2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第2講 排列與組合教學(xué)案 理 北師大版

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1、第2講　排列與組合 一、知識(shí)梳理 1．排列、組合的定義 排列的定義 從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素 按照一定的順序排成一列 組合的定義 合成一組 2.排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì) 排列數(shù) 組合數(shù) 定義 從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù) 從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù) 公式 A＝n(n－1)(n－2)… (n－m＋1)＝ C＝＝ 性質(zhì) A＝n！，0?。? C＝C，C＋C＝C 常用結(jié)論 1．“排列”與“組合”的辨析 排列與組合最根本的區(qū)別在于“有序”和“無(wú)序”．取

2、出元素后交換順序，如果與順序有關(guān)，則是排列；如果與順序無(wú)關(guān)，則是組合． 2．解決排列、組合問(wèn)題的十種技巧 (1)特殊元素優(yōu)先安排． (2)合理分類(lèi)與準(zhǔn)確分步． (3)排列、組合混合問(wèn)題要先選后排． (4)相鄰問(wèn)題捆綁處理． (5)不相鄰問(wèn)題插空處理． (6)定序問(wèn)題倍縮法處理． (7)分排問(wèn)題直排處理． (8)“小集團(tuán)”排列問(wèn)題先整體后局部． (9)構(gòu)造模型． (10)正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化． 二、教材衍化 1．6把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為(　　) A．144　　　　　　　 B．120 C．72 D．24 解析：選D.“插空法”，先排

3、3個(gè)空位，形成4個(gè)空隙供3人選擇就座，因此任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為A＝4×3×2＝24. 2．用數(shù)字1，2，3，4，5組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為(　　) A．8 B．24 C．48 D．120 解析：選C.末位數(shù)字排法有A種，其他位置排法有A種，共有AA＝48(種)排法，所以偶數(shù)的個(gè)數(shù)為48. 3．從4名男同學(xué)和3名女同學(xué)中選出3名參加某項(xiàng)活動(dòng)，則男女生都有的選法種數(shù)是(　　) A．18 B．24 C．30 D．36 解析：選C.選出的3人中有2名男同學(xué)1名女同學(xué)的方法有CC＝18種，選出的3人中有1名男同學(xué)2名女同學(xué)的方法有CC＝12種，故3名學(xué)生中男

4、女生都有的選法有CC＋CC＝30種．故選C. 一、思考辨析 判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)所有元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列．(　　) (2)一個(gè)組合中取出的元素講究元素的先后順序．(　　) (3)兩個(gè)組合相同的充要條件是其中的元素完全相同．(　　) (4)若組合式C＝C，則x＝m成立．(　　) (5)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m)．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× 二、易錯(cuò)糾偏 (1)分類(lèi)不清導(dǎo)致出錯(cuò)； (2)相鄰元素看成一個(gè)整體，不相鄰問(wèn)題采用插空法是解決相鄰與不相鄰問(wèn)題的基本方法． 1．從6臺(tái)原裝計(jì)

5、算機(jī)和5臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)中任意選取5臺(tái)，其中至少有原裝計(jì)算機(jī)和組裝計(jì)算機(jī)各2臺(tái)，則不同的取法有________種． 解析：分兩類(lèi)：第一類(lèi)，取2臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)與3臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)，有CC種方法；第二類(lèi)，取3臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)與2臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)，有CC種方法．所以滿(mǎn)足條件的不同取法有CC＋CC＝350(種)． 答案：350 2．把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有________種． 解析：設(shè)這5件不同的產(chǎn)品分別為A，B，C，D，E，先把產(chǎn)品A與產(chǎn)品B捆綁有A種擺法，再與產(chǎn)品D，E全排列有A種擺法，最后把產(chǎn)品C插空有C種擺法，所以共有AAC＝36(種)不同擺法

6、． 答案：36 　　　　　　排列問(wèn)題(師生共研) 有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù)． (1)選5人排成一排； (2)排成前后兩排，前排3人，后排4人； (3)全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾； (4)全體排成一排，女生必須站在一起； (5)全體排成一排，男生互不相鄰． 【解】　(1)從7人中選5人排列，有A＝7×6×5×4×3＝2 520(種)． (2)分兩步完成，先選3人站前排，有A種方法，余下4人站后排，有A種方法，共有A·A＝5 040(種)． (3)法一(特殊元素優(yōu)先法)：先排甲，有5種方法，其余6人有A種排列方法，共有5×

