求最值問(wèn)題． [活學(xué)活用5] (2017·全國(guó)卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上．若＝λ＋μ，則λ＋μ 的最大值為(　　) A．3 B．2 C. D．2 解析：A　[如圖，建立平面直角坐標(biāo)系 則A(0,1)，B(0,0)，D(2,1)，C(2,0)，設(shè)P(x，y) 根據(jù)等面積公式可得圓的半徑r是，即圓的方程是(x－2)2＋y2＝ ＝(x，y－1)，＝(0，－1)，＝(2,0)，若滿足＝λ＋μ， 即，μ＝，λ＝1－y，所以λ＋μ＝－y＋1，設(shè)z＝－y＋1，即－y＋1－z＝0，點(diǎn)P(x，y)在圓(x－2)2＋y2＝上，所以圓心到直線的距離d≤r，即≤，解得1≤z≤3，所以z的最大值是3，即λ＋μ的最大值是3，故選A.] - 7 -