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1、2022年高考數(shù)學 函數(shù)與方程思想專題突破教案
典例分析:
1、記函數(shù)f(x)=的定義域為A, g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1) 的定義域為B.
(1) 求A;
(2) 若BA, 求實數(shù)a的取值范圍. (難度:★)
解:(1)2-≥0, 得≥0, x<-1或x≥1
即A=(-∞,-1)∪[1,+ ∞)
(2) 由(x-a-1)(2a-x)>0, 得(x-a-1)(x-2a)<0.
∵a<1,∴a+1>2a, ∴B=(2a,a+1).
∵BA, ∴2a≥1或a+1≤-1, 即a≥或a≤-2, 而a<1
2、,
∴≤a<1或a≤-2, 故當BA時, 實數(shù)a的取值范圍是(-∞,-2]∪[,1)
2、已知函數(shù),常數(shù).
(1)討論函數(shù)的奇偶性,并說明理由;
(2)若函數(shù)在上為增函數(shù),求的取值范圍.
解:(1)當時,,
對任意,, 為偶函數(shù).
當時,,
取,得 ,
,
函數(shù)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).
(2)解法一:設(shè),
,
要使函數(shù)在上為增函數(shù),必須恒成立.
,即恒成立.
又,.
的取值范圍是.
解法二:當時,,顯然在為增函數(shù)
3、.
當時,反比例函數(shù)在為增函數(shù),
在為增函數(shù).
當時,同解法一. (難度★★★)
已知函數(shù)f(x)和g(x)的圖象關(guān)于原點對稱,且f(x)=x2+2x.
(Ⅰ)求函數(shù)g(x)的解析式;
(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|;
(Ⅲ)若h(x)=g(x)-f(x)+1在[-1,1]上是增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
解:(I)設(shè)函數(shù)的圖象上任一點關(guān)于原點的對稱點為,
則 即 .
∵點在函數(shù)的圖象上.
即 故g(x)=.
(II)由可得:
當1時,
此時不等式無解。
4、
當時,
因此,原不等式的解集為[-1, ].
(III)
① 當時,=在[-1,1]上是增函數(shù),
②當時,對稱軸的方程為
(i) 當時,,解得。
(ii) 當時,1時,解得
綜上, (難度★★★)
設(shè)函數(shù)在上滿足,,且在閉區(qū)間[0,7]上,只有.
(Ⅰ)試判斷函數(shù)的奇偶性;
(Ⅱ)試求方程=0在閉區(qū)間[-xx,xx]上的根的個數(shù),并證明你的結(jié)論.
.解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函數(shù)的對稱軸為,
從而知函數(shù)不是奇函數(shù),
由
,
5、從而知函數(shù)的周期為
又,故函數(shù)是非奇非偶函數(shù);
I)
(II) 又
故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有兩個解,從而可知函數(shù)在[0,xx]上有402個解,在[-xx.0]上有400個解,所以函數(shù)在[-xx,xx]上有802個解. (難度★★★★)
3、設(shè)(且),g(x)是f(x)的反函數(shù).
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)當時,恒有成立,求t的取值范圍;(難度★★★)
4、已知函數(shù)
(I)求在區(qū)間上的最大值
(II)是否存在實數(shù)使得的圖象與的圖象有且只有三個不同的交點?若存在,求出的取值范圍;若不存在,說明理由。
分析:本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、
6、最值等基本知識,考查運用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法,考查運算能力,考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合等數(shù)學思想方法和分析問題、解決問題的能力。滿分12分。
解:(I)
當即時,在上單調(diào)遞增,
當即時,
當時,在上單調(diào)遞減,
綜上,
(II)函數(shù)的圖象與的圖象有且只有三個不同的交點,即函數(shù)
的圖象與軸的正半軸有且只有三個不同的交點。
當時,是增函數(shù);
當時,是減函數(shù);
當時,是增函數(shù);
當或時,
當充分接近0時,當充分大時,
要使的圖象與軸正半軸有三個不同的交點,必須且只須
即
所以存在實數(shù),使得函數(shù)與的圖
7、象有且只有三個不同的交點,的取值范圍為 (難度★★★★)
5、已知函數(shù)在點x0處取得極大值5,其導函數(shù)的圖象經(jīng)過點(1,0),(2,0)如圖所示,求
(I)x0的值;
(II)a ,b ,c的值。 (難度★★)
=========================================================================
6、已知函數(shù),其中.
(Ⅰ)當時,求曲線在點處的切線方程;
(Ⅱ)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.
分析:本小題考查導數(shù)的
8、幾何意義,兩個函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值等基礎(chǔ)知識,考查運算能力及分類討論的思想方法.滿分12分.
(Ⅰ)解:當時,,,
又,.
所以,曲線在點處的切線方程為,
即.
(Ⅱ)解:.
由于,以下分兩種情況討論.
(1)當時,令,得到,.當變化時,的變化情況如下表:
0
0
極小值
極大值
所以在區(qū)間,內(nèi)為減函數(shù),在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù).
函數(shù)在處取得極小值,且,
函數(shù)在處取得極大值,且.
(2)當時,令,得到,當變化時,的變化情況如下表:
0
9、0
極大值
極小值
所以在區(qū)間,內(nèi)為增函數(shù),在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù).
函數(shù)在處取得極大值,且.
函數(shù)在處取得極小值,且.
已知函數(shù)的圖象在點M(-1,f(x))處的切線方程為x+2y+5=0.
(Ⅰ)求函數(shù)y=f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.
解:(1)由函數(shù)f(x)的圖象在點M(-1f(-1))處的 切線方程為x+2y+5=0,知
(難度★★)
設(shè)函數(shù),曲線在點處的切線方程為.
