2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 文
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1、2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 文 一、選擇題:(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.) 1.若全集U={1,2,3,4,5,6},M={1,4},N={2,3},則集合(?UM)∩N等于( ) A.{2,3} B.{2,3,5,6} C.{1,4} D.{1,4,5,6} 2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足(1﹣i)z=2i,則z=( ) A.﹣1+i B.﹣1﹣i C.1+i D.1﹣i 3.“x<0”是“l(fā)n(x+1)<0”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既
2、不充分也不必要條件 4.在△ABC中,,AC=1,∠B=30°,△ABC的面積為,則∠C=( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 5.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a1=1,公差d=2,Sn+2﹣Sn=36,則n=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 6.若某幾何體的三視圖如圖所示,則此幾何體的直觀圖是( ) A. B. C. D. 7.已知x,y滿(mǎn)足約束條件,則z=2x+y的最大值為( ) A.3 B.﹣3 C.1 D. 8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的k的值為( ) A.4 B.5
3、C.6 D.7 9.已知函數(shù),若,則f(﹣a)=( ) A. B. C. D. 10.在△ABC中,若|+|=|﹣|,AB=2,AC=1,E,F(xiàn)為BC邊的三等分點(diǎn),則?=( ) A. B. C. D. 11.函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=2sinπx(﹣2≤x≤4)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于( ) A.2 B.4 C.6 D.8 12.定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足:f(x)+f′(x)>1,f(0)=4,則不等式exf(x)>ex+3(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的解集為( ) A.(0,+∞) B.(﹣∞,0)∪(3,+∞) C.(﹣∞,0)
4、∪(0,+∞) D.(3,+∞) 二、填空題:(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在答題紙上.) 13.已知,,則sinα+cosα=__________. 14.已知{an}是等比數(shù)列,,則a1a2+a2a3+…+anan+1=__________. 15.若直線l:(a>0,b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2)則直線l在x軸和y軸的截距之和的最小值是__________ 16.已知四面體P﹣ABC的外接球的球心O在AB上,且PO⊥平面ABC,2AC=AB,若四面體P﹣ABC的體積為,則該球的體積為_(kāi)_________. 三、解答題:(解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步
5、驟,解答過(guò)程書(shū)寫(xiě)在答題紙的對(duì)應(yīng)位置.) 17.(12分)已知函數(shù)f(x)=sin2x+sinxcosx. (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間; (Ⅱ)當(dāng)x∈[0,]時(shí),求函數(shù)f(x)的值域. 18.(12分)等比數(shù)列{an}的前n 項(xiàng)和為Sn,已知S1,S3,S2成等差數(shù)列 (Ⅰ)求{an}的公比q; (Ⅱ)若a1﹣a3=3,bn=nan.求數(shù)列{bn}的前n 項(xiàng)和Tn. 19.(12分)已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,,且c=3. (Ⅰ)求角C; (Ⅱ)若向量與共線,求a、b的值. 20..(12分)如圖1,在直角梯
6、形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AD=CD=AB=2,點(diǎn)E為AC中點(diǎn).將△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到幾何體D﹣ABC,如圖所示. (Ⅰ)在CD上找一點(diǎn)F,使AD∥平面EFB; (Ⅱ)求點(diǎn)C到平面ABD的距離. 21.(12分)已知函數(shù)f(x)=alnx(a>0),e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù). (Ⅰ)若過(guò)點(diǎn)A(2,f(2))的切線斜率為2,求實(shí)數(shù)a的值; (Ⅱ)當(dāng)x>0時(shí),求證:f(x)≥a(1﹣); (Ⅲ)在區(qū)間(1,e)上>1恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 選修4-1:幾何證明選講 22.(10分)如圖,已知AB是圓O的直徑,C、D是圓O上
