2022年高考數(shù)學(xué) 中等生百日捷進提升系列(綜合提升篇)專題07 選講內(nèi)容(含解析)

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1、2022年高考數(shù)學(xué) 中等生百日捷進提升系列(綜合提升篇)專題07 選講內(nèi)容(含解析) 幾何證明選講 【背一背重點知識】 1、比例線段有關(guān)定理 (1)平行線等分線段定理:如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段也相等。 推理1:經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊。 推理2:經(jīng)過梯形一腰的中點,且與底邊平行的直線平分另一腰。 (2)平分線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對應(yīng)線段成比例。 推論:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例。 2、相似三角形的判定及性質(zhì) (1)相似三角形

2、的判定: 定義:對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。相似三角形對應(yīng)邊的比值叫做相似比(或相似系數(shù))。 判定定理1:對于任意兩個三角形,如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等,那么這兩個三角形相似。簡述為:兩角對應(yīng)相等,兩三角形相似。 判定定理2:對于任意兩個三角形,如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應(yīng)成比例,并且夾角相等,那么這兩個三角形相似。簡述為:兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等,兩三角形相似。 判定定理3:對于任意兩個三角形,如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例,那么這兩個三角形相似。簡述為:三邊對應(yīng)成比例,兩三角形相似。 (2)

3、相似三角形的性質(zhì): 性質(zhì)1:相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)平分線的比都等于相似比; 性質(zhì):2:相似三角形周長的比等于相似比; 性質(zhì)3:相似三角形面積的比等于相似比的平方。 注:相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比,外接圓的面積比等于相似比的平方。 3、直角三角形的射影定理 射影定理:直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項;兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項。 4、圓周角定理 圓周角定理:圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓周角的一半。 圓心角定理:圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)。 推論1:同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中,相

4、等的圓周角所對的弧相等。 推論2:半圓(或直徑)所對的圓周角是直角;90°的圓周角所對的弦是直徑。 5、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理 定理1:圓的內(nèi)接四邊形的對角互補。 定理2:圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角。 圓內(nèi)接四邊形判定定理:如果一個四邊形的對角互補,那么這個四邊形的四個頂點共圓。 推論:如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角,那么這個四邊形的四個頂點共圓。 6、圓的切線的性質(zhì)及判定定理 切線的性質(zhì)定理:圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。 推論1:經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點。 推論2:經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。 切線的判定定理:經(jīng)過半徑的外

5、端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。 7、弦切角的性質(zhì) 弦切角定理:弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。 8、與圓有關(guān)的比例線段(圓冪定理) 相交弦定理:圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點分成的兩條線段長的積相等。 割線定理:從園外一點引圓的兩條割線,這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。 切割線定理:從圓外一點引圓的切線和割線,切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。 切線長定理:從圓外一點引圓的兩條切線,它們的切線長相等,圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。 【講一講提高技能】 1、 相似三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用 (1) 判定兩個三角形相似的方法:兩角對應(yīng)相

6、等,兩三角形相似;兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等,兩三角形相似;三邊對應(yīng)成比例,兩三角形相似;相似三角形的定義. (2) 證明線段成比例,若已知條件中沒有平行線,但有三角形相似的條件(如角相等,有相等的比例式等),??紤]相似三角形的性質(zhì)構(gòu)造比例式或利用中間比求解. (3)相似三角形的性質(zhì)應(yīng)用可用來考查與相似三角形相關(guān)的元素,如兩個三角形的高、周長、角平分線、中線、面積、外接圓的直徑、內(nèi)切圓的面積等. 例1如圖3,在平行四邊形中,點在上且,與交于點,則 . 【解析】 2、四點共圓的證明方法 (1)求證四邊形的一個外角等于與它不相鄰的內(nèi)角

