2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理(VII)

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1、2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理(VII) 注意事項(xiàng)： 1．本試卷分為第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分．第Ⅰ卷為選擇題，第Ⅱ卷為非選擇題，考試時(shí)間為120分鐘， 滿分150分． 2．把選擇題選出的答案標(biāo)號(hào)涂在答題卡上． 3．第Ⅱ卷用黑色簽字筆在答題紙規(guī)定的位置作答，否則不予評(píng)分． 一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1、已知全集，，則（ ） A． B． C． D． 2、若為實(shí)數(shù)，且，則a=( ) A． 一4

2、B． 一3 C． 3 D． 4 3、下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（ ） ①若是的必要而不充分條件,則是的充分而不必要條件； ②命題“對(duì)任意,都有”的否定為“存在,使得”； ③若p∧q為假命題，則p與q均為假命題； ④命題“若x2—4x+3=0，則x=3”的逆否命題是“若x≠3，則x2－4x+3≠0” A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè) 4、把函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再將圖象向右平移個(gè)單位，那么所得圖象的一條對(duì)稱軸方程為（ ） A． B

3、． C． D． 5、已知函數(shù)，其中，則的展開式中的系數(shù)為（ ） A. 120 B. C. 60 D . 0 6、已知變量滿足約束條件，則的最大值為（ ） （A） （B） （C） （D） 7、若，，則的值為（ ） A． B． C． D． 8、在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，若，，， 則的值為（ ） A. B. C． D． 9、如圖，設(shè)E，F(xiàn)分別是Rt△ABC的斜邊B

4、C上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，已知AB＝3，AC＝6，則·＝(　　) A．8 B．10 C．11 D．12 10、已知函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的任意都有，且當(dāng)時(shí)，其導(dǎo)數(shù)滿足，若，則（ ） 第Ⅱ卷 非選擇題（共100分） 二．填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分． 11、已知函數(shù)，則= . 12、若存在，使不等式成立，則實(shí)數(shù)的最小值為 ． 13、已知與的夾角為，若，且，則在方向上的正射影的數(shù)量為 . 14、已知向量==,若，則的最小值為 . 15、

5、已知函數(shù)的圖像經(jīng)過四個(gè)象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 . 三．解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 16、（本題滿分12分）已知，，，（） （1）求函數(shù)的值域； （2）設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，，求的值． 17、（本題滿分12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60° （I）求證：PB⊥AD； （II）若PB=，求二面角A—PD—C的余弦值。 18、（本題滿分12分）某旅游景點(diǎn)預(yù)計(jì)xx年1月份起前x個(gè)月的旅游人數(shù)的和p(x)(

6、單位：萬人)與x的關(guān)系近似地滿足p(x)＝x(x＋1)(39－2x)(x∈N*，且x≤12)．已知第x個(gè)月的人均消費(fèi)額q(x)(單位：元)與x的近似關(guān)系是q(x)＝ (1)寫出xx年第x個(gè)月的旅游人數(shù)f(x)(單位：人)與x的函數(shù)關(guān)系式； (2)試問xx年第幾個(gè)月旅游消費(fèi)總額最大？最大月旅游消費(fèi)總額為多少元？ 19、（本題滿分12分）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.數(shù)列的前項(xiàng)和為，且. （1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 20、（本題滿分13分）已知橢圓過點(diǎn)（0，1），其長(zhǎng)軸、焦距和短軸的長(zhǎng)的平方依次成等差數(shù)列.直線軸正半軸和y軸分別交于Q、P，與橢圓分別交于

7、點(diǎn)M、N，各點(diǎn)均不重合且滿足. （I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （II）若，試證明：直線過定點(diǎn)并求此定點(diǎn). 21、（本小題滿分14分） 已知函數(shù)。 （1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性； （3）若函數(shù)的圖象上存在一點(diǎn)，使得以為切點(diǎn)的切線將其圖象分割為兩部分，且分別位于切線的兩側(cè)（點(diǎn)P除外），則稱為函數(shù)的“轉(zhuǎn)點(diǎn)”，問函數(shù)是否存在這樣的一個(gè)“轉(zhuǎn)點(diǎn)”，若存在，求出這個(gè)“轉(zhuǎn)點(diǎn)”，若不存在，說明理由。 xx第一學(xué)期期中考試答案 DDCDA BAADBC 11、 12、 13、 14、6 15、

8、 三．解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 16、（本題滿分12分） 已知，，，（） （1）求函數(shù)的值域； （2）設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，，求的值． 解： ……………………………2分 ，，，從而有， 所以函數(shù)的值域?yàn)椋? ……………………………4分 （2）由得，又因?yàn)?，所以? 從而，即． ……………………………6分 因?yàn)?，所以由正弦定理得? 故或 當(dāng)時(shí)，，從而

9、 當(dāng)時(shí)，，又，從而 綜上的值為1或2. ……………………………10分 （用余弦定理類似給分）。 17、（本題滿分12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60° （I）求證：PB⊥AD； （II）若PB=，求二面角A—PD—C的余弦值。 (Ⅰ)證明：取AD的中點(diǎn)E，連接PE，BE，BD． ∵PA＝PD＝DA，四邊形ABCD為菱形，且∠BAD＝60°，∴△PAD和△ABD為兩個(gè)全等的等邊三角形， 則PE⊥AD， BE⊥AD，∴AD⊥平面PBE，