7、的兩個(gè)點(diǎn),CE⊥AB于E,BD交AC于G,交CE于F,CF=FG. (Ⅰ)求證:C是劣弧BD的中點(diǎn); (Ⅱ)求證:BF=FG. 選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 23.(10分)已知直線l:(t為參數(shù)),曲線C1:(θ為參數(shù)). (Ⅰ)設(shè)l與C1相交于A,B兩點(diǎn),求|AB|; (Ⅱ)若把曲線C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的倍,縱坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的倍,得到曲線C2,設(shè)點(diǎn)P是曲線C2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求它到直線l的距離的最小值. 選修4-5:不等式選講 24.(10分)設(shè)函數(shù)f(x)=|2x+1|﹣|x﹣4|. (Ⅰ)解不等式f(x)>0; (Ⅱ)若f(x)+3|x﹣
8、4|>m對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立,求m的取值范圍. 一、選擇題:(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.) 1.若全集U={1,2,3,4,5,6},M={1,4},N={2,3},則集合(?UM)∩N等于( ) A.{2,3} B.{2,3,5,6} C.{1,4} D.{1,4,5,6} 考點(diǎn):交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算. 專(zhuān)題:集合. 分析:根據(jù)集合的基本運(yùn)算即可得到結(jié)論. 解答: 解:由補(bǔ)集的定義可得?UN={2,3,5}, 則(?UN)∩M={2,3}, 故選:A
9、 點(diǎn)評(píng):本題主要考查集合的基本運(yùn)算,比較基礎(chǔ). 2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足(1﹣i)z=2i,則z=( ) A.﹣1+i B.﹣1﹣i C.1+i D.1﹣i 考點(diǎn):復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算. 專(zhuān)題:計(jì)算題. 分析:根據(jù)所給的等式兩邊同時(shí)除以1﹣i,得到z的表示式,進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,分子和分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù),整理成最簡(jiǎn)形式,得到結(jié)果. 解答: 解:∵復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z(1﹣i)=2i, ∴z==﹣1+i 故選A. 點(diǎn)評(píng):本題考查代數(shù)形式的除法運(yùn)算,是一個(gè)基礎(chǔ)題,這種題目若出現(xiàn)一定是一個(gè)送分題目,注意數(shù)字的運(yùn)算. 3.“x<0”是“l(fā)n(x+1)<0”的(
10、 ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 考點(diǎn):充要條件. 專(zhuān)題:計(jì)算題;簡(jiǎn)易邏輯. 分析:根據(jù)不等式的性質(zhì),利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論. 解答: 解:∵x<0,∴x+1<1,當(dāng)x+1>0時(shí),ln(x+1)<0; ∵ln(x+1)<0,∴0<x+1<1,∴﹣1<x<0,∴x<0, ∴“x<0”是ln(x+1)<0的必要不充分條件. 故選:B. 點(diǎn)評(píng):本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,根據(jù)不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵,比較基礎(chǔ). 4.在△ABC中,,AC=1,∠B=30°,△ABC的面積為
11、,則∠C=( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 考點(diǎn):三角形的面積公式. 專(zhuān)題:解三角形. 分析:利用正弦定理,求出C,從而可求A,利用△ABC的面積確定C的大小,即可得出結(jié)論. 解答: 解:∵△ABC中,B=30°,AC=1,AB=,由正弦定理可得: =, ∴sinC=, ∴C=60°或120°, C=60°時(shí),A=90°;C=120°時(shí)A=30°, 當(dāng)A=90°時(shí),∴△ABC的面積為?AB?AC?sinA=, 當(dāng)A=30°時(shí),∴△ABC的面積為?AB?AC?sinA=,不滿(mǎn)足題意, 則C=60°. 故選:C. 點(diǎn)評(píng):本題考查正弦定