7、;(2)當(dāng)它們在一條線段同側(cè)時,可證它們對此線段張角相等,也可以證明它們與某一定點距離相等;如兩點在一條線段異側(cè),則證明它們與線段兩端點連成的凸四邊形對角互補。 例2如圖,在正中,點分別在邊上,且,相交于點.求證: (Ⅰ)四點共圓; (Ⅱ). 【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)見解析. 【解析】 平面幾何中有關(guān)角與比例線段問題的求解方法 (1)與切線有關(guān)的角度問題,應(yīng)考慮應(yīng)用弦切角的性質(zhì)定理求解; (2)與切線有關(guān)的比例式或線段問題,應(yīng)注意利用弦切角,確定三角形相似的條件,若條件不明顯需添加輔助線. (3)與圓有關(guān)的等積線段或成比例的線段,常利用圓周角或弦切角證明三

8、角形相似,在相似三角形中尋找比例線段;也可以利用相交弦定理、切割線定理證明線段成比例,在實際應(yīng)用中,一般涉及兩條相交弦應(yīng)首先考慮相交弦定理,涉及兩條割線就要想到割線定理,見到切線和割線時要注意應(yīng)用切割線定理. 例3過點作圓的割線與切線為切點,連接,的平分線與,分別交于點. (1)求證:; (2)若求的大?。? 【答案】(1)見解析;(2) 【解析】 【練一練提升能力】 1. 如圖,為⊙的兩條切線,切點分別為,過的中點作割線交⊙于兩點,若則 . 分析:根據(jù)切割線定理得,變形即得. 【解析】由切割線定理得,所以,所以. 2. 如圖,為⊙外一點,交⊙于,

9、,切⊙于為線段的中點,交⊙于,線段的延長線與⊙交于,連接.求證: (Ⅰ)∽; (Ⅱ). 【答案】詳見解析. 【解析】 極坐標(biāo)與參數(shù)方程 【背一背重點知識】 1.平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換: 2.極坐標(biāo)系 (1)極坐標(biāo)系的概念:平面內(nèi)取一個定點,叫做極點,自極點引一條射線,叫做極軸;再選定一個長度單位,一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向),這樣就建立了一個極坐標(biāo)系.設(shè)M是平面內(nèi)一點,極點與點M的距離|OM|叫做點M的極徑,記為;以極軸為始邊,射線為終邊的角叫做點M的極角,記為.有序數(shù)對叫做點M的極坐標(biāo),記作. (2)直角坐標(biāo)與極

10、坐標(biāo)的互化:把直角坐標(biāo)系的原點作為極點,x軸的正半軸作為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位.設(shè)是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點,它的直角坐標(biāo)是,極坐標(biāo)是,則極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表: 點 直角坐標(biāo) 極坐標(biāo) 互化公式 (3) 常見曲線的極坐標(biāo)方程: 曲線 圖形 極坐標(biāo)方程 圓心在極點,半徑為的圓 圓心為,半徑為的圓 圓心為,半徑為的圓 過極點,傾斜角為的直線 (1) (2) 過點,與極軸垂直的直線 過點,與極軸平行的直線 3、參數(shù)方程 (1)參數(shù)方程的概念:一般地,在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲

11、線上任意一點的坐標(biāo)都是某個變數(shù)的函數(shù)①,并且對于的每一個允許值,由方程組①所確定的點都在這條曲線上,那么方程①就叫做這條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系變數(shù)的變數(shù)叫做參變數(shù),簡稱參數(shù),相對于參數(shù)方程而言,直接給出點的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程. (2)參數(shù)方程和普通方程的互化:曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式,一般地可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程.在參數(shù)方程與普通方程的互化中,必須使的取值范圍保持一致. (3)常見曲線的參數(shù)方程: ①圓的參數(shù)方程為 (為參數(shù)); ②橢圓的參數(shù)方程為 (為參數(shù)); ③雙曲線的參數(shù)方程 (為參數(shù)); ④拋物線參數(shù)方程 為參數(shù)); ⑤