7、A＝3 600(種)． 法二(特殊位置優(yōu)先法)：首尾位置可安排另6人中的兩人，有A種排法，其他有A種排法，共有AA＝3 600(種)． (4)(捆綁法)將女生看作一個(gè)整體與3名男生一起全排列，有A種方法，再將女生全排列，有A種方法，共有A·A＝576(種)． (5)(插空法)先排女生，有A種方法，再在女生之間及首尾5個(gè)空位中任選3個(gè)空位安排男生，有A種方法，共有A·A＝1 440(種)． 求解排列應(yīng)用問(wèn)題的6種主要方法 直接法 把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算 優(yōu)先法 優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置 捆綁法 把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列

8、 插空法 對(duì)不相鄰問(wèn)題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中 定序問(wèn)題除法處理 對(duì)于定序問(wèn)題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 間接法 正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法 　 　(2020·合肥市第二次質(zhì)量檢測(cè))某部隊(duì)在一次軍演中要先后執(zhí)行A，B，C，D，E，F(xiàn)六項(xiàng)不同的任務(wù)，要求是：任務(wù)A必須排在前三項(xiàng)執(zhí)行，且執(zhí)行任務(wù)A之后需立即執(zhí)行任務(wù)E，任務(wù)B，C不能相鄰，則不同的執(zhí)行方案共有(　　) A．36種　　 B．44種 C．48種　　 D．54種 解析：選B.由題意知任務(wù)A，E必須相鄰，且只能安排為AE，由此分三類(lèi)完成：(1)

9、當(dāng)AE排第一、二位置時(shí)，用○表示其他任務(wù)，則順序?yàn)锳E○○○○，余下四項(xiàng)任務(wù)，先全排D，F(xiàn)兩項(xiàng)任務(wù)，然后將任務(wù)B，C插入D，F(xiàn)兩項(xiàng)任務(wù)形成的三個(gè)空隙中，有AA種方法．(2)當(dāng)AE排第二、三位置時(shí)，順序?yàn)椤餉E○○○，余下四項(xiàng)任務(wù)又分為兩類(lèi)：①B，C兩項(xiàng)任務(wù)中一項(xiàng)排第一位置，剩余三項(xiàng)任務(wù)排在后三個(gè)位置，有AA種方法；②D，F(xiàn)兩項(xiàng)任務(wù)中一項(xiàng)排第一位置，剩余三項(xiàng)任務(wù)排在后三個(gè)位置，且任務(wù)B，C不相鄰，有AA種方法．(3)當(dāng)AE排第三、四位置時(shí)，順序?yàn)椤稹餉E○○，第一、二位置必須分別排來(lái)自B，C和D，F(xiàn)中的一個(gè)，余下兩項(xiàng)任務(wù)排在后兩個(gè)位置，有CCAA種方法，根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知不同的執(zhí)行方案共有A

10、A＋AA＋AA＋CCAA＝44(種)，故選B. 　　　　　　組合問(wèn)題(師生共研) 某市工商局對(duì)35種商品進(jìn)行抽樣檢查，已知其中有15種假貨．現(xiàn)從35種商品中選取3種． (1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？ (2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？ (3)恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？ (4)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？ (5)至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？ 【解】　(1)從余下的34種商品中， 選取2種有C＝561種取法， 所以某一種假貨必須在內(nèi)的不同取法有561種． (2)從34種可選商品中，選取3種，有C種或

11、者C－C＝C＝5 984種取法． 所以某一種假貨不能在內(nèi)的不同取法有5 984種． (3)從20種真貨中選取1種，從15種假貨中選取2種有CC＝2 100種取法． 所以恰有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2 100種． (4)選取2種假貨有CC種，選取3種假貨有C種，共有選取方式CC＋C＝2 100＋455＝2 555(種)． 所以至少有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2 555種． (5)法一(間接法)：選取3種的總數(shù)為C，因此共有選取方式 C－C＝6 545－455＝6 090(種)． 所以至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6 090種． 法二(直接法)：共有選取方式C＋CC＋CC＝6