12、理的運(yùn)用,考查三角形面積的計(jì)算,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題. 5.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a1=1,公差d=2,Sn+2﹣Sn=36,則n=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 考點(diǎn):等差數(shù)列的性質(zhì). 專(zhuān)題:等差數(shù)列與等比數(shù)列. 分析:由Sn+2﹣Sn=36,得an+1+an+2=36,代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解n. 解答: 解:由Sn+2﹣Sn=36,得:an+1+an+2=36, 即a1+nd+a1+(n+1)d=36, 又a1=1,d=2, ∴2+2n+2(n+1)=36. 解得:n=8. 故選:D. 點(diǎn)評(píng):本題考查了等差數(shù)列
13、的性質(zhì),考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,是基礎(chǔ)題. 6.若某幾何體的三視圖如圖所示,則此幾何體的直觀圖是( ) A. B. C. D. 考點(diǎn):平面圖形的直觀圖. 專(zhuān)題:空間位置關(guān)系與距離. 分析:逐一分析四個(gè)答案中幾何體的三視圖,比照已知中的三視圖,可得答案. 解答: 解:A中,的三視圖為:,滿(mǎn)足條件; B中,的側(cè)視圖為:,與已知中三視圖不符,不滿(mǎn)足條件; C中,的側(cè)視圖和俯視圖為:,與已知中三視圖不符,不滿(mǎn)足條件; D中,的三視圖為:,與已知中三視圖不符,不滿(mǎn)足條件; 故選:A 點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三視圖的畫(huà)法,能根據(jù)已知中的直觀圖,畫(huà)出幾何體的三
14、視圖是解答的關(guān)鍵. 7.已知x,y滿(mǎn)足約束條件,則z=2x+y的最大值為( ) A.3 B.﹣3 C.1 D. 考點(diǎn):簡(jiǎn)單線性規(guī)劃. 專(zhuān)題:計(jì)算題. 分析:先根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域,再利用幾何意義求最值,z=2x+y表示直線在y軸上的截距,只需求出可行域直線在y軸上的截距最大值即可. 解答: 解:作圖 易知可行域?yàn)橐粋€(gè)三角形, 當(dāng)直線z=2x+y過(guò)點(diǎn)A(2,﹣1)時(shí),z最大是3, 故選A. 點(diǎn)評(píng):本小題是考查線性規(guī)劃問(wèn)題,本題主要考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃,以及利用幾何意義求最值,屬于基礎(chǔ)題. 8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的k的值為( )
15、 A.4 B.5 C.6 D.7 考點(diǎn):程序框圖. 專(zhuān)題:計(jì)算題;規(guī)律型;算法和程序框圖. 分析:分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用,再根據(jù)流程圖所示的順序,可知:該程序的作用是輸出輸出不滿(mǎn)足條件S=0+1+2+8+…<100時(shí),k+1的值. 解答: 解:分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用, 再根據(jù)流程圖所示的順序, 可知:該程序的作用是: 輸出不滿(mǎn)足條件S=0+1+2+8+…<100時(shí),k+1的值. 第一次運(yùn)行:滿(mǎn)足條件,s=1,k=1; 第二次運(yùn)行:滿(mǎn)足條件,s=3,k=2; 第三次運(yùn)行:滿(mǎn)足條件,s=11<100,k=3;滿(mǎn)足判斷框的條件,繼續(xù)運(yùn)行, 第四次運(yùn)行
16、:s=1+2+8+211>100,k=4,不滿(mǎn)足判斷框的條件,退出循環(huán). 故最后輸出k的值為4. 故選:A. 點(diǎn)評(píng):本題考查根據(jù)流程圖(或偽代碼)輸出程序的運(yùn)行結(jié)果.這是算法這一模塊最重要的題型,其處理方法是::①分析流程圖(或偽代碼),從流程圖(或偽代碼)中即要分析出計(jì)算的類(lèi)型,又要分析出參與計(jì)算的數(shù)據(jù)(如果參與運(yùn)算的數(shù)據(jù)比較多,也可使用表格對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析管理)?②建立數(shù)學(xué)模型,根據(jù)第一步分析的結(jié)果,選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型③解模. 9.已知函數(shù),若,則f(﹣a)=( ) A. B. C. D. 考點(diǎn):函數(shù)的值. 專(zhuān)題:計(jì)算題. 分析:利用f(x)=1+,f(x