12、過定點、傾斜角為的直線的參數(shù)方程(為參數(shù))。 【講一講提高技能】 1、 極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化方法 若極坐標(biāo)系的極點與直角坐標(biāo)系的原點重合,極軸與軸正半軸重合,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位,則極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程可以互化,極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程時通常通過構(gòu)造的形式,其中方程兩邊同乘以或同時平方是常用的變形方法,要注意變形的等價性。 例1以為極點的極坐標(biāo)系中,圓和直線相交于兩點.若是等邊三角形,則的值為___________. 分析:根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式,得到圓、直線的直角坐標(biāo)方程,由是等邊三角形,得到其中一個交點坐標(biāo)為,代入圓的方程即得. 【

13、解析】 2、參數(shù)方程與普通方程的互化方法 ①將參數(shù)方程化為普通方程,需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征,選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒ǎR姷南麉⒎椒ㄓ校捍胂麉⒎?、加減消參法,平方消參法等,對于含三角函數(shù)的參數(shù)方程,常利用同角三角函數(shù)關(guān)系式消參如sin2θ+cos2θ=1等;②將參數(shù)方程化為普通方程時,要注意兩種方程的等價性,不要增解. 例2在直角坐標(biāo)系中,以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線過點的直線(為參數(shù))與曲線相交于點兩點. (1)求曲線的平面直角坐標(biāo)系方程和直線的普通方程; (2)若成等比數(shù)列,求實數(shù)的值. 【答案】(1),;(2). 【解析】 3、利用參數(shù)方程解決

14、問題的方法 ①過定點P0(x0,y0),傾斜角為α的直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式為 (t為參數(shù)),t的幾何意義是直線上的點P到點P0(x0,y0)的數(shù)量,即t=|PP0|時為距離.使用該式時直線上任意兩點P1、P2對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2,則|P1P2|=|t1-t2|,P1P2的中點對應(yīng)的參數(shù)為(t1+t2). ②對于形如 (t為參數(shù)),當(dāng)a2+b2≠1時,應(yīng)先化為標(biāo)準(zhǔn)形式后才能利用t的幾何意義解題. ③解決直線與圓、圓錐曲線的參數(shù)方程有關(guān)的綜合問題時,要注意普通方程與參數(shù)方程的互化公式,主要是通過互化解決與圓、圓錐曲線上動點有關(guān)的問題,如最值、范圍等. 例3在極坐標(biāo)系中,已知曲線,為曲線

15、上的動點,定點. (1)將曲線的方程化成直角坐標(biāo)方程,并說明它是什么曲線; (2)求、兩點的最短距離. 【答案】(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為:且曲線是以為圓心,為半徑的圓;(2). 【解析】 【練一練提升能力】 1. 在直角坐標(biāo)系xoy中,以坐標(biāo)原點為極點,x軸為極軸建立極坐標(biāo)系,半圓C的極坐標(biāo)方程為, . (Ⅰ)求C的參數(shù)方程; (Ⅱ)設(shè)點D在C上,C在D處的切線與直線垂直,根據(jù)(Ⅰ)中你得到的參數(shù)方程,確定D的坐標(biāo). 【答案】(Ⅰ)是參數(shù),;(Ⅱ) 【解析】(Ⅰ)設(shè)點M是C上任意一點,則由可得C的普通方程為:, 即, 所以C的參數(shù)方程為是參數(shù),. (Ⅱ)設(shè)D點坐

16、標(biāo)為,由(Ⅰ)知C是以G(1,0)為圓心,1為半徑的上半圓, 因為C在點D處的切線與垂直,所以直線GD與的斜率相同,,, 故D點的直角坐標(biāo)為,即. 2. 已知曲線,直線:(為參數(shù)). (I)寫出曲線的參數(shù)方程,直線的普通方程; (II)過曲線上任意一點作與夾角為的直線,交于點,的最大值與最小值. 【答案】(I);(II)最大值為,最小值為. 【解析】 不等式選講 【背一背重點知識】 1. 三個正數(shù)的算術(shù)——幾何平均不等式: (1)定理3:如果a,b,c∈ ,那么,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立. 即三個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)

