2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第25講 平面向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算學(xué)案

《2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第25講 平面向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第25講 平面向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算學(xué)案（13頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第25講　平面向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算 考綱要求 考情分析 命題趨勢 1．了解平面向量的基本定理及其意義． 2．掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示． 3．會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算． 4．理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件． 2017·全國卷Ⅱ，12 2017·全國卷Ⅲ，12 2017·江蘇卷，12 2016·四川卷，10 　　對(duì)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示的考查主要是加、減、數(shù)乘及向量共線定理的坐標(biāo)表示及應(yīng)用． 分值：5分 1．兩個(gè)向量的夾角 (1)定義 已知兩個(gè)__非零__向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB＝

2、θ叫做向量a與b的夾角． (2)范圍 向量夾角θ的范圍是?。?！　[0，π]　###，a與b同向時(shí)，夾角θ＝?。?！　0°　###；a與b反向時(shí)，夾角θ＝?。。　?80°　###. (3)向量垂直 若向量a與b的夾角是?。?！　90°　###，則a與b垂直，記作！??！　a⊥b　###. 2．平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 (1)平面向量基本定理 定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)__不共線__向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，__有且只有__一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝?。?！　λ1e1＋λ2e2　###.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組__基底__. (

3、2)平面向量的正交分解 把一個(gè)向量分解為兩個(gè)__互相垂直__的向量，叫做把向量正交分解． (3)平面向量的坐標(biāo)表示 ①在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得a＝xi＋yj，把有序數(shù)對(duì)__(x，y)__叫做向量a的坐標(biāo)，記作a＝__(x，y)__，其中__x__叫做a在x軸上的坐標(biāo)，__y__叫做a在y軸上的坐標(biāo)． ②設(shè)＝xi＋yj，則向量的坐標(biāo)(x，y)就是__終點(diǎn)A的坐標(biāo)__，即若＝(x，y)，則A點(diǎn)坐標(biāo)為__(x，y)__，反之亦成立(O為坐標(biāo)原點(diǎn))． 3．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 向量的加法、

4、減法 設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 則a＋b＝__(x1＋x2，y1＋y2)__， a－b＝__(x1－x2，y1－y2)__ 向量的數(shù)乘 設(shè)a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝__(λx，λy)__ 向量坐標(biāo)的求法 設(shè)O(0,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則①＝__(x1，y1)__， ②＝__(x2－x1，y2－y1)__ 4．向量共線的坐標(biāo)表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?__x1y2－x2y1__＝0，特別地，若x2，y2≠0，則a∥b?＝. 5．三點(diǎn)共線定理 若，是平面內(nèi)不共線的向量，則存在實(shí)數(shù)λ1，λ2使

5、＝λ1＋λ2，則當(dāng)λ1＋λ2＝1時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線，特別地，當(dāng)λ1＝λ2＝時(shí)，C是A與B的中點(diǎn)． 解析　(1)正確．由向量的坐標(biāo)表示可知向量不論怎樣平移 ，其坐標(biāo) 均為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)，故平移后坐標(biāo)不變． (2)正確．由基底的定義可知，只要兩向量不共線均可作為一組基底． (3)錯(cuò)誤．兩向量的夾角，關(guān)鍵要看起點(diǎn)與方向，與的夾角應(yīng)為∠ABC的補(bǔ)角． (4)正確．由平面向量基本定理可知存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)λ，μ使a＝λe1＋μe2故其表現(xiàn)形式唯一． 1．思維辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)． (1)平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移變換之后其坐標(biāo)不變．(　√　) (2)平面內(nèi)任何兩個(gè)不共

6、線的向量均可作為一組基底．(　√　) (3)向量與的夾角為∠ABC.(　×　) (4)在同一組基底下同一向量的表現(xiàn)形式是唯一的．(　√　) 2．若向量＝(1,2)，＝(3,4)，則＝(　A　) A．(4,6)　　　 B．(－4，－6)　　　 C．(－2，－2)　　　 D．(2,2) 解析　∵＝＋，∴＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)． 3．已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－2)，若a∥b，則a＋b＝(　A　) A．(－2，－1)　　　 B．(2,1)　　　 C．(3，－1)　　　 D．(－3,1) 解析　由a∥b可得2×(－2)－1×x＝0，故x＝－4， 所以a＋b＝

