九年級數(shù)學(xué)下冊 《二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)》教案 冀教版

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1、九年級數(shù)學(xué)下冊 《二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)》教案 冀教版 課時安排 2課時 從容說課 本節(jié)課在二次函數(shù)y＝ax2和y＝ax2+c的圖象的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究y＝a(x-h)2和y＝a(x-h)2+k的圖象，并探索它們之間的關(guān)系和各自的性質(zhì)．旨在全面掌握所有二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的變化情況．同時對二次函數(shù)的研究，經(jīng)歷了從簡單到復(fù)雜，從特殊到一般的過程：先是從y＝x2開始，然后是y＝ax2，y＝ax2+c，最后是y＝a(x-h)2，y＝a(x-h)2+k，y＝ax2+bx+c．符合學(xué)生的認(rèn)知特點，體會建立二次函數(shù)對稱軸和頂點坐標(biāo)公式的必要性． 在教學(xué)中，主要是讓學(xué)生自己動

2、手畫圖象，通過自己的觀察、交流、對比、概括和反思 等探索活動，使學(xué)生達(dá)到對拋物線自身特點的認(rèn)識和對二次函數(shù)性質(zhì)的理解．并能利用它的性質(zhì)解決問題． 第1課時 課 題 §2．4．1 二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象(一) 教學(xué)目標(biāo) (一)教學(xué)知識點 1．能夠作出函數(shù)y=a(x-h)2和y＝a(x-h)2+k的圖象，并能理解它與y＝ax2的圖象的關(guān)系．理解a，h，k對二次函數(shù)圖象的影響． 2．能夠正確說出y=a(x-h)2+k圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)． (二)能力訓(xùn)練要求 1．通過學(xué)生自己的探索活動，對二次函數(shù)性質(zhì)

3、的研究，達(dá)到對拋物線自身特點的認(rèn)識和對二次函數(shù)性質(zhì)的理解． 2．經(jīng)歷探索二次函數(shù)的圖象的作法和性質(zhì)的過程，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力． (三)情感與價值觀要求 1．經(jīng)歷觀察、猜想、總結(jié)等數(shù)學(xué)活動過程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點． 2．讓學(xué)生學(xué)會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結(jié)果． 教學(xué)重點 1．經(jīng)歷探索二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象的作法和性質(zhì)的過程． 2．能夠作出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的圖象，并能理解它與y＝ax2的圖象的關(guān)系，理解a、h、k對二次函數(shù)圖象的影響．

4、 3．能夠正確說出y＝a(x-h)2+k圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)． 教學(xué)難點 能夠作出y＝a(x-h)2和y＝a(x-h)2+k的圖象，并能夠理解它與y＝ax2的圖象的關(guān)系，理解a、h、k對二次函數(shù)圖象的影響． 教學(xué)方法 探索——比較——總結(jié)法． 教具準(zhǔn)備 投影片四張 第一張：(記作§2．4．1 A) 第二張：(記作§2．4．1 B) 第三張：(記作§2．4．1 C) 第四張：(記作§2．4．1 D) 教學(xué)過程 Ⅰ．創(chuàng)設(shè)問題情境、引入新課 [師]我們已學(xué)習(xí)過兩種類型的二次函數(shù)，即y

5、=ax2與y=ax2+c，知道它們都是軸對稱圖形，對稱軸都是y軸，有最大值或最小值．頂點都是原點．還知道y＝ax2+c的圖象是函數(shù)y=ax2的圖象經(jīng)過上下移動得到的，那么y=ax2的圖象能否左右移動呢?它左右移動后又會得到什么樣的函數(shù)形式，它又有哪些性質(zhì)呢?本節(jié)課我們就來研究有關(guān)問題． Ⅱ．新課講解 一、比較函數(shù)y＝3x2與y＝3(X-1)2的圖象的性質(zhì)． 投影片：(§2．4 A) (1)完成下表，并比較3x2和3(x-1)2的值， 它們之間有什么關(guān)系? X -3 -2 -1 0 1 2 3 4 3x2 3(