12、 090(種)． 所以至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6 090種． 兩類(lèi)有附加條件的組合問(wèn)題的解法 (1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：若“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；若“不含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx取． (2)“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類(lèi)題目必須十分重視“至少”與“最多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解．用直接法或間接法都可以求解，通常用直接法，分類(lèi)復(fù)雜時(shí)，用間接法求解．　 1．(2020·沈陽(yáng)模擬)某地區(qū)高考改革實(shí)行“3＋1＋2”模式，“3”指語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門(mén)必考科目，“1”指在物理、歷史兩門(mén)科目

13、中必選一門(mén)科目，“2”指在化學(xué)、生物、政治、地理以及除了必選一門(mén)以外的歷史或物理這五門(mén)科目中任意選擇兩門(mén)科目，則一名學(xué)生的不同選科組合有(　　) A．8種 B．12種 C．16種 D．20種 解析：選C.若一名學(xué)生只選物理和歷史中的一門(mén)，則有CC＝12種組合；若一名學(xué)生物理和歷史都選，則有C＝4種組合，因此共有12＋4＝16種組合．故選C. 2．甲、乙兩人從4門(mén)課程中各選修2門(mén)，求： (1)甲、乙所選的課程中恰有1門(mén)相同的選法有多少種？ (2)甲、乙所選的課程中至少有1門(mén)不相同的選法有多少種？ 解：(1)甲、乙兩人從4門(mén)課程中各選修2門(mén)，且甲、乙所選課程中恰有1門(mén)相同的選法種

14、數(shù)共有CCC＝24(種)． (2)甲、乙兩人從4門(mén)課程中各選2門(mén)不同的選法種數(shù)為CC，又甲、乙兩人所選的2門(mén)課程都相同的選法種數(shù)為C種，因此滿(mǎn)足條件的不同選法種數(shù)為CC－C＝30(種)． 　　　　　　排列、組合的綜合應(yīng)用(多維探究) 角度一　排列與組合應(yīng)用題 (1)將標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)籃球分給三位小朋友，每位小朋友至少分到一個(gè)籃球，且標(biāo)號(hào)1，2的兩個(gè)籃球不能分給同一個(gè)小朋友，則不同的分法種數(shù)為(　　) A．15 B．20 C．30 D．42 (2)從0，2中選一個(gè)數(shù)字，從1，3，5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為(　　) A．24 B．

15、18 C．12 D．6 【解析】　(1)四個(gè)籃球中兩個(gè)分到一組有C種分法，三個(gè)籃球進(jìn)行全排列有A種分法，標(biāo)號(hào)1，2的兩個(gè)籃球分給同一個(gè)小朋友有A種分法，所以有CA－A＝36－6＝30種分法． (2)從0，2中選一個(gè)數(shù)字0，則0只能排在十位，從1，3，5中選兩個(gè)數(shù)字排在個(gè)位與百位，共有A＝6種；從0，2中選一個(gè)數(shù)字2，則2排在十位(或百位)，從1，3，5中選兩個(gè)數(shù)字排在百位(或十位)、個(gè)位，共有A·A＝12種，故共有A＋AA＝18種．故選B. 【答案】　(1)C　(2)B 解排列組合問(wèn)題常以元素(或位置)為主體，即先滿(mǎn)足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．對(duì)于排列組合的

16、綜合題目，一般是將符合要求的元素取出或進(jìn)行分組，再對(duì)取出的元素或分好的組進(jìn)行排列．　 角度二　定序問(wèn)題 某學(xué)校舉行校慶文藝晚會(huì)，已知節(jié)目單中共有七個(gè)節(jié)目，為了活躍現(xiàn)場(chǎng)氣氛，主辦方特地邀請(qǐng)了三位老校友演唱經(jīng)典歌曲，并要將這三個(gè)不同節(jié)目添入節(jié)目單，而不改變?cè)瓉?lái)的節(jié)目順序，則不同的安排方式有________種． 【解析】　添入三個(gè)節(jié)目后共十個(gè)節(jié)目，故該題可轉(zhuǎn)化為安排十個(gè)節(jié)目，其中七個(gè)節(jié)目順序固定．這七個(gè)節(jié)目的不同安排方法共有A種，添加三個(gè)節(jié)目后，節(jié)目單中共有十個(gè)節(jié)目，先將這十個(gè)節(jié)目進(jìn)行全排列，不同的排列方法有A種，而原先七個(gè)節(jié)目的順序一定，故不同的安排方式共有＝720(種)． 【答案】　