7、(－2，－1)． 4．已知兩點(diǎn)A(4,1)，B(7，－3)，則與同向的單位向量是(　A　) A．　　　 B． C．　　　 D． 解析　∵A(4,1)，B(7，－3)，∴＝(3，－4)， ∴與同向的單位向量為＝. 5．梯形ABCD中，AB∥CD, AB＝2CD，M，N分別是CD，AB的中點(diǎn)，設(shè)＝a，＝b.若＝ma＋nb，則＝__－4__. 解析　∵＝＋＋＝－a－b＋a＝a－b， ∴m＝，n＝－1，∴＝－4. 一　平面向量基本定理的應(yīng)用 (1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算． (2)用平面向量基本定

8、理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決． 【例1】 (1)在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝?。?！　　###. 第(1)題圖 　　 第(2)題圖 (2)如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若＝m，＝n，則mn的最大值為__1__. 解析　(1)選擇，作為平面向量的一組基底，則＝＋，＝＋，＝＋， 又＝λ＋μ＝＋， 于是得即故λ＋μ＝. (2)∵點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，∴＝(＋)．又∵＝m，＝n，∴＝＋

9、.又∵M(jìn)，O，N三點(diǎn)共線，∴＋＝1，即m＋n＝2，∴mn≤2＝1， 當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝1時(shí)取等號(hào)，故mn的最大值為1． 二　平面向量共線的坐標(biāo)表示 (1)利用兩向量共線求參數(shù)．如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，則利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題比較方便． (2)利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)．一般地，在求與一 個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量． 【例2】 (1)已知點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，則向量

10、＝(　A　) A．(－7，－4)　　　 B．(7,4) C．(－1,4)　　　 D．(1,4) (2)若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，則c＝(　B　) A．－a＋b　　　 B．a(chǎn)－b C．a(chǎn)－b　　　 D．－a＋b 解析　(1)設(shè)C(x，y)，則＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以從而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)． (2)設(shè)c＝λ1a＋λ2b，則(－1,2)＝λ1(1,1)＋λ2(1，－1)＝(λ1＋λ2，λ1－λ2)，∴解得所以c＝a－b. 三　平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線

11、段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則． 【例3】 (1)如圖，已知平面內(nèi)有三個(gè)向量，，，其中與的夾角為120°，與的夾角為30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為__6__.　 第(1)題圖 　　　　 第(2)題圖 (2)給定兩個(gè)長度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上運(yùn)動(dòng)．若＝x＋y，其中x，y∈R，則x＋y的最大值為__2__. 解析　(1)如圖，作平行四邊形OB1CA1，則＝＋，因?yàn)榕c的夾角為120°，與的夾角為30°，所以∠B1OC＝90°. 在Rt△

12、OCB1中，∠OCB1＝30°，|OC|＝2， 所以|OB1|＝2，|B1C|＝4，而|OA1|＝|B1C|＝4， 所以＝4＋2，則λ＝4，μ＝2，即λ＋μ＝6. (2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(1,0)，B， 設(shè)∠AOC＝α， 則C(cos α，sin α)，由＝x＋y， 得 所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α，所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin，又α∈，所以當(dāng)α＝時(shí)，x＋y取得最大值2. 1．已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)且a∥b，若x，y均為正數(shù)，則＋的最小值是(　B　) A．24　　

13、　 B．8　　　　 C．　　　 D． 解析　∵a∥b，∴－2x－3(y－1)＝0，即2x＋3y＝3， ∴＋＝×(2x＋3y)＝≥＝8，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3y＝時(shí)，等號(hào)成立． ∴＋的最小值是8，故選B． 2．如圖，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E為BC邊上一點(diǎn)，＝3，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，則＝(　C　) A．－　　　 B．－ C．－＋　　　 D．－＋ 解析?。剑剑? ＝－＋ ＝－＋ ＝－＋＋＋(＋＋) ＝－＋. 3．(2018·北京海淀模擬)已知向量a＝(1,1)，點(diǎn)A(3,0)，點(diǎn)B為直線y＝2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若∥a，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－3，－6)． 解析　設(shè)