17、)+f(﹣x)=2即可求得答案. 解答: 解:∵f(x)==1+, ∴f(﹣x)=1﹣, ∴f(x)+f(﹣x)=2; ∵f(a)=, ∴f(﹣a)=2﹣f(a)=2﹣=. 故選C. 點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的值,求得f(x)+f(﹣x)=2是關(guān)鍵,屬于中檔題. 10.在△ABC中,若|+|=|﹣|,AB=2,AC=1,E,F(xiàn)為BC邊的三等分點(diǎn),則?=( ) A. B. C. D. 考點(diǎn):平面向量數(shù)量積的運(yùn)算. 專(zhuān)題:計(jì)算題;平面向量及應(yīng)用. 分析:運(yùn)用向量的平方即為模的平方,可得=0,再由向量的三角形法則,以及向量共線的知識(shí),化簡(jiǎn)即可得到所求. 解答:
18、解:若|+|=|﹣|, 則=, 即有=0, E,F(xiàn)為BC邊的三等分點(diǎn), 則=(+)?(+)=()?() =(+)?(+) =++=×(1+4)+0=. 故選B. 點(diǎn)評(píng):本題考查平面向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì),考查向量的平方即為模的平方,考查向量共線的定理,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題. 11.函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=2sinπx(﹣2≤x≤4)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于( ) A.2 B.4 C.6 D.8 考點(diǎn):奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性;三角函數(shù)的周期性及其求法;正弦函數(shù)的圖象. 專(zhuān)題:壓軸題;數(shù)形結(jié)合. 分析:的圖象由奇函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位而得,
19、所以它的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱(chēng),再由正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心公式,可得函數(shù)y2=2sinπx的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心也是點(diǎn)(1,0),故交點(diǎn)個(gè)數(shù)為偶數(shù),且每一對(duì)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2.由此不難得到正確答案. 解答: 解:函數(shù),y2=2sinπx的圖象有公共的對(duì)稱(chēng)中心(1,0),作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖 當(dāng)1<x≤4時(shí),y1<0 而函數(shù)y2在(1,4)上出現(xiàn)1.5個(gè)周期的圖象, 在和上是減函數(shù); 在和上是增函數(shù). ∴函數(shù)y1在(1,4)上函數(shù)值為負(fù)數(shù),且與y2的圖象有四個(gè)交點(diǎn)E、F、G、H 相應(yīng)地,y1在(﹣2,1)上函數(shù)值為正數(shù),且與y2的圖象有四個(gè)交點(diǎn)A、B、C、D 且:xA+xH
20、=xB+xG═xC+xF=xD+xE=2,故所求的橫坐標(biāo)之和為8 故選D 點(diǎn)評(píng):發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圖象公共的對(duì)稱(chēng)中心是解決本題的入口,討論函數(shù)y2=2sinπx的單調(diào)性找出區(qū)間(1,4)上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是本題的難點(diǎn)所在. 12.定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足:f(x)+f′(x)>1,f(0)=4,則不等式exf(x)>ex+3(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的解集為( ) A.(0,+∞) B.(﹣∞,0)∪(3,+∞) C.(﹣∞,0)∪(0,+∞) D.(3,+∞) 考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算. 專(zhuān)題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用. 分析:構(gòu)造函數(shù)g(x)=exf(x)﹣
21、ex,(x∈R),研究g(x)的單調(diào)性,結(jié)合原函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)值,即可求解 解答: 解:設(shè)g(x)=exf(x)﹣ex,(x∈R), 則g′(x)=exf(x)+exf′(x)﹣ex=ex[f(x)+f′(x)﹣1], ∵f(x)+f′(x)>1, ∴f(x)+f′(x)﹣1>0, ∴g′(x)>0, ∴y=g(x)在定義域上單調(diào)遞增, ∵exf(x)>ex+3, ∴g(x)>3, 又∵g(0)═e0f(0)﹣e0=4﹣1=3, ∴g(x)>g(0), ∴x>0 故選:A. 點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合,結(jié)合已知條件構(gòu)造函數(shù),然后用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解題