17、720 定序問(wèn)題可用直接法，也可用間接法．　 1．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)高考之后計(jì)劃去A、B、C三個(gè)不同社區(qū)進(jìn)行幫扶活動(dòng)，每人只能去一個(gè)社區(qū)，每個(gè)社區(qū)至少一人．其中甲必須去A社區(qū)，乙不去B社區(qū)，則不同的安排方法種數(shù)為(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 解析：選B.根據(jù)題意，分2種情況討論：①乙和甲一起去A社區(qū)，此時(shí)將丙丁二人安排到B、C社區(qū)即可，有A＝2種情況，②乙不去A社區(qū)，則乙必須去C社區(qū)，若丙丁都去B社區(qū)，有1種情況，若丙丁中有1人去B社區(qū)，則先在丙丁中選出1人，安排到B社區(qū)，剩下1人安排到A或C社區(qū)，有2×2＝4種情況，則不同的安排方法種數(shù)有2＋1＋4＝7

18、種．故選B. 2．我國(guó)的第一艘航空母艦“遼寧艦”在某次艦載機(jī)起降飛行訓(xùn)練中，有5架“殲－15”飛機(jī)準(zhǔn)備著艦，規(guī)定乙機(jī)不能最先著艦，且丙機(jī)必須在甲機(jī)之前著艦(不一定相鄰)，那么不同的著艦方法種數(shù)為(　　) A．24 B．36 C．48 D．96 解析：選C.根據(jù)題意，分2種情況討論：①丙機(jī)最先著艦，此時(shí)只需將剩下的4架飛機(jī)全排列，有A＝24種情況，即此時(shí)有24種不同的著艦方法：②丙機(jī)不最先著艦，此時(shí)需要在除甲、乙、丙之外的2架飛機(jī)中任選1架，作為最先著艦的飛機(jī)，將剩下的4架飛機(jī)全排列，丙機(jī)在甲機(jī)之前和丙機(jī)在甲機(jī)之后的數(shù)目相同，則此時(shí)有×CA＝ 24種情況，即此時(shí)有24種不同的著艦方

19、法．則一共有24＋24＝48種不同的著艦方法．故選C. 3．6位機(jī)關(guān)干部被選調(diào)到4個(gè)貧困自然村進(jìn)行精準(zhǔn)扶貧，要求每位機(jī)關(guān)干部只能參加一個(gè)自然村的扶貧工作，且每個(gè)自然村至少有1位機(jī)關(guān)干部扶貧，則不同的分配方案有________種． 解析：先將6位機(jī)關(guān)干部分成四組，有(1，1，1，3)和(1，1，2，2)兩種情況，所以不同的分配方案共有·A＝65×24＝1 560(種)． 答案：1 560 　分組分配問(wèn)題中的易錯(cuò)點(diǎn) 分組問(wèn)題是同學(xué)們學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)問(wèn)題，在考試中不容易得分，在解題過(guò)程中容易掉入陷阱． 解決這類(lèi)問(wèn)題的一個(gè)基本指導(dǎo)思想是先分組后分配．關(guān)于分組問(wèn)題，有整體均分、部分均分和不等分組

20、三種，無(wú)論分成幾組，應(yīng)注意的是只要有一些組中元素的個(gè)數(shù)相等，就存在均分現(xiàn)象．下面結(jié)合一些典型問(wèn)題談?wù)勅绾伪苊獾暨M(jìn)分組問(wèn)題中的陷阱． 一、整體均分問(wèn)題 國(guó)家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國(guó)重點(diǎn)師范大學(xué)免費(fèi)培養(yǎng)教育專(zhuān)業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教．現(xiàn)有6名免費(fèi)培養(yǎng)的教育專(zhuān)業(yè)師范畢業(yè)生，將其平均分到3所學(xué)校去任教，有________種不同的分配方法． 【解析】　先把6個(gè)畢業(yè)生平均分成3組，有種方法，再將3組畢業(yè)生分到3所學(xué)校，有A＝6種方法，故6個(gè)畢業(yè)生平均分到3所學(xué)校，共有A＝90種分配方法． 【答案】　90 對(duì)于整體均分，解題時(shí)要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情

