中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第四講 一元二次方程式的判別式學(xué)案 新人教版

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1、中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第四講 一元二次方程式的判別式學(xué)案 新人教版 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.體驗一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式Δ=b2-4ac 判根的作用。 2.探索一元二次方程的各種情況。 【知識框圖】 不解方程判根 ax2+bx+c=o Δ=b2-4ac 應(yīng)用 已知方程根的情況確定方程的字母系數(shù) 求證

2、方程有根的狀況 典型例題 例1.不解方程判定下列方程是否有實(shí)數(shù)根。 (1)2x2+x-1=0 (2)3x2+ = x (3)y(2y+5)=2(y- 1) (4)1998m2- 2002m- 2003=0 解:(1)∵Δ=12- 4×2×(-1)=9>0 ∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。 (2)方程可化為 3x2- x+ =0 ∵Δ=6- 3×4× =

3、0 ∴方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根。 (3)方程可化為2y2+3y+2=0 ∵Δ=9- 4×2×2= -7<0 ∴方程沒有實(shí)數(shù)根。 (4)∵ac<0 ∴b2-4ac>0 ∴方程必有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。 評注:(1)判定方程是否有實(shí)數(shù)根,只要通過計算Δ的值,就能確定; (2)當(dāng)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,a,c異號時,必有b2-4ac >0。 例2:當(dāng)k為何值時,關(guān)于x的方程x2+(1- 2k)x+k2- 1=0 (1)有兩個相等的實(shí)數(shù)根;(2)

4、有兩個不相等的實(shí)數(shù)根;(3)沒有實(shí)數(shù)根。 解:∵Δ=(1- 2k)2- 4(k2- 1)= - 4k+5 (1)∵方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根 ∴Δ=0 即-4k+5=0 ∴k= 當(dāng)k= 時方程有兩個相等實(shí)數(shù)根。 (2)∵方程有兩相不相等的實(shí)數(shù)根 ∴Δ>0 即- 4k+5>0 ∴ k< 當(dāng)k < 時方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。 (3)∵方程沒有實(shí)數(shù)根

5、 ∴Δ<0 即-4k+5<0 ∴ k> 當(dāng)k> 時方程沒有實(shí)數(shù)根 評注:若已知方程根的情況,則可通過Δ已確定的符號(Δ>0或Δ=0或Δ<0等)列式,計算待定系數(shù)的值或確定取值范圍。 例3:求證:不論k取什么實(shí)數(shù),方程x2-(k+6)x+4(k- 3)=0一定有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。 證明:∵Δ=k2-4k+84 =(k-2) 2+80 ∵(k-2) 2≥0 ∴ (k-2) 2+80>0 ∴Δ>0 ∴不論k取什么實(shí)數(shù),方程一定有

6、兩個不相等的實(shí)數(shù)根。 評注:(1)要證明方程根的情況,只需通過判斷Δ的符號即可; (2)判定Δ的符號卻常常使用配方技巧或因式分解等。 例4:當(dāng)k取何值時,方程(k-1)x2 - x+1=0有實(shí)根。 解:(1)當(dāng)k=1時方程可化為-x+1=0,x=1 (2)當(dāng)k≠1時,Δ≥0 Δ=k-4(k-1)= -3k+4≥0 ∴ k≤ 又要使 有意義 ∴k≥0 ∴0≤k≤ 且k≠1 綜合所述當(dāng)0≤k≤ 時方程有實(shí)數(shù)根。 評注:(1)本題中對于“方程有實(shí)數(shù)根”

7、的含義的理解是關(guān)鍵,應(yīng)分類討論; (2)解題時要注意方程中待定系數(shù)本身的取值范圍:這里k≥0。 【選講例題】 例5:方程 + + =0只有一個實(shí)數(shù)根(等根視為一根),求a的值。 解:方程化簡x2+(x-2) 2+2x-a=0 2x-2x+4-a=0 (1)若Δ=0,Δ=4-2×4×(4-a)=0 即 2a-7=0, a= 此時方程為2x2-2x+ =0, 此時方程的根為x1=x2= 符合題意。 (2)若Δ>0則要使原方程只有一

