2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 壓軸題目突破練 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)教案 理 新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 壓軸題目突破練 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)教案 理 新人教A版 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A組　專項基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時間：35分鐘，滿分：57分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1． 與直線2x－6y＋1＝0垂直，且與曲線f(x)＝x3＋3x2－1相切的直線方程是(　　) A．3x＋y＋2＝0 B．3x－y＋2＝0 C．x＋3y＋2＝0 D．x－3y－2＝0 答案　A 解析　設(shè)切點的坐標為(x0，x＋3x－1)， 則由切線與直線2x－6y＋1＝0垂直， 可得切線的斜率為－3， 又f′(x)＝3x2＋6x，故3

2、x＋6x0＝－3， 解得x0＝－1，于是切點坐標為(－1,1)， 從而得切線的方程為3x＋y＋2＝0. 2． 設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上可導(dǎo)，且f′(x)>g′(x)，則當(dāng)ag(x) B．f(x)g(x)＋f(a) D．f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b) 答案　C 解析　∵f′(x)－g′(x)>0，∴(f(x)－g(x))′>0， ∴f(x)－g(x)在[a，b]上是增函數(shù)， ∴當(dāng)af(a)－g(a)， ∴f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)． 3．

3、 三次函數(shù)f(x)＝mx3－x在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，則m的取值范圍是(　　) A．m<0 B．m<1 C．m≤0 D．m≤1 答案　A 解析　f′(x)＝3mx2－1，依題可得m<0. 4． 點P是曲線x2－y－2ln＝0上任意一點，則點P到直線4x＋4y＋1＝0的最短距離是(　　) A.(1－ln 2) B.(1＋ln 2) C. D.(1＋ln 2) 答案　B 解析　將直線4x＋4y＋1＝0平移后得直線l：4x＋4y＋b＝0，使直線l與曲線切于點P(x0，y0)， 由x2－y－2ln＝0得y′＝2x－， ∴直線l的斜率k＝2x0－＝－1 ?x0＝或x0

4、＝－1(舍去)， ∴P， 所求的最短距離即為點P到直線4x＋4y＋1＝0的距離d＝＝(1＋ln 2)． 二、填空題(每小題5分，共15分) 5． 設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋·x2＋tan θ，其中θ∈，則導(dǎo)數(shù)f′(1)的取值范圍是________． 答案　[，2] 解析　∵f′(x)＝sin θ·x2＋cos θ·x， ∴f′(1)＝sin θ＋cos θ＝2sin. ∵θ∈，∴θ＋∈， ∴sin∈.∴f′(1)∈[，2]． 6． 已知f(x)＝(2x－x2)ex，給出以下四個結(jié)論： ①f(x)>0的解集是{x|0

5、最小值，也沒有最大值；④f(x)有最大值，沒有最小值． 其中判斷正確的是________． 答案　①②④ 解析　f(x)>0?2x－x2>0?00，f(x)單調(diào)遞增， ∴f(－)是極小值，f()是極大值，故②正確． 由題意知，f()為最大值，且無最小值，故③錯誤，④正確． 7． 把一個周長為12 cm的長方形圍成一個圓柱，當(dāng)圓柱的體積最大時，該圓柱的底面周

6、長與高的比為________． 答案　2∶1 解析　設(shè)圓柱高為x，底面半徑為r，則r＝，圓柱體積V＝π2x＝(x3－12x2＋36x)(0

7、＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b. 因為函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，所以g(－x)＝－g(x)， 即對任意實數(shù)x，有a(－x)3＋(3a＋1)(－x)2＋ (b＋2)(－x)＋b＝－[ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b]， 從而3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－，b＝0， 因此f(x)的表達式為f(x)＝－x3＋x2. (2)由(1)知g(x)＝－x3＋2x，所以g′(x)＝－x2＋2. 令g′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝， 則當(dāng)x<－或x>時，g′(x)<0， 從而g(x)在區(qū)間(－∞，－ )，(，＋∞)上是減函數(shù)； 當(dāng)－0， 從而

8、g(x)在區(qū)間(－，)上是增函數(shù)． 由上述討論知，g(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值與最小值只能在x＝1，，2時取得， 而g(1)＝，g()＝，g(2)＝， 因此g(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值為g()＝， 最小值g(2)＝. 9． (12分)已知f(x)是二次函數(shù)，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，且f(x)在區(qū)間[－1,4]上的最大值是12. (1)求f(x)的解析式； (2)是否存在自然數(shù)m，使得方程f(x)＋＝0在區(qū)間(m，m＋1)內(nèi)有且只有兩個不等的實數(shù)根？若存在，求出所有m的值；若不存在，請說明理由． 解　(1)∵f(x)是二次函數(shù)，且f(x)<0的解集是(0

9、,5)， ∴可設(shè)f(x)＝ax(x－5)(a>0)． ∴f(x)在區(qū)間[－1,4]上的最大值是f(－1)＝6a. 由已知，得6a＝12，∴a＝2， ∴f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x(x∈R)． (2)方程f(x)＋＝0等價于方程2x3－10x2＋37＝0 設(shè)h(x)＝2x3－10x2＋37， 則h′(x)＝6x2－20x＝2x(3x－10)． 當(dāng)x∈時，h′(x)<0，h(x)是減函數(shù)； 當(dāng)x∈時，h′(x)>0，h(x)是增函數(shù)． ∵h(3)＝1>0，h＝－<0，h(4)＝5>0， ∴方程h(x)＝0在區(qū)間，內(nèi)分別有唯一實數(shù)根，而在區(qū)間(0,3)，(4，＋∞)