21、況，所以分組后一定要除以A(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計(jì)數(shù)．　 二、部分均分問(wèn)題 將并排的有不同編號(hào)的5個(gè)房間安排給5個(gè)工作人員臨時(shí)休息，假定每個(gè)人可以選擇任一房間，且選擇各個(gè)房間是等可能的，則恰有2個(gè)房間無(wú)人選擇且這2個(gè)房間不相鄰的安排方式的種數(shù)為_(kāi)_______． 【解析】　先將5人分成三組(1，1，3或2，2，1兩種形式)，再將這三組人安排到3個(gè)房間，然后將2個(gè)房間插入前面住了人的3個(gè)房間形成的空檔中即可，故安排方式共有·A·C＝900種． 【答案】　900 本題屬于部分均分，解題時(shí)注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以m！，一個(gè)分組過(guò)

22、程中有幾個(gè)這樣的均勻分組就要除以幾個(gè)這樣的全排列數(shù)．　 三、不等分組問(wèn)題 將6本不同的書(shū)分給甲、乙、丙3名學(xué)生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，則有________種不同的分法． 【解析】　先把書(shū)分成三組，把這三組分給甲、乙、丙3名學(xué)生．先選1本，有C種選法；再?gòu)挠嘞碌?本中選2本，有C種選法；最后余下3本全選，有C種選法．故共有C·C·C＝60種選法．由于甲、乙、丙是不同的3人，還應(yīng)考慮再分配，故共有60A＝360種分配方法． 【答案】　360 對(duì)于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時(shí)，任何組中元素的個(gè)數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)． 總之，在解答分組問(wèn)題

23、時(shí)，一定要注意均勻分組與不均勻分組的區(qū)別，均勻分組不要重復(fù)計(jì)數(shù)．對(duì)于平均分組問(wèn)題更要注意順序，避免計(jì)數(shù)的重復(fù)或遺漏，抓住了以上關(guān)鍵點(diǎn)，就能避免掉進(jìn)陷阱．　 [基礎(chǔ)題組練] 1．(2020·河南開(kāi)封一模)中國(guó)古代的五經(jīng)是指：《詩(shī)經(jīng)》《尚書(shū)》《禮記》《周易》《春秋》；現(xiàn)甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)各選一本書(shū)作為課外興趣研讀，若甲、乙都沒(méi)有選《詩(shī)經(jīng)》，乙也沒(méi)選《春秋》，則5名同學(xué)所有可能的選擇有(　　) A．18種 B．24種 C．36種 D．54種 解析：選D.(1)若甲選《春秋》，則有CA＝18種情況；(2)若甲不選《春秋》，則有AA＝36種情況．所以5名同學(xué)所有可能的選擇有18

24、＋36＝54種．故選D. 2．(2020·湖南長(zhǎng)郡中學(xué)模擬)某節(jié)目組決定把《將進(jìn)酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外確定的兩首詩(shī)詞排在后六場(chǎng)做節(jié)目開(kāi)場(chǎng)詩(shī)詞，并要求《將進(jìn)酒》與《望岳》相鄰，且《將進(jìn)酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰，且均不排在最后，則后六場(chǎng)開(kāi)場(chǎng)詩(shī)詞的排法有(　　) A．72種 B．48種 C．36種 D．24種 解析：選C.根據(jù)題意，分2步分析：將《將進(jìn)酒》與《望岳》捆綁在一起和另外確定的兩首詩(shī)詞進(jìn)行全排列，共有A＝6種排法，再將《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》插排在3個(gè)空里(最后一個(gè)空不排)，有A＝6種排法，則后六場(chǎng)開(kāi)

25、場(chǎng)詩(shī)詞的排法有6×6＝36種，故選C. 3．(2020·云南昆明模擬)現(xiàn)有6人坐成一排，任選其中3人相互調(diào)整座位(這3人中任何一人都不能坐回原來(lái)的位置)，其余3人座位不變，則不同的調(diào)整方案的種數(shù)有(　　) A．30 B．40 C．60 D．90 解析：選B.根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①?gòu)?人中選出3人，相互調(diào)整座位，有C＝20種選法；②記選出相互調(diào)整座位的3人分別為A，B，C，則A有2種坐法，B，C只有1種坐法，A，B，C相互調(diào)整座位有2種情況．則不同的調(diào)整方案有20×2＝40種，故選B. 4．六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有(　　)