22、的關(guān)鍵. 二、填空題:(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在答題紙上.) 13.已知,,則sinα+cosα=. 考點(diǎn):三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值. 專(zhuān)題:計(jì)算題. 分析:通過(guò)已知求出tanα,利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,結(jié)合角的范圍,求出sinα,cosα的值即可. 解答: 解:∵ ∴ 解得tanα=, ∵, ∵sin2α+cos2α=1…① tanα=,…② 解①②得sinα=,cosα=﹣ ∴sinα+cosα==﹣. 故答案為:﹣. 點(diǎn)評(píng):本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用,注意角的范圍,考查計(jì)算能力 14.已知{an}是
23、等比數(shù)列,,則a1a2+a2a3+…+anan+1=. 考點(diǎn):數(shù)列的求和;等比數(shù)列的通項(xiàng)公式. 專(zhuān)題:計(jì)算題. 分析:首先根據(jù)a2和a5求出公比q,根據(jù)數(shù)列{anan+1}每項(xiàng)的特點(diǎn)發(fā)現(xiàn)仍是等比數(shù)列,根據(jù)等比數(shù)列求和公式可得出答案. 解答: 解:由 ,解得 . 數(shù)列{anan+1}仍是等比數(shù)列:其首項(xiàng)是a1a2=8,公比為, 所以, 故答案為. 點(diǎn)評(píng):本題主要考查等比數(shù)列通項(xiàng)的性質(zhì)和求和公式的應(yīng)用.應(yīng)善于從題設(shè)條件中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,充分挖掘有效信息. 15.若直線l:(a>0,b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2)則直線l在x軸和y軸的截距之和的最小值是3+2. 考點(diǎn):直線的截距式
24、方程. 專(zhuān)題:直線與圓. 分析:把點(diǎn)(1,1)代入直線方程,得到=1,然后利用a+b=(a+b)(),展開(kāi)后利用基本不等式求最值. 解答: 解:∵直線l:(a>0,b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2) ∴=1, ∴a+b=(a+b)()=3+≥3+2,當(dāng)且僅當(dāng)b=a時(shí)上式等號(hào)成立. ∴直線在x軸,y軸上的截距之和的最小值為3+2. 故答案為:3+2. 點(diǎn)評(píng):本題考查了直線的截距式方程,考查利用基本不等式求最值,是中檔題. 16.已知四面體P﹣ABC的外接球的球心O在AB上,且PO⊥平面ABC,2AC=AB,若四面體P﹣ABC的體積為,則該球的體積為 考點(diǎn):棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積.
25、 專(zhuān)題:計(jì)算題;空間位置關(guān)系與距離. 分析:設(shè)該球的半徑為R,則AB=2R,2AC=AB=,故AC=R,由于AB是球的直徑,所以△ABC在大圓所在平面內(nèi)且有AC⊥BC,由此能求出球的體積. 解答: 解:設(shè)該球的半徑為R, 則AB=2R,2AC=AB=, ∴AC=R, 由于AB是球的直徑, 所以△ABC在大圓所在平面內(nèi)且有AC⊥BC, 在Rt△ABC中,由勾股定理,得: BC2=AB2﹣AC2=R2, 所以Rt△ABC面積S=×BC×AC=, 又PO⊥平面ABC,且PO=R,四面體P﹣ABC的體積為, ∴VP﹣ABC==, 即R3=9,R3=3, 所以:球的體積V球=
26、×πR3=×π×3=4π. 故選D. 點(diǎn)評(píng):本題考查四面體的外接球的體積的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意合理地化空間問(wèn)題為平面問(wèn)題. 三、解答題:(解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟,解答過(guò)程書(shū)寫(xiě)在答題紙的對(duì)應(yīng)位置.) 17.已知函數(shù)f(x)=sin2x+sinxcosx. (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間; (Ⅱ)當(dāng)x∈[0,]時(shí),求函數(shù)f(x)的值域. 考點(diǎn):三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用;正弦函數(shù)的圖象. 專(zhuān)題:三角函數(shù)的求值;三角函數(shù)的圖像與性質(zhì). 分析:(I)先化簡(jiǎn)求得解析式f(x)=sin(2x﹣)+,從而可求函數(shù)f(x)的最小正周期和