10、內(nèi)沒有實數(shù)根， ∴存在唯一的自然數(shù)m＝3，使得方程f(x)＋＝0在區(qū)間(m，m＋1)內(nèi)有且只有兩個不等的實數(shù)根． B組　專項能力提升 (時間：25分鐘，滿分：43分) 一、選擇題(每小題5分，共15分) 1． 函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的圖象如圖所示，記f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，則不等式f′(x)≤0的解集為 (　　) A.∪[1,2) B.∪ C.∪[2,3) D.∪∪ 答案　C 解析　不等式f′(x)≤0的解集即為函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間，從圖象中可以看出函數(shù)f(x)在和[2,3)上是單調(diào)遞減的，所以不等式f′(x)≤

11、0的解集為∪[2,3)，答案選C. 2． 已知函數(shù)f(x)(x∈R)的圖象上任一點(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝(x0－2)(x－1)(x－x0)，那么函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間是 (　　) A．[－1，＋∞) B．(－∞，2] C．(－∞，－1)，(1,2) D．[2，＋∞) 答案　C 解析　根據(jù)函數(shù)f(x)(x∈R)的圖象上任一點(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝(x0－2)(x－1)(x－x0)，可知其導(dǎo)數(shù)f′(x)＝(x－2)(x2－1)＝(x＋1)(x－1)(x－2)，令f′(x)<0得x<－1或1

12、單調(diào)減區(qū)間是(－∞，－1)，(1,2)． 3． 給出定義：若函數(shù)f(x)在D上可導(dǎo)，即f′(x)存在，且導(dǎo)函數(shù)f′(x)在D上也可導(dǎo)，則稱函數(shù)f(x)在D上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)<0在D上恒成立，則稱函數(shù)f(x)在D上為凸函數(shù)，以下四個函數(shù)在上不是凸函數(shù)的是 (　　) A．f(x)＝sin x＋cos x B．f(x)＝ln x－2x C．f(x)＝－x3＋2x－1 D．f(x)＝－xe－x 答案　D 解析　對于選項A，f(x)＝sin x＋cos x， 則f″(x)＝－sin x－cos x<0在上恒成立， 故此函

13、數(shù)為凸函數(shù)； 對于選項B，f(x)＝ln x－2x， 則f″(x)＝－<0在上恒成立， 故此函數(shù)為凸函數(shù)； 對于選項C，f(x)＝－x3＋2x－1， 則f″(x)＝－6x<0在上恒成立， 故此函數(shù)為凸函數(shù)； 對于選項D，f(x)＝－xe－x， 則f″(x)＝2e－x－xe－x＝(2－x)e－x>0在上恒成立，故此函數(shù)不是凸函數(shù)． 二、填空題(每小題5分，共15分) 4． 已知函數(shù)f(x)＝f′cos x＋sin x，則f的值為________． 答案　1 解析　因為f′(x)＝－f′sin x＋cos x， 所以f′＝－f′sin ＋cos ?f′＝－1， 故f

14、＝f′cos ＋sin ?f＝1. 5． 函數(shù)y＝x2(x>0)的圖象在點(ak，a)處的切線與x軸的交點的橫坐標為ak＋1，其中k∈N*.若a1＝16，則a1＋a3＋a5的值是________． 答案　21 解析　因為y′＝2x，所以過點(ak，a)處的切線方程為y－a＝2ak(x－ak)．又該切線與x軸的交點為(ak＋1,0)， 所以ak＋1＝ak，即數(shù)列{ak}是等比數(shù)列， 首項a1＝16，其公比q＝， 所以a3＝4，a5＝1.所以a1＋a3＋a5＝21. 6． 設(shè)函數(shù)f(x)＝，g(x)＝，對任意x1、x2∈(0，＋∞)，不等式≤恒成立，則正數(shù)k的取值范圍是_______

15、_． 答案　[1，＋∞) 解析　因為對任意x1、x2∈(0，＋∞)， 不等式≤恒成立，所以≥max. 因為g(x)＝， 所以g′(x)＝(xe2－x)′＝e2－x＋xe2－x·(－1)＝e2－x(1－x)． 當(dāng)00；當(dāng)x>1時，g′(x)<0， 所以g(x)在(0,1]上單調(diào)遞增，在[1，＋∞)上單調(diào)遞減． 所以當(dāng)x＝1時，g(x)取到最大值，即g(x)max＝g(1)＝e； 因為f(x)＝，當(dāng)x∈(0，＋∞)時， f(x)＝e2x＋≥2e，當(dāng)且僅當(dāng)e2x＝， 即x＝時取等號，故f(x)min＝2e. 所以max＝＝. 所以≥.又因為k為正數(shù)，

16、所以k≥1. 三、解答題 7． (13分)(xx·遼寧)設(shè)f(x)＝ln x＋－1，證明： (1)當(dāng)x>1時，f(x)<(x－1)； (2)當(dāng)11時，g′(x)＝＋－<0. 又g(1)＝0，所以有g(shù)(x)<0，即f(x)<(x－1)． 方法二　當(dāng)x>1時，21時，f(x)<(x－1)． (2)證明　方法一　記h(x)＝f(x)－，

17、 由(1)得h′(x)＝＋－ ＝－<－ ＝. 令G(x)＝(x＋5)3－216x，則當(dāng)1