6、x-1)2 (2)在下圖中作出二次函數(shù)y＝3(x-1)2的圖象．你是怎樣作的? (3)函數(shù)y＝3(x-1)2的圖象與y=3x2的圖象有什么關(guān)系?它是軸對稱圖形嗎?它的對稱軸和頂點坐標(biāo)分別是什么? (4)x取哪些值時，函數(shù)y＝3(x-1)2的值隨x值的增大而增大?x取哪些值時，函數(shù)y＝3(x-1)2的值隨x值的增大而減小? [師]請大家先自己填表，畫圖象，思考每一個問題，然后互相討論，總結(jié)． [生](1)第二行從左到右依次填：27．12，3，0，3，12，27，48；第三行從左到右依次填48，27，12，3，0，3，12，27．

7、 (2)用描點法作出y＝3(x-1)2的圖象，如上圖． (3)二次函數(shù))y＝3(x-1)2的圖象與y=3x2的圖象形狀相同，開口方向也相同，但對稱軸和頂點坐標(biāo)不同，y＝3(x-1)2的圖象的對稱軸是直線x=1，頂點坐標(biāo)是(1，0)． (4)當(dāng)x>1時，函數(shù)y＝3(x-1)2的值隨x值的增大而增大，x<1時，y＝3(x-1)2的值隨x值的增大而減?。? [師]能否用移動的觀點說明函數(shù)y=3x2與y=3(x-1)2的圖象之間的關(guān)系呢? [生]y=3(x-1)2的圖象可以看成是函數(shù))y＝3x2的圖象整體向右平移得到的. [師]能像上節(jié)課那樣比較它們

8、圖象的性質(zhì)嗎? [生]相同點： a.圖象都中拋物線，且形狀相同，開口方向相同． b. 都是軸對稱圖形． c．都有最小值，最小值都為0． d．在對稱軸左側(cè)，y都隨x的增大而減?。趯ΨQ軸右側(cè)，y都隨x的增大而增大． 不同點： a．對稱軸不同,y＝3x2的對稱軸是y軸y＝3(x-1)2的對稱軸是x＝1． b. 它們的位置不問． c. 它們的頂點坐標(biāo)不同．y＝3x2的頂點坐標(biāo)為(0，0),y＝3(x-1)2的頂點坐標(biāo)為(1，0)， 聯(lián)系： 把函數(shù)y=3x2的圖象向右移動一個單位，則得到函數(shù)y

9、＝3(x-1)2的圖像． 二、做一做 投影片：(§2．4．1 B) 在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝3(x-1)2和y＝3(x-1)2+2的圖象．并比較它們圖象的性質(zhì)． [生]圖象如下 它們的圖象的性質(zhì)比較如下： 相同點： a．圖象都是拋物線，且形狀相同，開口方向相同． b. 都足軸對稱圖形，對稱軸都為x＝1． c. 在對稱軸左側(cè)，y都隨x的增大而減小，在對稱軸右側(cè)，y都隨x的增大而增大． 不同點： a．它們的頂點不同，最值也不同.y＝3(x-1)2的頂點坐標(biāo)為(1．0)，最小值為0．y＝3

10、(x-1)2+2的頂點坐標(biāo)為(1，2)，最小值為2． b. 它們的位置不同． 聯(lián)系： 把函數(shù)y=3(x-1)2的圖象向上平移2個單位，就得到了函數(shù)y＝3(x-1)2+2的圖象． 三、總結(jié)函數(shù)y=3x2，y=3(x-1)2，y＝3(x-1)2+2的圖象之間的關(guān)系． [師]通過上畫的討論，大家能夠總結(jié)出這三種函數(shù)圖象之間的關(guān)系嗎? [生]可以． 二次函數(shù)y＝3x2，y=3(x-1)2，y=3(x-1)2+2的圖象都是拋物線．并且形狀相同，開口方向相同，只是位置不同，頂點不同，對稱軸不同，將函數(shù)y＝3x2的圖象向右平移1個單位，就