27、單調(diào)遞增區(qū)間; (Ⅱ)先求2x﹣的范圍,可得sin(2x﹣)的范圍,從而可求函數(shù)f(x)的值域. 解答: 解:(I)f(x)=sin2x+sinxcosx=+sin2x … =sin(2x﹣)+.… 函數(shù)f(x)的最小正周期為T(mén)=π.… 因?yàn)椹?2kπ≤2x﹣≤+2kπ,解得﹣+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[﹣+kπ,+kπ],k∈Z,.… (Ⅱ)當(dāng)x∈[0,]時(shí),2x﹣∈[﹣,] sin(2x﹣)∈[﹣,1],… 所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)閒(x)∈[0,1+].… 點(diǎn)評(píng):本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),屬
28、于基本知識(shí)的考查. 18.等比數(shù)列{an}的前n 項(xiàng)和為Sn,已知S1,S3,S2成等差數(shù)列 (1)求{an}的公比q; (2)若a1﹣a3=3,bn=nan.求數(shù)列{bn}的前n 項(xiàng)和Tn. 考點(diǎn):數(shù)列的求和;等比數(shù)列的通項(xiàng)公式. 專(zhuān)題:等差數(shù)列與等比數(shù)列. 分析:(I)分類(lèi)討論利用等差等比是列的定義公式得出當(dāng)q=1時(shí),S1=a1,S3=3a1,S2=2a1,不是等差數(shù)列,當(dāng)q≠1時(shí),化簡(jiǎn)得出:2q2﹣q﹣1=0,求解即可. (II)運(yùn)用得出數(shù)列,等比數(shù)列的性質(zhì)得出bn=nan.a(chǎn)n=n﹣1,再利用錯(cuò)位相減求和即可. 解答: 解:(Ⅰ)∵等比數(shù)列{an}的前n 項(xiàng)和
29、為Sn, ∴當(dāng)q=1時(shí),S1=a1,S3=3a1,S2=2a1,不是等差數(shù)列, 當(dāng)q≠1時(shí),Sn=, ∵S1,S3,S2成等差數(shù)列 ∴2S3=S1+S2, 化簡(jiǎn)得出:2q2﹣q﹣1=0, 解得:, (Ⅱ)∵a1﹣a3=3,∴a1﹣a1=3,a1=4∵bn=nan.a(chǎn)n=n﹣1∴bn=nan=4n×()n﹣1∴Tn=4 ﹣Tn=4錯(cuò)位相減得出Tn=4n Tn=4, Tn=×(1﹣(﹣)n)n(﹣)n Tn=(﹣)nn(﹣)n 點(diǎn)評(píng):本題考查了等比等差數(shù)列的性質(zhì),錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的和,考查了學(xué)生的計(jì)算化簡(jiǎn)能力,屬于中檔題. 19已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別
30、為a、b、c,,且c=3. (1)求角C; (2)若向量與共線,求a、b的值. 考點(diǎn):余弦定理;三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值;正弦定理. 專(zhuān)題:計(jì)算題. 分析:(1)利用二倍角公式及輔助角公式對(duì)已知化簡(jiǎn)可得sin(2C﹣30°)=1,結(jié)合C的范圍可求C (2)由(1)C,可得A+B,結(jié)合向量共線的坐標(biāo)表示可得sinB﹣2sinA=0,利用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)可求 解答: 解:(1)∵, ∴ ∴sin(2C﹣30°)=1 ∵0°<C<180° ∴C=60° (2)由(1)可得A+B=120° ∵與共線, ∴sinB﹣2sinA=0 ∴sin(120°﹣A)=2
31、sinA 整理可得,即tanA= ∴A=30°,B=90° ∵c=3. ∴a=,b=2 點(diǎn)評(píng):本題主要考查了二倍角公式、輔助角公式及兩角和的正弦公式、銳角三角函數(shù)的綜合應(yīng)用 20.如圖1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AD=CD=AB=2,點(diǎn)E為AC中點(diǎn).將△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到幾何體D﹣ABC,如圖2所示. (1)在CD上找一點(diǎn)F,使AD∥平面EFB; (2)求點(diǎn)C到平面ABD的距離. 考點(diǎn):點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算;直線與平面平行的判定. 專(zhuān)題:空間位置關(guān)系與距離. 分析:(1)取CD的中點(diǎn)F,連結(jié)EF,B
32、F,在△ACD中,可證AD∥EF,又EF?平面EFB AD?平面EFB,可證AD∥平面EFB. (2)設(shè)點(diǎn)C到平面ABD的距離為h,由于可證AD⊥BD,可得,又三棱錐B﹣ACD的高BC=2,S△ACD=2,由=即可解得點(diǎn)C到平面ABD的距離. 解答: (1)取CD的中點(diǎn)F,連結(jié)EF,BF, 在△ACD中,∵E,F(xiàn)分別為AC,DC的中點(diǎn), ∴EF為△ACD的中位線 ∴AD∥EF, EF?平面EFB,AD?平面EFB ∴AD∥平面EFB. (2)設(shè)點(diǎn)C到平面ABD的距離為h, ∵平面ADC⊥平面ABC,且BC⊥AC, ∴BC⊥平面ADC, ∴BC⊥AD,而AD⊥DC?
