2022年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 函數(shù)的單調(diào)性教案 理

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1、2022年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 函數(shù)的單調(diào)性教案 理 教材分析 函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要特性之一,它把自變量的變化方向和函數(shù)值的變化方向定性地聯(lián)系在一起.在初中學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí),借助圖像的直觀性研究了一些函數(shù)的增減性.這節(jié)內(nèi)容是初中有關(guān)內(nèi)容的深化、延伸和提高.這節(jié)通過對(duì)具體函數(shù)圖像的歸納和抽象,概括出函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)的準(zhǔn)確含義,明確指出函數(shù)的增減性是相對(duì)于某個(gè)區(qū)間來說的.教材中判斷函數(shù)的增減性,既有從圖像上進(jìn)行觀察的直觀方法,又有根據(jù)其定義進(jìn)行邏輯推理的嚴(yán)格方法,最后將兩種方法統(tǒng)一起來,形成根據(jù)觀察圖像得出猜想結(jié)論,進(jìn)而用推理證明猜想的體系.這節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)是理解函數(shù)單調(diào)性的概念以及利用

2、函數(shù)的單調(diào)性的概念證明函數(shù)的單調(diào)性,難點(diǎn)是理解函數(shù)單調(diào)性的概念. 教學(xué)目標(biāo) 1. 通過對(duì)增函數(shù)、減函數(shù)概念的歸納、抽象和概括,體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生和形成過程,培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的抽象概括能力. 2. 掌握增函數(shù)、減函數(shù)等函數(shù)單調(diào)性的概念,理解函數(shù)增減性的幾何意義,并能初步運(yùn)用所學(xué)知識(shí)判斷或證明一些簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性,培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解能力和邏輯推理能力. 3. 通過對(duì)函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí),初步體會(huì)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展、運(yùn)用的過程,培養(yǎng)學(xué)生形成科學(xué)的思維. 任務(wù)分析 這節(jié)內(nèi)容學(xué)生在初中已有了較為粗略的認(rèn)識(shí),即主要根據(jù)觀察圖像得出結(jié)論.這節(jié)函數(shù)增減性的定義,是運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)將自然語言的描述提升到形

3、式化的定義,學(xué)生接受起來可能比較困難.在引入定義時(shí),要始終結(jié)合具體函數(shù)的圖像來進(jìn)行,以增強(qiáng)直觀性,采用由具體到抽象,再由抽象到具體的思維方法,便于學(xué)生理解.對(duì)于定義,要注意對(duì)區(qū)間上所取兩點(diǎn)x1,x2的“任意性”的理解,多給學(xué)生操作與思考的時(shí)間和空間. 教學(xué)設(shè)計(jì) 一、問題情境 1. 如圖為某市一天內(nèi)的氣溫變化圖: (1)觀察這個(gè)氣溫變化圖,說出氣溫在這一天內(nèi)的變化情況. (2)怎樣用數(shù)學(xué)語言刻畫在這一天內(nèi)“隨著時(shí)間的增大,氣溫逐漸升高或下降”這一特征? 2. 分別作出下列函數(shù)的圖像: (1)y=2x.   (2)y=-x+2.  ?。?)y=x2. 根據(jù)三個(gè)函數(shù)圖像,分別指出

4、當(dāng)x∈(-∞,+∞)時(shí),圖像的變化趨勢(shì)? 二、建立模型 1. 首先引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題2進(jìn)行探討———觀察分析 觀察函數(shù)y=2x,y=-x+2,y=x2圖像,可以發(fā)現(xiàn):y=2x在(-∞,+∞)上、y=x2在(0,+∞)上的圖像由左向右都是上升的;y=-x+2在(-∞,+∞)上、y=x2在(-∞,0)上的圖像由左向右都是下降的.函數(shù)圖像的“上升”或“下降”反映了函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)———單調(diào)性.那么,如何描述函數(shù)圖像“上升”或“下降”這個(gè)圖像特征呢? 以函數(shù)y=x2,x∈(-∞,0)為例,圖像由左向右下降,意味著“隨著x的增大,相應(yīng)的函數(shù)值y=f(x)反而減小”,如何量化呢?取自變量的兩個(gè)不同的

5、值,如x1=-5,x2=-3,這時(shí)有x1<x2,f(x1)>f(x2),但是這種量化并不精確.因此,x1,x2應(yīng)具有“任意性”.所以,在區(qū)間(-∞,0)上,任取兩個(gè)x1,x2得到f(x1)=,f(x2)=.當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)>f(x2).這時(shí),我們就說f(x)=x2在區(qū)間(-∞,0)上是減函數(shù). 注意:在這里,要提示學(xué)生如何由直觀圖像的變化規(guī)律,轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,即自變量x變化時(shí)對(duì)函數(shù)值y的影響.必要時(shí),對(duì)x,y可舉出具體數(shù)值,進(jìn)行引導(dǎo)、歸納和總結(jié).這里的“都有”是對(duì)應(yīng)于“任意”的. 2. 在學(xué)生討論歸納函數(shù)單調(diào)性定義的基礎(chǔ)上,教師明晰———抽象概括 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮

