2022年高三數(shù)學(xué) 專題4 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用練習(xí)

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1、2022年高三數(shù)學(xué) 專題4 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用練習(xí) 一、前測(cè)訓(xùn)練 1． (1)曲線y＝x3上在點(diǎn)(－1，－1)的切線方程為 ． (2)曲線y＝x3－3x2＋2x過(guò)點(diǎn)(0，0)的切線方程為 ． 答案：(1)y＝3x＋2． (2)y＝2x或y＝－x． 2．（1）函數(shù)f(x)＝2x2－lnx的減區(qū)間為 ． （2）函數(shù)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍為 ． 答案：(1)(0,)．(2)a≤． 3．求下列函數(shù)極值(或最值)： (1) f(x)＝xlnx (2)f(x)＝

2、sinx－x，x∈[－，] 答案：(1)當(dāng)x＝時(shí)，f(x)取極小值－． (2) 當(dāng)x＝－時(shí)，f(x)取最小值－．當(dāng)x＝時(shí)，f(x)取最大值－． 4．已知函數(shù)f(x)＝ax2－lnx－1(a∈R)，求f(x)在[1，e]上的最小值． 答案：當(dāng)a≤時(shí)，f(x)在[1，e]上的最小值為f(e)＝ae2－2． 當(dāng)＜a＜時(shí)，f(x)在[1，e]上的最小值為f()＝(ln2a－1)． 當(dāng)a≥時(shí)，f(x)在[1，e]上的最小值為f(1)＝a－1． 5．若不等式ax2＞lnx＋1對(duì)任意x∈(0，＋∞)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 答案：a＞ 6．已知f (

3、x)＝ax2，g(x)＝lnx＋1，若y＝f(x)與y＝g(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 答案：(0, ) 二、方法聯(lián)想 1．切線方程 涉及函數(shù)圖象的切線問(wèn)題，如果已知切點(diǎn)利用切點(diǎn)求切線；如果不知切點(diǎn)，則先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)求出切線方程的一般形式再來(lái)利用已知條件． 注意 (1)“在”與“過(guò)”的區(qū)別：“在”表示該點(diǎn)為切點(diǎn)，“過(guò)”表示該點(diǎn)不一定為切點(diǎn)． (2)切點(diǎn)的三個(gè)作用：①求切線斜率；②切點(diǎn)在切線上；③切點(diǎn)在曲線上． 2．函數(shù)單調(diào)性 (1)如果在某個(gè)區(qū)間上f ′(x)＞0，那么f(x)為該區(qū)間上的增函數(shù)； 如果在某個(gè)區(qū)間上f ′(x)＜0，那么f(x)為該區(qū)間上的

4、減函數(shù)． (2)如果f(x)在某個(gè)區(qū)間為增函數(shù)，那么在該區(qū)間f ′(x)≥0； 如果f(x)在某個(gè)區(qū)間為減函數(shù)，那么在該區(qū)間f ′(x)≤0． 注意 求單調(diào)區(qū)間前優(yōu)先求定義域；單調(diào)區(qū)間不能用“∪”，用“，”或“和”． 3．函數(shù)極值(或最值) ①求函數(shù)的定義域；②求f ′(x)＝0在區(qū)間內(nèi)的根；③討論極值點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定極大值或極小值．④將求得的極值與兩端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較，得到最大值與最小值． 4．極值(或最值)的分類討論 分類討論根據(jù)f ′(x)＝0解的存在性和解與區(qū)間的位置關(guān)系分為：“無(wú)、左、中、右”，對(duì)四種分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行取舍(或合并)． 5．不等式恒成立問(wèn)題 法

5、1：分離常數(shù)法（優(yōu)先）；法2：設(shè)F(x)＝f(x)－g(x)，轉(zhuǎn)化F(x)的最值問(wèn)題；法3：轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立問(wèn)題；法4：轉(zhuǎn)化為一次不等式恒成立問(wèn)題． 6．方程有解(解的個(gè)數(shù))問(wèn)題 方程有解(解的個(gè)數(shù))問(wèn)題、圖象交點(diǎn)問(wèn)題、函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題之間可以相互轉(zhuǎn)化． 法1：分離常數(shù)法（優(yōu)先）；法2：設(shè)F(x)＝f(x)－g(x)，轉(zhuǎn)化F(x)的圖象問(wèn)題．兩者均要充分利用數(shù)形結(jié)合法． 三、例題分析 [第一層次] 例1 設(shè)函數(shù)f (x)＝x3－3ax＋b（a≠0）． （1）若曲線y＝f (x)在點(diǎn)（2，f (2)）處與直線y＝8相切，求a，b的值； （2）求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間