(1)求的解析式;
(2)證明:曲線的圖像是一個中心對稱圖形,并求其對稱中心;
(3)證明:曲線上任一點處的切線與直線和直
10、線所圍三角形的面積為定值,并求出此定值.
【解析】:(Ⅰ),
于是解得或因,故.
(II)證明:已知函數(shù)都是奇函數(shù),
所以函數(shù)也是奇函數(shù),其圖像是以原點為中心的中心對稱圖形。
而函數(shù)。
可知,函數(shù)的圖像按向量a=(1,1)平移,即得到函數(shù)的圖象,故函數(shù)的圖像是以點(1,1)為中心的中心對稱圖形。
(III)證明:在曲線上任一點.
由知,過此點的切線方程為.
令得,切線與直線交點為.
令得,切線與直線交點為.
直線與直線的交點為(1,1).
從而所圍三角形的面積為.
所以, 所圍三角形的面積為定值2.
【點評】:本題是函數(shù)與導數(shù)的綜合題,主要考查導數(shù)的應(yīng)用,以
11、及函數(shù)的有關(guān)性質(zhì),以及函數(shù)與方程的思想,以及分析問題與解決問題的能力. (難度★★★)
7、已知求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. (難度★★)
解:函數(shù)f(x)的導數(shù):
(I)當a=0時,若x<0,則<0,若x>0,則>0.
所以當a=0時,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)為減函數(shù),在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)為增函數(shù).
(II)當
由
所以,當a>0時,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,-)內(nèi)為增函數(shù),在區(qū)間(-,0)內(nèi)為減函數(shù),在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)為增函數(shù);
(III)當a<0時,由2x+
12、ax2>0,解得0-.
所以當a<0時,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)為減函數(shù),在區(qū)間(0,-)內(nèi)為增函數(shù),在區(qū)間(-,+∞)內(nèi)為減函數(shù).
已知函數(shù),.
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù),求的取值范圍.
解:(1)求導:
當時,,,在上遞增
當,求得兩根為
即在遞增,遞減,
遞增
(2),且解得: (難度★★★)
8、設(shè)為實數(shù),函數(shù)。
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間與極值;
(Ⅱ)求證:當且時,。 (難度★★)
設(shè)函數(shù)f(x)=(x+1)ln(x+1),若對所有的
13、x≥0,都有f(x)≥ax成立,求實數(shù)a的取值范圍.
解法一:
令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,
對函數(shù)g(x)求導數(shù):g′(x)=ln(x+1)+1-a
令g′(x)=0,解得x=ea-1-1, 5分
(i)當a≤1時,對所有x>0,g′(x)>0,所以g(x)在[0,+∞)上是增函數(shù),
又g(0)=0,所以對x≥0,都有g(shù)(x)≥g(0),
即當a≤1時,對于所有x≥0,都有 f(x)≥ax. 9分
(ii)當a>1時,對于0<x<ea-1-1,g′(x)<0,所以g(x)在(0,ea-1-1)是減函數(shù),
又g(0)=0,所以對0
14、<x<ea-1-1,都有g(shù)(x)<g(0),
即當a>1時,不是對所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立.
綜上,a的取值范圍是(-∞,1]. ……12分
解法二:令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,
于是不等式f(x)≥ax成立即為g(x)≥g(0)成立. ……3分
對函數(shù)g(x)求導數(shù):g′(x)=ln(x+1)+1-a
令g′(x)=0,解得x=ea-1-1, ……6分
當x> ea-1-1時,g′(x)>0,g(x)為增函數(shù),
當-1<x<ea-1-1,g′(x)<0,g(x)為減函數(shù), 9分
所以要對所有x≥0都有g(shù)
15、(x)≥g(0)充要條件為ea-1-1≤0.
由此得a≤1,即a的取值范圍是(-∞,1].
9、已知函數(shù),的導函數(shù)是,對任意兩個不相等的正數(shù),證明:
(Ⅰ)當時,
(Ⅱ)當時,
分析:本小題主要考查導數(shù)的基本性質(zhì)和應(yīng)用,函數(shù)的性質(zhì)和平均值不等式等知識及綜合分析、推理論證的能力,滿分14分。
證明:(Ⅰ)由
得
而 ①
又
∴ ②
∵ ∴
16、
∵ ∴ ③
由①、②、③得
即
(Ⅱ)證法一:由,得
∴
下面證明對任意兩個不相等的正數(shù),有恒成立
即證成立
∵
設(shè),則
令得,列表如下:
極小值
∴
∴對任意兩個不相等的正數(shù),恒有
證法二:由,得
∴
∵是兩個不相等的正數(shù)
∴
設(shè),
則,列表:
極小值
∴ 即
∴
即對任意兩個不相等的正數(shù),恒有
已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最大值;
(Ⅱ)設(shè)0
17、)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.
分析:本小題主要考查導數(shù)的基本性質(zhì)和應(yīng)用、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)和平均值不等式等知識以及綜合推理論證的能力,滿分14分.
(Ⅰ)解:函數(shù)的定義域為.
令
當 當 又
故當且僅當x=0時,取得最大值,最大值為0.
(Ⅱ)證法一:
由(Ⅰ)結(jié)論知
由題設(shè)
因此
所以
又
綜上
證法二:
設(shè)
則
當 在此內(nèi)為減函數(shù).
當上為增函數(shù).
從而,當有極小值
因此 即
設(shè) 則
當 因此上為減函數(shù).
因為
即
已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.
(Ⅰ)用表示出,;
(Ⅱ)若在上恒成立,求的取值范圍;
(Ⅲ)證明:1+++…+>+)(n≥1).