17、. (2) 基本不等式的推廣:對于n個正數(shù)a1,a2,…,an,它們的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù),即,當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an 時,等號成立. 2. 柯西不等式: (1)二維形式:若a,b,c,d都是實數(shù),則(a2+b2)(c2+d2)≥ (ac+bd)2,當(dāng)且僅當(dāng) 時,等號成立. (2)向量形式:設(shè)α、β是兩個向量,則|α·β|≤|α||β|,當(dāng)且僅當(dāng)β是向量或存在實數(shù)k使α=kβ時等號成立. (3)一般形式:設(shè)a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是實數(shù),則(a+a+…+a)(b+b+…+b)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,當(dāng)且僅當(dāng)=

18、0 (i=1,2,…,n)或存在一個實數(shù)k,使得 (i=1,2,…,n)時,等號成立. (4)二維形式的柯西不等式變式:①·≥|ac+bd|; ②·≥|ac|+|bd|. 3. 排序不等式: (1) 亂序和、反序和與順序和:設(shè)a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn∈R,且a1≤a2≤a3≤…≤an,b1≤b2≤b3≤…≤bn,設(shè)c1,c2,c3,…,cn是數(shù)組b1,b2,b3,…,bn的任意一個排列,則分別將S=a1c1+a2c2+a3c3+…+ancn,S1=a1bn+a2bn-1+a3bn-2

19、+…+anb1,S2=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn稱為數(shù)組(a1,a2,a3,…,an)和數(shù)組(b1,b2,b3,…,bn)的亂序和,反序和,與順序和. (2)排序不等式(又稱排序原理):設(shè)a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤b3≤…≤bn為兩組實數(shù),c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,則a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1c1+a2c2+…+ancn≤a1b1+a2b2+…+anbn,當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn時,反序和等于亂序和等于順序和. 4. 絕對值不等式: (1)定理1:如果a,b是實數(shù),則|a+b|≤|a|+|b|

20、,當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時,等號成立. (2)定理2:如果a,b,c是實數(shù),那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,當(dāng)且僅當(dāng) 時,等號成立. 【講一講提高技能】 1、 絕對值不等式的解法 (1) |ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:①|(zhì)ax+b|≤c(c>0)-c≤ax+b≤c;②|ax+b|≥c(c>0)ax+b≥c或ax+b≤-c。 (2) 、|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法:①分段討論法:利用絕對值號內(nèi)式子對應(yīng)方程的根,將數(shù)軸分為(-∞,a],(a,b],(b,+∞)(此處設(shè)a<

21、b)三個部分,在每個部分上去掉絕對值號分別列出對應(yīng)的不等式求解,然后取各個不等式解集的并集;②幾何法:利用|x-a|+|x-b|>c(c>0)的幾何意義:數(shù)軸上到點x1=a和x2=b的距離之和大于c的全體,|x-a|+|x-b|≥|x-a-(x-b)|=|a-b|;③圖象法:作出函數(shù)y1=|x-a|+|x-b|和y2=c的圖象,結(jié)合圖象求解.注意求解的過程中應(yīng)同解變形 . 例1設(shè) (Ⅰ)當(dāng),解不等式; (Ⅱ)當(dāng)時,若,使得不等式成立,求實數(shù)的取值范圍. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ) . 【解析】 絕對值不等式的證明 含絕對值不等式的證明題主要分兩類:一類是比較簡單的不等式,往往可通過

22、公式法、平方法、換元法等去掉絕對值轉(zhuǎn)化為常見的不等式證明題,或利用絕對值三角不等式性質(zhì)定理: ||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,通過適當(dāng)?shù)奶?、拆項證明;另一類是綜合性較強的函數(shù)型含絕對值的不等式,往往可考慮利用一般情況成立則特殊情況也成立的思想,或利用一元二次方程的根的分布等方法來證明. 例2已知函數(shù). (1)當(dāng)時,求不等式的解集; (2)若的解集包含,求實數(shù)的取值范圍. 【答案】(1);(2). 【解析】 3、不等式證明的基本方法:比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法。 例3已知,證明 分析:直接利用算術(shù)-幾何平均不等式可得,,兩式相乘即得要證不等式. 【