26、 A．192種 B．216種 C．240種 D．288種 解析：選B.第一類(lèi)：甲在最左端，有A＝5×4×3×2×1＝120種方法；第二類(lèi)：乙在最左端，有4A＝4×4×3×2×1＝96種方法．所以共有120＋96＝216種方法． 5．如圖，∠MON的邊OM上有四點(diǎn)A1，A2，A3，A4，ON上有三點(diǎn)B1，B2，B3，則以O(shè)，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的個(gè)數(shù)為(　　) A．30 B．42 C．54 D．56 解析：選B.間接法：先從這8個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，有C種取法，再減去三點(diǎn)共線(xiàn)的情形即可，即C－C－C＝42. 6．(2020·四川廣安、

27、眉山、內(nèi)江、遂寧一診)某地環(huán)保部門(mén)召集6家企業(yè)的負(fù)責(zé)人參加座談會(huì)，其中甲企業(yè)有2人到會(huì)，其余5家企業(yè)各有1人到會(huì)，會(huì)上有3人發(fā)言，則發(fā)言的3人來(lái)自3家不同企業(yè)的可能情況的種數(shù)為(　　) A．15 B．30 C．35 D．42 解析：選B.根據(jù)題意，分兩類(lèi)情況討論：選出的3人中沒(méi)有人來(lái)自甲企業(yè)，在其他5個(gè)企業(yè)中任選3個(gè)即可，有C＝10種情況；選出的3人中有人來(lái)自甲企業(yè)，則甲企業(yè)只能有1人參與，在其他5個(gè)企業(yè)中任選2個(gè)即可，有2×C＝20種情況．則不同的情況共有10＋20＝30種，故選B. 7．(2020·河南南陽(yáng)模擬)把四個(gè)不同的小球放入三個(gè)分別標(biāo)有1～3號(hào)的盒子中 ，不允許有空盒子

28、的放法有(　　) A．12種 B．24種 C．36種 D．48種 解析：選C.根據(jù)題意，四個(gè)不同的小球放入三個(gè)分別標(biāo)有1～3號(hào)的盒子中， 且沒(méi)有空盒，三個(gè)盒子中有1個(gè)盒子中放2個(gè)球，剩下的2個(gè)盒子中各放1個(gè)球，則分2步進(jìn)行分析：①先將四個(gè)不同的小球分成3組，有C＝6種分組方法；②將分好的3組全排列，對(duì)應(yīng)放到3個(gè)盒子中，有A＝6種放法．則不允許有空盒子的放法有6×6＝36種． 8．(2020·陜西漢中調(diào)研)某中學(xué)元旦晚會(huì)由6個(gè)節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在節(jié)目乙的前面，節(jié)目丙不能排在最后一位，則該晚會(huì)節(jié)目演出順序的編排方案共有(　　) A．720種 B．360種

29、C．300種 D．600種 解析：選C.先安排好除節(jié)目丙之外的5個(gè)節(jié)目，有＝60種可能，再安排節(jié)目丙，有5種可能，共60×5＝300種方案．故選C. 9．(一題多解)某校畢業(yè)典禮上有6個(gè)節(jié)目，考慮整體效果，對(duì)節(jié)目演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前三位，且節(jié)目丙、丁必須排在一起．則該校畢業(yè)典禮節(jié)目演出順序的編排方案共有(　　) A．120種 B．156種 C．188種 D．240種 解析：選A.法一：記演出順序?yàn)?～6號(hào)，對(duì)丙、丁的排序進(jìn)行分類(lèi)，丙、丁占1和2號(hào)，2和3號(hào)，3和4號(hào)，4和5號(hào)，5和6號(hào)，其排法分別為AA，AA，CAA，CAA，CAA，故總編排方案有AA＋AA＋C