6、與極值點(diǎn)． 答案：（1）a＝4，b＝24． （2）①當(dāng)a＜0時(shí)，f ′(x)＞0，函數(shù)f (x)在（－∞，＋∞）單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)f (x)沒(méi)有極值點(diǎn)． ②當(dāng)a＞0時(shí)，（－∞，－）和（，＋∞）是函數(shù)f (x)單調(diào)增區(qū)間；（－，）是函數(shù)f (x)單調(diào)減區(qū)間．x＝－是f (x)的極大值點(diǎn)，x＝是f (x)的極小值點(diǎn)． 〖教學(xué)建議〗 一、主要問(wèn)題歸類與方法： 1．點(diǎn)（2，f (2)）是切點(diǎn)．突出切點(diǎn)的三個(gè)作用：①求切線斜率；②切點(diǎn)在切線上；③切點(diǎn)在曲線上． 2．導(dǎo)函數(shù)值大于零的區(qū)間是原函數(shù)的增區(qū)間；導(dǎo)函數(shù)值小于零的區(qū)間是原函數(shù)的減區(qū)間． 3．解一元二次不等式時(shí)要結(jié)合二次函數(shù)的圖象進(jìn)行

7、分類討論． 4．根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的變化，通過(guò)列表寫(xiě)出函數(shù)f (x)的極值點(diǎn)． 例2 設(shè)函數(shù)f (x)＝x3－x2＋6x－a． （1）對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，f ′(x)≥m恒成立，求m的最大值； （2）若方程f (x)＝0有且僅有一個(gè)實(shí)根，求a的取值范圍． 答案：（1）m的最大值為－． （2）a＜2或a＞． 〖教學(xué)建議〗 一、主要問(wèn)題歸類與方法： 1．不等式恒成立問(wèn)題的處理方法1：分離常數(shù)法；方法2：轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立問(wèn)題． 2． 方程有解(解的個(gè)數(shù))問(wèn)題、圖象交點(diǎn)問(wèn)題、函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題之間可以相互轉(zhuǎn)化． 3．結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性

8、，研究函數(shù)的極大值、極小值，通過(guò)畫(huà)出函數(shù)的簡(jiǎn)圖解決問(wèn)題． 二、方法選擇與優(yōu)化建議： 1．不等式恒成立問(wèn)題優(yōu)先考慮分離常數(shù)法． 例3 已知函數(shù)f (x)＝(1＋)ex，其中a＞0． （1）求函數(shù)f (x)的零點(diǎn)； （2）討論y＝f (x)在區(qū)間（－∞，0）上的單調(diào)性； （3）在區(qū)間（－∞，－]上，f (x)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 答案：（1）函數(shù)f (x)的零點(diǎn)為－a． （2）區(qū)間（－∞，）是f (x)單調(diào)增區(qū)間；區(qū)間（，0）是f (x)單調(diào)減區(qū)間． （3）在區(qū)間（－∞，－]上f (x) 存在最小值f (－)． 〖教學(xué)建議〗 一、主

9、要問(wèn)題歸類與方法： 1．函數(shù)零點(diǎn)的概念． 2．結(jié)合二次函數(shù)圖象解一元二次不等式．求單調(diào)區(qū)間關(guān)注函數(shù)的定義域，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集． 3．根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)和極值點(diǎn)，以及它們的大小關(guān)系畫(huà)出函數(shù)f (x)的簡(jiǎn)圖，關(guān)注到x＜－a時(shí)，f (x)＞0． [第二層次] 例1 已知函數(shù)f (x)＝x2＋xsinx＋cosx． （1）若曲線y＝f (x)在點(diǎn)（a，f (a)）處與直線y＝b相切，求a與b的值； （2）若曲線y＝f (x)與直線y＝b有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求b的取值范圍． 答案：（1）a＝0，b＝1． （2）b的取值范圍是（1，＋∞）． 〖教學(xué)建議〗 一、主要問(wèn)題歸類與