6、: 如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)<f(x2),那么我們就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)[如圖8-2(1)]. 如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)>f(x2),那么我們就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)[如圖8-2(2)]. 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),那么我們就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,區(qū)間D叫作y=f(x)的單調(diào)區(qū)間. 3. 提出問題,組織學(xué)生討論 (1)定義在R上的函數(shù)f(x),滿足f(2)>f(1),能否判斷

7、函數(shù)f(x)在R是增函數(shù)? (2)定義在R上函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0]上是增函數(shù),在區(qū)間(0,+∞)上也是增函數(shù),判斷函數(shù)f(s)在R上是否為增函數(shù). (3)觀察問題情境1中氣溫變化圖像,根據(jù)圖像說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,以及在每一單調(diào)區(qū)間上,它是增函數(shù)還是減函數(shù). 強(qiáng)調(diào):定義中x1,x2是區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量;函數(shù)的單調(diào)性是相對(duì)于某一區(qū)間而言的. 三、解釋應(yīng)用 [例 題] 1. 證明函數(shù)f(x)=2x+1,在(-∞,+∞)是增函數(shù). 注:要規(guī)范解題格式. 2. 證明函數(shù)f(x)=,在區(qū)間(-∞,0)和(0,+∞)上都是減函數(shù). 思考:能否說,函數(shù)f(x)=在定義域(-∞,

8、0)∪(0,+∞)上是減函數(shù)? 3. 設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上保號(hào)(恒正或恒負(fù)),且f(x)在區(qū)間D上為增函數(shù),求證:f(x)=在區(qū)間D上為減函數(shù). 證明:設(shè)x1,x2∈D,且x1<x2, ∵f(x)在區(qū)間D上保號(hào),∴f(x1)f(x2)>0. 又f(x)在區(qū)間D上為增函數(shù),∴f(x1)-f(x2)<0,從而g(x1)-g(x2)>0,∴g(x)在D上為減函數(shù). [練 習(xí)] 1. 證明:(1)函數(shù)f(x)=在(0,+∞)上是增函數(shù). (2)函數(shù)f(x)=x2-x在(-∞,]上是減函數(shù). 2. 判斷函數(shù)的單調(diào)性,并寫出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間. 3. 如果函數(shù)y=f(x)是R

9、上的增函數(shù),判斷g(x)=kf(x),(k≠0)在R上的單調(diào)性. 四、拓展延伸 1. 根據(jù)圖像,簡(jiǎn)要說明近150年來人類消耗能源的結(jié)構(gòu)變化情況,并對(duì)未來100年能源結(jié)構(gòu)的變化趨勢(shì)作出預(yù)測(cè). 2. 判斷二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,(a≠0)的單調(diào)性,并用定義加以證明. 3. 如果自變量的改變量Δx=x2-x1<0,函數(shù)值的改變量Δy=f(x2)-f(x1)>0,那么函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)還是減函數(shù)? 4. 函數(shù)值的改變量與自變量的改變量的比叫作函數(shù)f(x)在x1,x2之間的平均變化率. (1)根據(jù)函數(shù)的平均變化率判斷y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)還是減函數(shù). (

10、2)比值的大小與函數(shù)值增長的快慢有什么關(guān)系? 點(diǎn) 評(píng) 這篇案例設(shè)計(jì)完整,思路清晰.案例首先通過實(shí)例闡述了函數(shù)單調(diào)性產(chǎn)生的背景,歸納、抽象概括出了增函數(shù)、減函數(shù)的定義,充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)思維過程的教學(xué),符合新課程標(biāo)準(zhǔn)的精神.例題與練習(xí)由淺入深,完整,全面.“拓展延伸”的設(shè)計(jì)有新意,有深度,為學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力、創(chuàng)造能力的培養(yǎng)提供了平臺(tái). 這篇案例的突出特點(diǎn),體現(xiàn)在如下幾個(gè)方面: 1. 強(qiáng)調(diào)對(duì)基本概念和基本思想的理解和掌握 由于數(shù)學(xué)高度抽象的特點(diǎn),注重體現(xiàn)基本概念的來龍去脈.在數(shù)學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體實(shí)例抽象出數(shù)學(xué)概念的過程,在初步運(yùn)用中逐步理解概念的本質(zhì). 2. 注重聯(lián)系,提高對(duì)數(shù)學(xué)整體的認(rèn)識(shí) 數(shù)學(xué)的發(fā)展既有內(nèi)在的動(dòng)力,也有外在的動(dòng)力.在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中,要注重?cái)?shù)學(xué)的不同分支和不同內(nèi)容之間的聯(lián)系,數(shù)學(xué)與日常生活的聯(lián)系,數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系.例如,通過研討本節(jié)課“拓展延伸”中的第1個(gè)問題,可以大大提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性. 3. 注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際的聯(lián)系,發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和能力 在數(shù)學(xué)教學(xué)中,應(yīng)注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí);通過豐富的實(shí)例引入數(shù)學(xué)知識(shí),引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題,經(jīng)歷探索、解決問題的過程,體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值,幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到:數(shù)學(xué)與我有關(guān),與實(shí)際生活有關(guān);數(shù)學(xué)是有用的,我要用數(shù)學(xué),我能用數(shù)學(xué).

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