14、B(x,2x)，則＝(x－3,2x)． ∵∥a，∴x－3－2x＝0，解得x＝－3，∴B(－3，－6)． 4．(2017·江蘇卷)如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量，，的模分別為1,1，，與的夾角為α，且tan α＝7，與的夾角為45°.若＝m＋n(m，n∈R)，則m＋n＝__3__.　 解析　以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(1,0)，由tan α＝7，α∈， 得sin α＝，cos α＝， 設(shè)C(xC，yC)．B(xB，yB)，則xC＝||cos α＝×＝， yC＝||sin α＝×＝，即C. 又cos(α＋45°)＝×－×＝－， sin(α＋45°)＝

15、×＋×＝， 則xB＝||cos(α＋45°)＝－，yB＝||sin(α＋45°)＝， 即B，由＝m＋n， 可得解得所以m＋n＝＋＝3. 易錯(cuò)點(diǎn)　不會(huì)正確選用基向量 錯(cuò)因分析：基向量通常取整個(gè)圖形中從同一點(diǎn)出發(fā)的兩邊所對(duì)應(yīng)的向量． 【例1】 在△ABO中，＝，＝，AD與BC相交于M，設(shè)＝a，＝b，試用a與b表示. 解析　如圖，A，M，D三點(diǎn)共線?＝α＋(1－α)＝α＋； B，M，C三點(diǎn)共線?＝β＋(1－β)＝β＋. 于是有解得所以＝a＋b. 【跟蹤訓(xùn)練1】 (2017·全國卷Ⅱ)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則·(＋)的最小值是(　B　

16、) A．－2　　　 B．－　　　　 C．－　　　 D．－1 解析　如圖，以等邊三角形ABC的底邊BC所在直線為x軸，以BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)，設(shè)P(x，y)，則＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋22－，當(dāng)x＝0，y＝時(shí)，·(＋)取得最小值為－，故選B． 課時(shí)達(dá)標(biāo)　第25講 [解密考綱]本考點(diǎn)重點(diǎn)考查向量的概念、線性運(yùn)算、平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示，多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，難度中等偏下． 一、選擇題 1．若向量＝(2,4)，＝(1

17、,3)，則＝(　B　) A．(1,1)　　　 B．(－1，－1) C．(3,7)　　　 D．(－3，－7) 解析　因?yàn)椋?2,4)，＝(1,3)，所以＝－＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，故選B． 2．已知向量m＝(a，－2)，n＝(1,1－a)，且m∥n，則實(shí)數(shù)a＝(　B　) A．－1　　　 B．2或－1 C．2　　　 D．－2 解析　因?yàn)閙∥n，所以a(1－a)＝－2，即a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2，故選B． 3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)O(0,0)，A(0,1)，B(1，－2)，C(m,0)．若∥，則實(shí)數(shù)m＝(　C　) A．－2　　　 B．－

18、 C．　　　 D．2 解析　在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)O(0,0)，A(0,1)，B(1，－2)，C(m,0)，所以＝(1，－2)，＝(m，－1)．又因?yàn)椤?，所以＝，m＝，故選C． 4．已知點(diǎn)O是△ABC的外接圓圓心，且AB＝3，AC＝4.若存在非零實(shí)數(shù)x，y，使得＝x＋y，且x＋2y＝1，則cos∠BAC＝(　A　) A．　　　 B． C．　　　 D． 解析　設(shè)M為AC的中點(diǎn)，則＝x＋y＝x＋2y.因?yàn)閤＋2y＝1，所以O(shè)，B，M三點(diǎn)共線．又因?yàn)镺是△ABC的外接圓圓心，所以BM⊥AC，從而cos∠BAC＝，故選A． 5．如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，＝x＋y，且＝