11、得到函數(shù)y=3(x-1)2的圖象；再向上平移2個單位，就得到函數(shù)y=3(x-1)2+2的圖象． [師]大家還記得y＝3x2與y＝3x2-1的圖象之間的關(guān)系嗎? [生]記得，把函數(shù)y=3x2向下平移1個平位，就得到函數(shù)y＝3x2-1的圖象． [師]你能系統(tǒng)總結(jié)一下嗎? [生]將函數(shù)y＝3x2的圖象向下移動1個單位，就得到了函數(shù)y=3x2-1的圖象，向上移動1個單位，就得到函數(shù)y＝3x2+1的圖象；將y＝3x2的圖象向右平移動1個單位，就得到函數(shù)y＝3(x-1)2的圖象：向左移動1個單位，就得到函數(shù)y=3(x+1)2的圖象；由函數(shù)y＝3x2向右平移1個單位、

12、再向上平移2個單位，就得到函數(shù)y＝3(x-1)2+2的圖象． [師]下面我們就一般形式來進(jìn)行總結(jié)． 投影片：(§2．4．1 C) 一般地，平移二次函數(shù)y=ax2的圖象便可得到二次函數(shù)為y=ax2+c，y＝a(x-h)2，y=a(x-h)2+k的圖象． (1)將y＝ax2的圖象上下移動便可得到函數(shù)y=ax2+c的圖象，當(dāng)c>0時，向上移動，當(dāng)c<0時，向下移動． (2)將函數(shù)y＝ax2的圖象左右移動便可得到函數(shù)y=a(x-h)2的圖象，當(dāng)h>0時，向右移動，當(dāng)h<0時，向左移動． (3)將函數(shù)y＝ax2的圖象既上下移，又左右移，便可得到函數(shù)y＝a(x-h)2+k的圖象

13、． 因此，這些函數(shù)的圖象都是一條拋物線，它們的開口方向，對稱軸和頂點坐標(biāo)與a，h，k的值有關(guān)． 下面大家經(jīng)過討論之后，填寫下表： y=a(x-h)2+k 開口方向 對稱軸 頂點坐標(biāo) a＞0 a＜0 四、議一議 投影片：(§2，4．1 D) (1)二次函數(shù)y=3(x+1)2的圖象與二次函數(shù)y＝3x2的圖象有什么關(guān)系?它是軸對稱圖形嗎?它的對稱軸和頂點坐標(biāo)分別是什么? (2)二次函數(shù)y=-3(x-2)2+4的圖象與二次函數(shù)y=-3x2的圖象有什么關(guān)系?它是軸對稱圖形嗎?它的對稱軸和頂點坐標(biāo)分別是什么? (3)對于二次函數(shù)y＝3(x+1)2，

14、當(dāng)x取哪些值時，y的值隨x值的增大而增大?當(dāng)x取哪些值時，y的值隨x值的增大而減小?二次函數(shù)y＝3(x+1)2+4呢? [師]在不畫圖象的情況下，你能回答上面的問題嗎? [生](1)二次函數(shù)y＝3(x+1)2的圖象與y＝3x2的圖象形狀相同，開口方向也相同，但對稱軸和頂點坐標(biāo)不同，y=3(x+1)2的圖象的對稱軸是直線x=-1，頂點坐標(biāo)是(-1，0)．只要將y＝3x2的圖象向左平移1個單位，就可以得到y(tǒng)=3(x+1)2的圖象． (2)二次函數(shù)y＝-3(x-2)2+4的圖象與y＝-3x2的圖象形狀相同，只是位置不同，將函數(shù)y＝-3x2的圖象向右平移2個單位，就得到y(tǒng)

