2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題探究課三習(xí)題 理 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題探究課三習(xí)題 理 新人教A版 1.(xx·山西質(zhì)量監(jiān)測(cè))在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1·an＝an－an＋1. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若bn＝lg，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 解　(1)由題意得－＝1，又因?yàn)閍1＝1，所以＝1. 所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以＝n，即an＝. 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝. (2)由(1)得bn＝lg n－lg(n＋2)， 所以Sn＝lg 1－lg 3＋lg 2－lg 4＋lg 3－lg 5＋…＋ lg(n－2)－lg n＋lg(n－1)－lg(n＋1)＋lg n

2、－lg(n＋2) ＝lg 1＋lg 2－lg(n＋1)－lg(n＋2)＝lg. 2.(xx·安徽卷)設(shè)n∈N*，xn是曲線y＝x2n＋2＋1在點(diǎn)(1，2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo). (1)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式； (2)記Tn＝xx…x，證明：Tn≥. (1)解　y′＝(x2n＋2＋1)′＝(2n＋2)x2n＋1，曲線y＝x2n＋2＋1在點(diǎn)(1，2)處的切線斜率為2n＋2， 從而切線方程為y－2＝(2n＋2)(x－1). 令y＝0，解得切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)xn＝1－＝.所以數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式為xn＝. (2)證明　由題設(shè)和(1)中的計(jì)算結(jié)果知 Tn＝xx…x＝….

3、 當(dāng)n＝1時(shí)，T1＝. 當(dāng)n≥2時(shí)，因?yàn)閤＝＝>＝＝. 所以Tn>×××…×＝. 綜上可得對(duì)任意的n∈N*，均有Tn≥. 3.(xx·石家莊一模)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，an＋1＝λSn＋1(n∈N*，且λ≠－1)，且a1，2a2，a3＋3為等差數(shù)列{bn}的前三項(xiàng). (1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和. 解　(1)法一　∵an＋1＝λSn＋1(n∈N*)， ∴an＝λSn－1＋1(n≥2). ∴an＋1－an＝λan，即an＋1＝(λ＋1)an(n≥2)，λ＋1≠0， 又a1＝1，a2＝λS1＋1＝λ＋1，

4、∴數(shù)列{an}為以1為首項(xiàng)，公比為λ＋1的等比數(shù)列， ∴a3＝(λ＋1)2，∴4(λ＋1)＝1＋(λ＋1)2＋3， 整理得λ2－2λ＋1＝0，得λ＝1. ∴an＝2n－1，bn＝1＋3(n－1)＝3n－2. 法二　∵a1＝1，an＋1＝λSn＋1(n∈N*)， ∴a2＝λS1＋1＝λ＋1，a3＝λS2＋1＝λ(1＋λ＋1)＋1＝λ2＋2λ＋1.∴4(λ＋1)＝1＋λ2＋2λ＋1＋3， 整理得λ2－2λ＋1＝0，得λ＝1. ∴an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，∴an＝Sn－1＋1(n≥2)， ∴an＋1－an＝an，即an＋1＝2an(n≥2)，又a1＝1，a2＝2， ∴數(shù)列{a

5、n}為以1為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列， ∴an＝2n－1，bn＝1＋3(n－1)＝3n－2. (2)設(shè)數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和為Tn，anbn＝(3n－2)·2n－1， ∴Tn＝1·1＋4·21＋7·22＋…＋(3n－2)·2n－1.① ∴2Tn＝1·21＋4·22＋7·23＋…＋(3n－5)·2n－1＋(3n－2)·2n.② ①－②得－Tn＝1·1＋3·21＋3·22＋…＋3·2n－1－(3n－2)·2n＝1＋3·－(3n－2)·2n. 整理得Tn＝(3n－5)·2n＋5. 4.(xx·南昌模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，S3＝6，正項(xiàng)數(shù)列{bn}滿足b

6、1·b2·b3·…·bn＝2Sn. (1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式； (2)若λbn＞an，對(duì)n∈N*均成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍. 解　(1)∵等差數(shù)列{an}中，a1＝1，S3＝6， ∴d＝1，故an＝n. 由 ①÷②得bn＝2Sn－Sn－1＝2an＝2n(n≥2)， b1＝2S1＝21＝2，滿足通項(xiàng)公式，故bn＝2n. (2)λbn＞an恒成立，即λ＞恒成立， 設(shè)cn＝，則＝， 當(dāng)n≥1時(shí)，cn＋1≤cn，{cn}單調(diào)遞減， ∴(cn)max＝c1＝，故λ＞， ∴λ的取值范圍是. 5.(xx·廣東六校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝1－，數(shù)

7、列{bn}滿足bn＝(n∈N*). (1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式； (2)證明：＋＋…＋＜7. (1)解　由題意得an＋1＋1＝2－＝， bn＋1＝＝＝＝＋＝bn＋. 又b1＝，∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列， ∴bn＝. (2)證明　當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝＝4＜7不等式成立； 當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝＋＝4＋1＝5＜7不等式成立； 當(dāng)n≥3時(shí)，＝＜＝4， 左邊＝＋＋…＋＜4＋1＋4 ＝5＋4＝7－＜7. ∴＋＋…＋＜7. 6.(xx·湖北八校聯(lián)考二)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，滿足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3. (1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式； (2)令cn＝設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，求T2n. 解　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d， 數(shù)列{bn}的公比為q，則 即解得 所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝2n－1. (2)由a1＝3，an＝2n＋1得Sn＝＝n(n＋2)， 則cn＝即cn＝ ∴T2n＝(c1＋c3＋…＋c2n－1)＋(c2＋c4＋…＋c2n) ＝ ＋(2＋23＋…＋22n－1) ＝1－＋＝＋(4n－1).