33、∴AD⊥平面BCD,即AD⊥BD? ∴? ∴三棱錐B﹣ACD的高BC=2,S△ACD=2, ∴= ∴可解得:h=2. 點(diǎn)評(píng):本題主要考查了直線與平面平行的判定,考查了點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,考查了空間想象能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題. 21.已知函數(shù)f(x)=alnx(a>0),e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù). (Ⅰ)若過(guò)點(diǎn)A(2,f(2))的切線斜率為2,求實(shí)數(shù)a的值; (Ⅱ)當(dāng)x>0時(shí),求證:f(x)≥a(1﹣); (Ⅲ)在區(qū)間(1,e)上>1恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值;利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程. 專(zhuān)題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.
34、 分析:(Ⅰ)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)和切線斜率之間的關(guān)系即可求實(shí)數(shù)a的值; (Ⅱ)構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證明不等式即可; (Ⅲ)利用參數(shù)分離法結(jié)合導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用即可得到結(jié)論. 解答: 解答:(I)函數(shù)的f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=, ∵過(guò)點(diǎn)A(2,f(2))的切線斜率為2, ∴f′(2)==2,解得a=4.… (Ⅱ)令g(x)=f(x)﹣a(1﹣)=a(lnx﹣1+); 則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′(x)=a().… 令g′(x)>0,即a()>0,解得x>1, ∴g(x)在(0,1)上遞減,在(1,+∞)上遞增. ∴g(x)最小值為g(1)=0, 故f(x)≥a(1﹣)成立.… (Ⅲ)
35、令h(x)=alnx+1﹣x,則h′(x)=﹣1, 令h′(x)>0,解得x<a.… 當(dāng)a>e時(shí),h(x)在(1,e)是增函數(shù),所以h(x)>h(1)=0.… 當(dāng)1<a≤e時(shí),h(x)在(1,a)上遞增,(a,e)上遞減, ∴只需h(x)≥0,即a≥e﹣1.… 當(dāng)a≤1時(shí),h(x)在(1,e)上遞減,則需h(e)≥0, ∵h(yuǎn)(e)=a+1﹣e<0不合題意.… 綜上,a≥e﹣1… 點(diǎn)評(píng):本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義,函數(shù)單調(diào)性最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系,考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力. 選修4-1:幾何證明選講 22.如圖,已知AB是圓O的直徑,C、D是圓O上
36、的兩個(gè)點(diǎn),CE⊥AB于E,BD交AC于G,交CE于F,CF=FG. (Ⅰ)求證:C是劣弧BD的中點(diǎn); (Ⅱ)求證:BF=FG. 考點(diǎn):與圓有關(guān)的比例線段. 專(zhuān)題:計(jì)算題. 分析:(I)要證明C是劣弧BD的中點(diǎn),即證明弧BC與弧CD相等,即證明∠CAB=∠DAC,根據(jù)已知中CF=FG,AB是圓O的直徑,CE⊥AB于E,我們易根據(jù)同角的余角相等,得到結(jié)論. (II)由已知及(I)的結(jié)論,我們易證明△BFC及△GFC均為等腰三角形,即CF=BF,CF=GF,進(jìn)而得到結(jié)論. 解答: 解:(I)∵CF=FG ∴∠CGF=∠FCG ∴AB圓O的直徑 ∴ ∵CE⊥AB ∴