19、2P，則(　A　) A．x＝，y＝　　　　 B．x＝，y＝ C．x＝，y＝　　　　 D．x＝，y＝ 解析　由題意知＝＋B，又＝2P， 所以＝＋＝O＋(－)＝O＋， 所以x＝，y＝. 6．如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)M，N分別在AB，AC上，且＝2，＝，線段CM與BN相交于點(diǎn)P，且＝a，＝b，則用a和b表示為(　A　) A．＝a＋b B．＝a＋b C．＝a＋b D．＝a＋b 解析　由于＝a，＝，＝b，＝b，則＝－＝b－a，＝－＝b－a.設(shè)＝λ＝λ，＝μ＝μ，由－＝，得λ－μ＝a，得解得因此＝＋＝a＋＝a＋b. 二、填空題 7．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c

20、＝(k,7)，若(a－c)∥b，則k＝__5__. 解析　∵a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，∴a－c＝(3－k，－6)． ∵(a－c)∥b，∴1×(－6)＝3×(3－k)，解得k＝5. 8．已知向量＝(3,4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足的條件是?。。　≠－　###. 解析　因?yàn)椋剑?3，－7)，＝－＝(2－m，－7－m)，點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，所以點(diǎn)A，B，C不共線，即與不共線，所以3×(－7－m)－(－7)×(2－m)≠0，解得m≠－，故實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足m≠－. 9．在△ABC中，過中線AD的中點(diǎn)E任作一

21、條直線分別交AB，AC于M，N兩點(diǎn)．若＝x，＝y(tǒng)，則4x＋y的最小值為?。。　　?##. 解析　由題意知＝(＋)，＝. ∵M(jìn)，E，N三點(diǎn)共線，∴＝λ＋(1－λ)(其中0<λ<1)． 又∵＝x，＝y(tǒng)，∴(＋)＝λx＋(1－λ)y.因此有解得x＝，y＝.令＝t，則t>1，則4x＋y＝＋＝t＋＝(t－1)＋＋≥，當(dāng)且僅當(dāng)t＝，即λ＝時(shí)取得等號(hào)． 三、解答題 10．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．求： (1)|a＋3b|； (2)當(dāng)k為何實(shí)數(shù)時(shí)，ka－b與a＋3b平行，平行時(shí)它們是同向還是反向？ 解析　(1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)，∴a＋3b＝(7,3)，故|a＋3b|＝

22、＝. (2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7,3)， ∵ka－b與a＋3b平行， ∴3(k－2)＋7＝0，即k＝－.此時(shí)ka－b＝(k－2，－1)＝， a＋3b＝(7,3)，則a＋3b＝－3(ka－b)，即此時(shí)向量a＋3b與ka－b方向相反． 11．已知平面上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(－2,1)，B(－1,3)，C(3,4)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)，使得A，B，C，D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形． 解析　設(shè)D(x，y)，由ABCD為平行四邊形得＝，即(1,2)＝(3－x，4－y)，可解得D(2,2)；由ABDC為平行四邊形得＝，即(1,2)＝(x－3，y－4)，可解得D(4,6)；由ADBC為平行四邊形得＝，即(x＋2，y－1)＝(－4，－1)，可解得D(－6,0)．因此A，B，C，D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形的D點(diǎn)坐標(biāo)是(2,2)或(4,6)或(－6,0)． 12．如圖所示，G是△OAB的重心，P，Q分別是邊OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，且P，G，Q三點(diǎn)共線． (1)設(shè)＝λ，將用λ，，表示； (2)設(shè)＝x，＝y(tǒng)，證明：＋是定值． 解析　(1)＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝ (1－λ)＋λ. (2)證明：由(1)得＝(1－λ)＋λ＝ (1－λ)x＋λy；① ∵G是△OAB的重心， ∴＝＝×(＋)＝＋.② 由①②得∴＋＝3(1－λ)＋3λ＝3(定值)． 13