10、 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 又PB平面PBE，∴PB⊥AD； ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 (Ⅱ)解：在△PBE中，由已知得，PE＝BE＝，PB＝，則PB2＝PE2＋BE2， ∴∠PEB＝90°，即PE⊥BE，又PE⊥AD，∴PE⊥平面ABCD； A B C D P E. z x y 以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以EA，EB，EP所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則E(0,0,0)， C(－2,,0)，D(－1,0,0)，P(0,0,)， 則＝(1,0,)，＝(－1,,0

11、)， 由題意可設(shè)平面APD的一個(gè)法向量為m＝(0,1,0)；．．．．．．．．．．．．．．．．7分 設(shè)平面PDC的一個(gè)法向量為n＝(x,y,z)， 由 得：令y＝1，則x＝，z＝－1，∴n＝(,1,－1)； 則m·n＝1，∴cos＝＝＝， ．．．．．．．．．．．．．11分 由題意知二面角A－PD－C的平面角為鈍角，所以，二面角A－PD－C的余弦值為－．．．．．．．．12分 18、（本題滿分12分）某旅游景點(diǎn)預(yù)計(jì)xx年1月份起前x個(gè)月的旅游人數(shù)的和p(x)(單位：萬人)與x的關(guān)系近似地滿足p(x)＝x(x＋1)(39－

12、2x)(x∈N*，且x≤12)．已知第x個(gè)月的人均消費(fèi)額q(x)(單位：元)與x的近似關(guān)系是q(x)＝ (1)寫出xx年第x個(gè)月的旅游人數(shù)f(x)(單位：人)與x的函數(shù)關(guān)系式； (2)試問xx年第幾個(gè)月旅游消費(fèi)總額最大？最大月旅游消費(fèi)總額為多少元？ (1)當(dāng)x＝1時(shí)，f(1)＝p(1)＝37， 當(dāng)2≤x≤12，且x∈N*時(shí)， f(x)＝p(x)－p(x－1)＝x(x＋1)(39－2x)－(x－1)x(41－2x)＝－3x2＋40x， 驗(yàn)證x＝1也滿足此式， 所以f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12)． (2)第x個(gè)月旅游消費(fèi)總額為 g(x)＝ 即g(x)＝

13、 ①當(dāng)1≤x≤6，且x∈N*時(shí)， g′(x)＝18x2－370x＋1 400，令g′(x)＝0， 解得x＝5或x＝(舍去)． 當(dāng)1≤x<5時(shí)，g′(x)>0， 當(dāng)5

14、設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【解析】（1）由題意，，得，.…………3分 ，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，， 得，所以的通項(xiàng)公式為.………………7分 （2）， 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， ；………………10分 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，（法一）為偶數(shù)， （法二） 所以，………………14分 20、（本題滿分13分）已知橢圓過點(diǎn)（0，1），其長(zhǎng)軸、焦距和短軸的長(zhǎng)的平方依次成等差數(shù)列.直線軸正半軸和y軸分別交于Q、P，與橢圓分別交于點(diǎn)M、N，各點(diǎn)均不重合且滿足. （I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （II）若，試證明：直線過定點(diǎn)并求此定點(diǎn). 21、（本小題滿分14分） 已知函數(shù)。 （1）當(dāng)時(shí)，求

15、曲線在點(diǎn)處的切線方程； （2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性； （3）若函數(shù)的圖象上存在一點(diǎn)，使得以為切點(diǎn)的切線將其圖象分割為兩部分，且分別位于切線的兩側(cè)（點(diǎn)P除外），則稱為函數(shù)的“轉(zhuǎn)點(diǎn)”，問函數(shù)是否存在這樣的一個(gè)“轉(zhuǎn)點(diǎn)”，若存在，求出這個(gè)“轉(zhuǎn)點(diǎn)”，若不存在，說明理由。 【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，………………1分 由此得點(diǎn)處切線的斜率，……………………………………………2分 所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.…………3分 （2）對(duì)求導(dǎo)，得……………………4分①當(dāng)時(shí)，， 在上遞增，在上遞減； ……5分 ②當(dāng)時(shí)，設(shè)，?因?yàn)?，則 i）當(dāng)時(shí)，，所以，于是在上單調(diào)遞增；……

16、6分 ii）當(dāng)時(shí)，，方程的兩根為 ， 易知，則， 所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；………………7分 綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減； 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞減 ………………8分 8. ，設(shè)， 則在點(diǎn)處的切線方程為.………9分 令，則. .…………………………………10分 ①當(dāng)時(shí)，，有；，有. 所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，于是， 故都在切線的同側(cè)，此時(shí)不存在“轉(zhuǎn)點(diǎn)”.……………………………………11分 ②當(dāng)時(shí)，取，即. , 所以在上單調(diào)遞增.…………………………………………………………12分 又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 于是的圖象在切線的兩側(cè)，所以為函數(shù)的一個(gè)“轉(zhuǎn)點(diǎn)”.…13分 綜上所述：當(dāng)時(shí)，存在是函數(shù)的一個(gè)“轉(zhuǎn)點(diǎn)”； 當(dāng)時(shí)，不存在“轉(zhuǎn)點(diǎn)” . …………………14分