15、=-3(x-2)2的圖象，再向上平移4個單位，就得到y(tǒng)=-3(x-2)2+4的圖象y=-3(x-2)2+4的圖象的對稱軸是直線x=2，頂點坐標(biāo)是(2，4)． (3)對于二次函數(shù)y=3(x+1)2和y＝3(x+1)2+4，它們的對稱軸都是x＝-1，當(dāng)x<-1時，y的值隨x值的增大而減??；當(dāng)x>-1時，y的值隨x值的增大而增大． Ⅲ．課堂練習(xí) 隨堂練習(xí) Ⅳ．課時小結(jié) 本節(jié)課進(jìn)一步探究了函數(shù)y=3x2與y＝3(x-1)2，y＝3(x-1)2+2的圖象有什么關(guān)系，對稱軸和頂點坐標(biāo)分別是什么這些問題．并作了歸納總結(jié)．還能利用這個結(jié)果對其他的函數(shù)圖象進(jìn)行討

16、論． Ⅴ．課后作業(yè) 習(xí)題2．4 Ⅵ．活動與探究 二次函數(shù)y=(x+2)2-1與y= (x-1)2+2的圖象是由函數(shù)y＝x2的圖象怎樣移動得到的?它們之間是通過怎樣移動得到的? 解：y＝ (x+2)2-1的圖象是由y=x2的圖象向左平移2個單位，再向下平移1個單位得到的，y＝ (x-1)2+2的圖象是由y=x2的圖象向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到的． y＝ (x+2)2-1的圖象向右平移3個單位，再向上平移3個單位得到y(tǒng)= (x-1)2+2的圖象． y＝ (x-1)2+2的圖象向左平移3個單位，再向下平移3個單位得到

17、y＝ (x+2)2-1的圖象． 板書設(shè)計 §2.4．1 二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象(一) 一、1. 比較函數(shù)y＝3x2與y＝3(x-1)2的 圖象和性質(zhì)(投影片§2．4．1 A) 2．做一做(投影片§2．4．1 B) 3．總結(jié)函數(shù)y＝3x2，y=3(x-1)2y= 3(x-1)2+2的圖象之間的關(guān)系(投影片§2．4．1 C) 4．議一議(投影片§2．4．1 D) 二、課堂練習(xí) 1．隨堂練習(xí) 2．補充練習(xí) 三、課時小結(jié) 四、課后作業(yè) 備課資料 參考練習(xí) 在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=-x2,y=-x2-1,y=-(x

18、+1)2-1的圖象，并討論它們的性質(zhì)與位置關(guān)系． 解：圖象略 它們都是拋物線，且開口方向都向下；對稱軸分別為y軸y軸，直線x=-1；頂點坐標(biāo)分別為(0，0)，(0，-1)，(-1，-1)． y=-x2的圖象向下移動1個單位得到y(tǒng)=-x2-1 的圖象；y=-x2的圖象向左移動1個單位，向下移動1個單位，得到y(tǒng)＝-(x+1)2-1的圖象． 第2課時 課 題 §2．4．2 二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象(二) 教學(xué)目標(biāo) (一)教學(xué)知識點 1．體會建立二次函數(shù)對稱軸和頂點坐標(biāo)公式的必要性．

19、 2．能夠利用二次函數(shù)的對稱軸和頂點坐標(biāo)公式解決問題． (二)能力訓(xùn)練要求 1．通過解決實際問題，讓學(xué)生訓(xùn)練把教學(xué)知識運用于實踐的能力． 2．通過學(xué)生合作交流來解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的合作交流能力． (三)情感與價值觀要求 1．經(jīng)歷將一些實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的過程，掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和基本技能，并能解決簡單的問題． 2．初步認(rèn)識數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系及對人類歷史發(fā)展的作用． 教學(xué)重點 運用二次函數(shù)的對稱軸和頂點坐標(biāo)公式解決實際問題． 教學(xué)難點 把數(shù)學(xué)問題與實際問題相聯(lián)系的過程． 教學(xué)方法 講解法．