10、方法： 1．教材中列出的導(dǎo)數(shù)公式要熟練掌握． 2．點(diǎn)（a，f (a)）是切點(diǎn)．突出切點(diǎn)的三個(gè)作用：①求切線斜率；②切點(diǎn)在切線上；③切點(diǎn)在曲線上． 3． 直線y＝b是一條與x軸平行的直線．通過(guò)研究函數(shù)f (x)的單調(diào)性得出函數(shù)f (x)的最小值f (0)＝1． 4．結(jié)合函數(shù)的簡(jiǎn)圖進(jìn)行動(dòng)態(tài)研究． 例2 已知函數(shù)f (x)＝(1＋)ex，其中a＞0． （1）求函數(shù)f (x)的零點(diǎn)； （2）討論y＝f (x)在區(qū)間（－∞，0）上的單調(diào)性； （3）在區(qū)間（－∞，－]上，f (x)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 答案：（1）函數(shù)f (x)的零點(diǎn)為－a．

11、 （2）區(qū)間（－∞，）是f (x)單調(diào)增區(qū)間；區(qū)間（，0）是f (x)單調(diào)減區(qū)間． （3）在區(qū)間（－∞，－]上f (x) 存在最小值f (－)． 〖教學(xué)建議〗 一、主要問(wèn)題歸類與方法： 1．函數(shù)零點(diǎn)的概念． 2．結(jié)合二次函數(shù)圖象解一元二次不等式．求單調(diào)區(qū)間關(guān)注函數(shù)的定義域，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集． 3．根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)和極值點(diǎn)，以及它們的大小關(guān)系畫(huà)出函數(shù)f (x)的簡(jiǎn)圖，關(guān)注到x＜－a時(shí)，f (x)＞0． 例3．已知函數(shù)f(x)＝x2－(2a＋1)x＋alnx． （1）當(dāng)a＝1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間； （2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值； （3）設(shè)g

12、(x)＝(1－a)x，若存在x0∈[，e]，使得f(x0)≥g(x0)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 答案：（1）函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為（0，）和（1，＋∞）． （2）當(dāng)a≤1時(shí)，[f(x)]min＝－2a；當(dāng)1＜a＜e時(shí)，[f(x)]min＝a(lna－a－1)； 當(dāng)a≥e時(shí)，[f(x)]min＝e2－(2a＋1) e＋a． （3）實(shí)數(shù)a的取值范圍為a∈ (－∞，]． 〖教學(xué)建議〗 一、主要問(wèn)題歸類與方法： 1．導(dǎo)函數(shù)值大于零的區(qū)間是原函數(shù)的增區(qū)間；導(dǎo)函數(shù)值小于零的區(qū)間是原函數(shù)的減區(qū)間．求單調(diào)區(qū)間關(guān)注函數(shù)的定義域，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集． 2．求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，先求出函

13、數(shù)的極值點(diǎn)，研究函數(shù)在這個(gè)閉區(qū)間上的簡(jiǎn)圖，比較極值點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)的函數(shù)值大小． 3．由于本題極值點(diǎn)是一個(gè)字母，要討論這個(gè)極值點(diǎn)與所給閉區(qū)間的關(guān)系，突出分類討論的思想． 4．幫助學(xué)生理解題意，得出不等式f(x)≥g(x)在[，e]上有解，通過(guò)分離常數(shù)法，研究函數(shù)的最大值得出實(shí)數(shù)a的取值范圍． 5．在對(duì)不等式變形時(shí)，要注意不等式兩邊同時(shí)除以的是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，關(guān)注不等號(hào)方向的變化．本題可以適當(dāng)變式幫助學(xué)生理解題意． [第三層次] 例1 已知函數(shù)f (x)＝x3＋2bx2＋cx－2的圖象在與x軸交點(diǎn)處的切線方程是y＝5x－10． （1）求函數(shù)f (x)的解析式； （2）設(shè)函數(shù)