8、個實(shí)數(shù)根,必須是方程2x 2-2x+4-a=0 中有一根為增根 <1>當(dāng)增根為x=0時,a=4,此時方程2x 2-2x=0 x1=0, x2=1,符合原方程只有一個實(shí)數(shù)根。 <2>當(dāng)增根為x=2時,2×4-2×2+4-a=0 ∴a=8 此時方程為2x2-2x+4=0 ∴x1=2, x2= -1 ,符合原方程只有一個實(shí)數(shù)根。 綜上所述a的值為 、4或8。 評注:(1)本題主體思想是通過方程的根進(jìn)行分類討論; (2)對化簡后方程有

9、兩個不相等的實(shí)數(shù)根,通過增根求出待定系數(shù)后再檢驗; (3)若化簡后二次項系數(shù)是有關(guān)a的代數(shù)式,則還要進(jìn)行方程類別的討論。 【課堂小結(jié)】 本節(jié)內(nèi)容主要學(xué)習(xí)了一元二次方程的根的判別式Δ及其作用,主要體現(xiàn)在Δ>0,Δ=0和Δ<0時,對方程的解的影響。只要涉及到方程解的情況討論時,Δ是主要討論的內(nèi)容,同時也不可忽視Δ使用的前提:二次項系數(shù)不能為零。 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1.選擇題 (1)若方程x2-2x+m=0沒有實(shí)數(shù)根,則m的取值范圍是( ) A.m>1 B.m=1 C.m<1 D.任何實(shí)數(shù) (2)若一

10、元二次方程根的判別式Δ=(m-1) 2,則下列說法不正確的是( ) A. 一定有兩個實(shí)數(shù)根 B.一定有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 C.當(dāng)m<1沒有實(shí)數(shù)根 D.以上說法都不正確 2.填空題 (1)方程x2-3x-4=0的判別式Δ=__________. (2)若方程(x+2) 2+(y-2) 2=0,則x+y=_________. 3.m為何值時,一元二次方程2mx2+(8m+1)x+8m=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。 4. 已知a、b、c為三角形三邊長,且方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根。 求證:三角形是直角三角形

11、。 5.已知二次函數(shù)y=x2-2(m+1)x+m2-1與x軸有兩個交點(diǎn),求m的取值范圍。 【鞏固練習(xí)】 1.選擇題 (1)方程x2+3x+6=0與x2-6x+3=0 的所有實(shí)根的乘積等于( ) A.-18 B.18 C.-3 D.3 (2)若關(guān)于x的方程x2-2 x-1=0有兩個不相等的實(shí)根,則k的取值范圍是( ) A.k≥0 B.k>0 C.k>-1 D. k≥-1 2.填空題 (1)一元二次方程x2-3x-m=

12、0有兩個相等的實(shí)根,則m的值為____________。 (2)若關(guān)于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k-1=0有兩個實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍是____________。 3. 已知關(guān)于x的方程(k-2)x2-2(k-1)x+k+1=0且k≤3 (1)求證:此方程總有實(shí)根; (2)當(dāng)方程有兩實(shí)數(shù)根,且兩實(shí)根的平方和等于4時,求k的值。 4. 已知等腰三角形的兩邊長a、b是方程x2-kx+12=0的兩根,另一條邊長c =4,求k的值。 5.已知方程組 有兩組不相等的實(shí)數(shù)解,求a的取值范圍。 6.若方程x2+2px-q=0(p、q是實(shí)數(shù))沒有實(shí)數(shù)根。(1)求證:p+q< (2)試寫出上述命題的逆命題; (3)判斷(2)中的逆命題是否正確,若正確請加以證明,若不正確,請舉一反例。 【課后反思】

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