20、 教具準(zhǔn)備 投影片三張 第一張：(記作§2．4．2 A) 第二張：(記作§2．4．2 B) 第三張：(記作§2．4．2 C) 教學(xué)過程 Ⅰ．創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課 [師]上節(jié)課我們主要討論了相關(guān)函數(shù)y＝ax2，y=a(x-h)2，y＝a(x-h)+k的圖象的有關(guān)性質(zhì)，特別練習(xí)了求函數(shù)的對稱軸和頂點坐標(biāo)．我們知道學(xué)習(xí)的目的就是為了應(yīng)用，那么究竟有什么用處呢?本節(jié)課將學(xué)習(xí)有關(guān)二次函數(shù)的應(yīng)用． Ⅱ．新課講解 一、1. 例題 [師]前幾節(jié)課我們研究了不同形式的二次函數(shù)的圖象，形如y=ax2，y＝ax2+c，

21、y＝a(x-h)2，y＝a(x-h)2+k．并對它們的性質(zhì)進(jìn)行了比較．但對于二次函數(shù)的一般形式y(tǒng)＝ax2+bx+c(a、b、c是常數(shù)，a≠0)，它是屬于上面形式中的哪一種呢?還是另外一種，它的對稱軸和頂點坐標(biāo)是什么呢?下面我們一起來討論這個問題． 投影片：(§2．4．2 A) 例：求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的對稱軸和頂點坐標(biāo)． 解：把y＝ax2+bx+c的右邊配方，得 y＝ax2+bx+c =a(x2+) =a[x2+2·x+()2+] =a(x+)2+. [師]大家看配方以后的形式屬于前面我們討論過的哪一種形式呢? [生]屬于y＝a(x-h)2+k的形式

22、． [師]在y=a(x-h)2+k的形式中，我們知道對稱軸為x＝h頂點坐標(biāo)為(h，k)．對比一下，y＝ax2+bx+c中的對稱軸和頂點坐標(biāo)是什么呢? [生甲]對稱軸是x＝ ，頂點坐標(biāo)是(,). [師]確定嗎?大家再討論一下． [生]在y＝a(x-h)2+k中是x-h，而y＝a (x+)2+ 中是x+，它們的符號不同，應(yīng)把y＝a（x+）2+ .進(jìn)行變形得 y=a[x-(-)2]+ .再對照y=a(x-h)2+k的形式得對稱軸為x=-,頂點燃坐標(biāo)為（-，） [師]這位同學(xué)回答得非常棒． 至此，所有的二次函數(shù)的形式我們就都討論過了． 下面我們來

23、研究一些實際問題． 二、有關(guān)橋梁問題 投影片：(§2．4．2 B) 下圖所示橋梁的兩條鋼纜具有相同的拋物線形狀．按照圖中的直角坐標(biāo)系，左面的一條拋物線可以用y=0．0225x2+0．9x+10表示，而且左右兩條拋物線關(guān)于y軸對稱． (1)鋼纜的最低點到橋面的距離是多少? (2)兩條鋼纜最低點之間的距離是多少? (3)你是怎樣計算的?與同伴進(jìn)行交流． 分析：因為兩條鋼纜都是拋物線形狀，且開口向上．要求鋼纜的最低點到橋面的距離就是要求拋物線的最小值．又因為左右兩條拋物線關(guān)于y軸對稱，所以它們的頂點也關(guān)于y軸對稱，兩條鋼纜最低點之間的距離就是兩條拋物線頂點的

24、橫坐標(biāo)絕對值之和或其中一條拋物線頂點橫坐標(biāo)絕對值的2倍．已知二次函數(shù)的形式是一般形式，所以應(yīng)先進(jìn)行配方化為y＝a(x-h)2+k的形式，即頂點式． 解：y=0．0225x2+0．9x+10 =0．0225(x2+40x+) 二0．0225(x2+40x+400-400+) ＝0．0225(x+20)2+1． ∴對稱軸為x=-20．頂點坐標(biāo)為(-20，1)． (1)鋼纜的最低點到橋面的距離是1米． (2)兩條鋼纜最低點之間的距離是2×20＝40米． (3)是用配方法求得頂點坐標(biāo)得到的，也可以直接代入頂點坐標(biāo)公式中求得