14、g (x)＝f (x)＋mx，若g (x)的極值存在，求實(shí)數(shù)m的取值范圍以及函數(shù)g (x)取得極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量x的值． 答案：（1）函數(shù)的解析式為f (x)＝x3－2x2＋x－2． （2）實(shí)數(shù)m的取值范圍是：m∈（－∞，1）． 當(dāng)x＝時(shí)，g (x) 有極大值；當(dāng)x＝ g (x) 有極小值． 〖教學(xué)建議〗 一、主要問(wèn)題歸類與方法： 1．切點(diǎn)在x軸上又在曲線上，還在切線上． 2．函數(shù)存在極值，則導(dǎo)函數(shù)的值可正可負(fù)． 3．二次函數(shù)的值可正可負(fù)，則有對(duì)應(yīng)的二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以判別式要大于零． 4．求函數(shù)的極值，應(yīng)先由導(dǎo)函數(shù)值等于0求出極值點(diǎn)，再通過(guò)列表判斷函數(shù)的單調(diào)性

15、，從而求出函數(shù)的極值以及取得極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量x的值． 例2 已知函數(shù)f(x)＝x2－(2a＋1)x＋alnx． （1）當(dāng)a＝1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間； （2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值； （3）設(shè)g(x)＝(1－a)x，若存在x0∈[，e]，使得f(x0)≥g(x0)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 答案：（1）函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為（0，）和（1，＋∞）． （2）當(dāng)a≤1時(shí)，[f(x)]min＝－2a；當(dāng)1＜a＜e時(shí)，[f(x)]min＝a(lna－a－1)； 當(dāng)a≥e時(shí)，[f(x)]min＝e2－(2a＋1) e＋a． （3）實(shí)數(shù)a的取值范圍為

16、(－∞，]． 〖教學(xué)建議〗 一、主要問(wèn)題歸類與方法： 1．導(dǎo)函數(shù)值大于零的區(qū)間是原函數(shù)的增區(qū)間；導(dǎo)函數(shù)值小于零的區(qū)間是原函數(shù)的減區(qū)間．求單調(diào)區(qū)間關(guān)注函數(shù)的定義域，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集． 2．求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，先求出函數(shù)的極值點(diǎn)，研究函數(shù)在這個(gè)閉區(qū)間上的簡(jiǎn)圖，比較極值點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)的函數(shù)值大小． 3．由于本題極值點(diǎn)是一個(gè)字母，要討論這個(gè)極值點(diǎn)與所給閉區(qū)間的關(guān)系，突出分類討論的思想． 4．幫助學(xué)生理解題意，得出不等式f(x)≥g(x)在[，e]上有解，通過(guò)分離常數(shù)法，研究函數(shù)的最大值得出實(shí)數(shù)a的取值范圍． 5．在對(duì)不等式變形時(shí)，要注意不等式兩邊同時(shí)除以的是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，

17、關(guān)注不等號(hào)方向的變化．本題可以適當(dāng)變式幫助學(xué)生理解題意． 例3 已知函數(shù)f (x)＝x|x2－3|，x∈[0，m]． （1）若m＜1，求證：函數(shù)f (x)是增函數(shù)； （2）如果函數(shù)f (x)的值域是[0，2]，試求m的取值范圍； （3）如果函數(shù)f (x)的值域是[0，λm2]，試求實(shí)數(shù)λ的最小值． 答案：（1）略． （2）m的取值范圍是[1，2]． （3）實(shí)數(shù)λ的最小值是，且此時(shí)m＝2． 〖教學(xué)建議〗 一、主要問(wèn)題歸類與方法： 1．含絕對(duì)值的函數(shù)通常要討論絕對(duì)值里面式子的正負(fù)設(shè)法去掉絕對(duì)值，最終變?yōu)榉侄魏瘮?shù)之后進(jìn)行研究． 2．證明一個(gè)三次函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，只要證明它的導(dǎo)函數(shù)恒大于0或大于等于0（原函數(shù)不能是常函數(shù)）． 3．利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值畫(huà)出分段函數(shù)（即函數(shù)f (x)）簡(jiǎn)圖，結(jié)合函數(shù)圖象通過(guò)動(dòng)態(tài)的研究，求出m的取值范圍． 4．結(jié)合函數(shù)的簡(jiǎn)圖利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)研究函數(shù)的值域，凸顯分類討論思想． 5．本題還可以利用函數(shù)是奇函數(shù)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪接?xùn)練．解決函數(shù)問(wèn)題要突出數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，要充分利用導(dǎo)數(shù)這個(gè)工具，通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值畫(huà)出函數(shù)的簡(jiǎn)圖． 二、方法選擇與優(yōu)化建議： 1．結(jié)合函數(shù)簡(jiǎn)圖，突出數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想． 四、反饋練習(xí)