23、解析】∵,∴,, ∴. 【練一練提升能力】 1. 已知,函數(shù)的最小值為4. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求的最小值. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ). 【解析】 2.設(shè)a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=1,證明: (1)++≤; (2). 【答案】(略) 【解析】(1)由, 得. 由題設(shè)得,即. 所以3()1,即. (2)因為,,, 故≥2(a+b+c), 即≥a+b+c. 所以≥1. 解答題(共10題) 1.如圖,是的一條切線,切點為B,ADE,CFD和CGE都是的割線,. (1)證明:; (2)證明: 【答案】(1)證明略;(2

24、)證明略. 【解析】 (2)由(1)知, 又 ,∴ ,∴ 又四邊形DEGF為圓內(nèi)接四邊形,∴ , ∴,∴ . 2.如圖,已知切⊙于點E,割線PBA交⊙于A、B兩點,∠APE的平分線和AE、BE分別交于點C、D. 求證:(Ⅰ); (Ⅱ). 【解析】 3、如圖,垂直于于,垂直于,連接.證明: (I) (II) 【解析】 4、已知曲線的參數(shù)方程為(其中為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為. (1)分別寫出曲線與曲線的普通方程; (2)若曲線與曲線交于兩點,求線段的長. 【答案】(1),;(2

25、). 【解析】 試題分析:(1)利用同角三角函數(shù)關(guān)系消去參數(shù),得曲線,利用,得曲線; (2)把曲線和曲線聯(lián)立消去得,結(jié)合弦長公式即可求得弦的長. 試題解析: (1)曲線, 曲線. (2)聯(lián)立,得, 設(shè),則,, 于是. 故線段的長為. 5、已知動點都在曲線為參數(shù)上,對應(yīng)參數(shù)分別為與,為的中點. (Ⅰ)求的軌跡的參數(shù)方程; (Ⅱ)將到坐標(biāo)原點的距離表示為的函數(shù),并判斷的軌跡是否過坐標(biāo)原點. 【解析】 6、在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).在以原點為極點,軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)中,圓的方程為. (1)寫出直線的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程; (2

26、)若點坐標(biāo)為,圓與直線交于兩點,求的值. 【答案】(1),;(2) 【解析】 試題分析:(1)將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的普通方程,需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征,選取恰當(dāng)?shù)南麉⒎椒?,常見的消參方法有:代入消參法、加減消參法、平方消參法;(2)將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程時,要注意兩種方程的等價性,不要增解、漏解,若有范圍限制,要標(biāo)出的取值范圍;(2)直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程,只需把公式及直接代入并化簡即可;而極坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程要通過變形,構(gòu)造形如,,的形式,進行整體代換,其中方程的兩邊同乘以(或同除以)及方程的兩邊平方是常用的變形方法. 7、設(shè)不等式的解集為,且,. (1)

27、求的值; (2)求函數(shù)的最小值. 【解析】(Ⅰ)因為,且,所以,且 解得,又因為,所以 (Ⅱ)因為 當(dāng)且僅當(dāng),即時取得等號,所以的最小值為 8、已知函數(shù),,. (1)當(dāng)時,解不等式: ; (2)若且,證明:,并求在等號成立時的取值范圍. 【解析】(1)因為, 9、設(shè)函數(shù). (1)當(dāng)時,解不等式; (2)若的解集為,,求證:. 【答案】(1);(2)見解析. 【解析】 試題分析:(1)當(dāng)時,對原函數(shù)進行分情況解不等式,得到原不等式的解集;(2)根據(jù)的解集為,得到,所以,所以, 利用均值不等式得到,結(jié)論得證. 10、已知函數(shù),其中. (I)當(dāng)時,求不等式的解集; (II)已知關(guān)于的不等式的解集為,求的值. 【解析】當(dāng)時,。,即。 當(dāng)時,,即,解得; 當(dāng)時,,即,不成立; 當(dāng)時,,即,解得。 所以不等式的解集為。…………………………4分 (Ⅱ)解:記,則。

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