25、． [師]從上面的例題我們可知，拋物線在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用很廣，因此大家要學(xué)好并運用好它，對于給出的問題要認(rèn)真思考，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，從而用數(shù)學(xué)知識解決實際問題． 在上面的問題中，大家能否求出右面的拋物線的表達(dá)式呢?請互相交流． 解：因為左右兩條拋物線是關(guān)于y軸對稱的，而關(guān)于y軸對稱的圖形的特點是，所有的對應(yīng)點的坐標(biāo)滿足橫坐標(biāo)是互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等，我們可以利用這個特點，在原有的左面的拋物線的表達(dá)式的基礎(chǔ)上，得到右面拋物線的表達(dá)式，即把y不變，x換為-x代入y＝0．0225x2+0．9x+10中，得 y＝0．0225(-x)2+0．9(-x)+10

26、 ＝0．0225x2-0．9x+10． 三、補充例題 投影片：(§2．4．2 C) 如右圖，一邊靠校園院墻，另外三 邊用50 m長的籬笆，圍起一個長 方形場地，設(shè)垂直院墻的邊長為xm． (1)寫出長方形場地面積y(m2)與x的函數(shù)關(guān)系式； (2)畫出函數(shù)的圖象； (3)求邊長為多少時，長方形面積最大，最大是多少? 解：(1)垂直院墻的邊長為x m，另一邊長為(50-2x)m．則 y=x(50-2x)=-2x2+50x=-2(x-)2+. (2)圖象略． (3)由(1)得，當(dāng)x＝時，y最大=. 所以當(dāng)邊長為m時，長方形面積最大，最大面積為

27、 m2． Ⅲ．課堂練習(xí) 1．隨堂練習(xí) 2．補充練習(xí) 確定下列拋物線的開口方向、對稱軸與頂點坐標(biāo)． (1)y=-x2+； （2）y=x2- 解：（1）y=-x2+ =-(x2-) =-( x2-) =-(x-)2+. 開口方向向下，對稱軸為x=,頂點坐標(biāo)為(,). (2)y=x2- =(x2-x-30) =(x2-x+--30) =(x-)2-. 開口方向向上，對稱軸是x= ，頂點坐標(biāo)為(, )． Ⅳ．課時小節(jié) 本節(jié)課學(xué)習(xí)了如何用配方法把二次函數(shù)的一般形式化成頂點式，并能根據(jù)頂點式解決一些問題．

28、 Ⅴ．課后作業(yè) 習(xí)題2．5 Ⅵ．活動與探究 利用Z+Z智能教育平臺(新世紀(jì)版)研究二次函數(shù)的圖象． 利用Z+Z智能教育平臺(新世紀(jì)版)可以探索二次函數(shù)y=ax2+bx+c的系數(shù)(a，b，c與圖象變化之間的關(guān)系． 先考察二次函數(shù)y＝ax2的系數(shù)a對圖象的影響． 利用Z十Z智能教育平臺(新世紀(jì)版)在計算機上作出二次函數(shù)y＝ax2的圖象．其中系數(shù)a可以通過鼠標(biāo)拖動y軸上標(biāo)識為a的點而變化．圖1和圖2是a取不同值時得到的兩個圖象： 板書設(shè)計 §2．4．2 二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象(二) 一、1. 例題(投影片§2．4．2 A) 2．有關(guān)橋梁問題(投影片§2.4.2 B) 3．補充例題(投影片§2．4．2 C) 二、課堂練習(xí) 1．隨堂練習(xí) 2．補充練習(xí) 三、課時小結(jié) 四、課后作業(yè) 備課資料(略)