37、∵ ∴∠CBA=∠ACE ∵∠CGF=∠DGA ∴ ∴∠CAB=∠DAC ∴C為劣弧BD的中點(diǎn) (II)∵ ∴∠GBC=∠FCB ∴CF=FB 同理可證:CF=GF ∴BF=FG 點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)圓周角定理及其推理,同(等)角的余角相等,其中根據(jù)AB是圓O的直徑,CE⊥AB于E,找出要證明相等的角所在的直角三角形,是解答本題的關(guān)鍵. 選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 23.已知直線l:(t為參數(shù)),曲線C1:(θ為參數(shù)). (Ⅰ)設(shè)l與C1相交于A,B兩點(diǎn),求|AB|; (Ⅱ)若把曲線C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的倍,縱坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的倍,得到曲線C2,設(shè)點(diǎn)
38、P是曲線C2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求它到直線l的距離的最小值. 考點(diǎn):圓的參數(shù)方程;函數(shù)的圖象與圖象變化;直線與圓相交的性質(zhì);直線的參數(shù)方程. 專(zhuān)題:計(jì)算題. 分析:(I)將直線l中的x與y代入到直線C1中,即可得到交點(diǎn)坐標(biāo),然后利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求出|AB|. (II)將直線的參數(shù)方程化為普通方程,曲線C2任意點(diǎn)P的坐標(biāo),利用點(diǎn)到直線的距離公式P到直線的距離d,分子合并后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù),與分母約分化簡(jiǎn)后,根據(jù)正弦函數(shù)的值域可得正弦函數(shù)的最小值,進(jìn)而得到距離d的最小值即可. 解答: 解:(I)l的普通方程為y=(x﹣1),C1
39、的普通方程為x2+y2=1, 聯(lián)立方程組,解得交點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,0),B(,﹣) 所以|AB|==1; (II)曲線C2:(θ為參數(shù)). 設(shè)所求的點(diǎn)為P(cosθ,sinθ), 則P到直線l的距離d== 當(dāng)sin()=﹣1時(shí),d取得最小值. 點(diǎn)評(píng):此題考查了直線與圓的位置關(guān)系,涉及的知識(shí)有直線與圓的參數(shù)方程與普通方程的互化,點(diǎn)到直線的距離公式,兩角和與差的正弦函數(shù)公式,正弦函數(shù)的定義域與值域,以及特殊角的三角函數(shù)值,根據(jù)曲線C2的參數(shù)方程設(shè)出所求P的坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式表示出d,進(jìn)而利用三角函數(shù)來(lái)解決問(wèn)題是解本題的思路. 選修4-5:不等式選講 24.設(shè)函數(shù)f
40、(x)=|2x+1|﹣|x﹣4|. (1)解不等式f(x)>0; (2)若f(x)+3|x﹣4|>m對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立,求m的取值范圍. 考點(diǎn):絕對(duì)值不等式的解法;函數(shù)最值的應(yīng)用. 專(zhuān)題:計(jì)算題;壓軸題;分類(lèi)討論. 分析:(1)分類(lèi)討論,當(dāng)x≥4時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),分別求出不等式的解集,再把解集取交集. (2)利用絕對(duì)值的性質(zhì),求出f(x)+3|x﹣4|的最小值為9,故m<9. 解答: 解:(1)當(dāng)x≥4時(shí)f(x)=2x+1﹣(x﹣4)=x+5>0得 x>﹣5,所以,x≥4時(shí),不等式成立. 當(dāng)時(shí),f(x)=2x+1+x﹣4=3x﹣3>0,得x>1,所以,1<x<4時(shí),不等式成立. 當(dāng)時(shí),f(x)=﹣x﹣5>0,得x<﹣5,所以,x<﹣5成立 綜上,原不等式的解集為:{x|x>1或x<﹣5}. (2)f(x)+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣(2x﹣8)|=9,當(dāng), 所以,f(x)+3|x﹣4|的最小值為9,故 m<9. 點(diǎn)評(píng):本題考查絕對(duì)值不等式的解法,求函數(shù)的最小值的方法,絕對(duì)值不等式的性質(zhì),體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想.
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