30、AA＋CAA＋CAA＝120(種)． 法二：記演出順序?yàn)?～6號(hào)，按甲的編排進(jìn)行分類(lèi)，①當(dāng)甲在1號(hào)位置時(shí)，丙、丁相鄰的情況有4種，則有CAA＝48種；②當(dāng)甲在2號(hào)位置時(shí)，丙、丁相鄰的情況有3種，共有CAA＝36種；③當(dāng)甲在3號(hào)位置時(shí)，丙、丁相鄰的情況有3種，共有CAA＝36種．所以編排方案共有48＋36＋36＝120(種)． 10．用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且大于3 000的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)有(　　) A．250個(gè) B．249個(gè) C．48個(gè) D．24個(gè) 解析：選C.①當(dāng)千位上的數(shù)字為4時(shí)，滿(mǎn)足條件的四位數(shù)有A＝24(個(gè))；②當(dāng)千位上的數(shù)字為3時(shí)，滿(mǎn)足條件的四位數(shù)

31、有A＝24(個(gè))．由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得所有滿(mǎn)足條件的四位數(shù)共有24＋24＝48(個(gè))，故選C. 11．某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)人玩搶紅包游戲，現(xiàn)有4個(gè)紅包，每人最多搶一個(gè)，且紅包被全部搶完，4個(gè)紅包中有2個(gè)6元，1個(gè)8元，1個(gè)10元(紅包中金額相同視為相同紅包)，則甲、乙都搶到紅包的情況有(　　) A．18種 B．24種 C．36種 D．48種 解析：選C.若甲、乙搶的是一個(gè)6元和一個(gè)8元的紅包，剩下2個(gè)紅包，被剩下的3人中的2個(gè)人搶走，有AA＝12種；若甲、乙搶的是一個(gè)6元和一個(gè)10元的紅包，剩下2個(gè)紅包，被剩下的3人中的2個(gè)人搶走，有AA＝12種；若甲、乙搶的是一個(gè)8

32、元和一個(gè)10元的紅包，剩下2個(gè)紅包，被剩下的3人中的2個(gè)人搶走，有AC＝6種；若甲、乙搶的是兩個(gè)6元的紅包，剩下2個(gè)紅包，被剩下的3人中的2個(gè)人搶走，有A＝6種，根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得，共有36種情況，故選C. 12．某密碼鎖共設(shè)四個(gè)數(shù)位，每個(gè)數(shù)位的數(shù)字都可以是1，2，3，4中的任一個(gè)．現(xiàn)密碼破譯者得知；甲所設(shè)的四個(gè)數(shù)字有且僅有三個(gè)相同；乙所設(shè)的四個(gè)數(shù)字有兩個(gè)相同，另兩個(gè)也相同；丙所設(shè)的四個(gè)數(shù)字有且僅有兩個(gè)相同；丁所設(shè)的四個(gè)數(shù)字互不相同．則上述四人所設(shè)密碼最安全的是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 解析：選C.甲所設(shè)密碼共有CCC＝48種不同設(shè)法，乙所設(shè)密碼共有＝36種不

33、同設(shè)法，丙所設(shè)密碼共有CCA＝144種不同設(shè)法，丁所設(shè)密碼共有A＝24種不同設(shè)法，所以丙最安全，故選C. 13．(2020·黑龍江哈爾濱三中期末)有3名男演員和2名女演員，演出的出場(chǎng)順序要求2名女演員之間恰有1名男演員，則不同的出場(chǎng)順序共________種． 解析：有3名男演員和2名女演員，演出的出場(chǎng)順序要求2名女演員之間恰有1名男演員，則先排2名女演員，有A種方法，然后插入1名男演員，有A種方法，再把這3個(gè)人當(dāng)作一個(gè)整體，和其他2名男演員進(jìn)行排列，有A種方法．再根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的出場(chǎng)順序有A·A·A＝36種． 答案：36 14．從某校4個(gè)班級(jí)的學(xué)生中選出7名學(xué)生參加進(jìn)博

34、會(huì)志愿者服務(wù)，若每個(gè)班級(jí)至少有一名代表，則各班級(jí)的代表數(shù)有________種不同的選法．(用數(shù)字作答) 解析：由題意，從4個(gè)班級(jí)的學(xué)生中選出7名學(xué)生代表，每一個(gè)班級(jí)中至少有一名代表，相當(dāng)于7個(gè)球排成一排，然后插3塊隔板把他們分成4份，即中間6個(gè)空位中選3個(gè)插板，分成四份，共有C＝20種不同的選法． 答案：20 15．(2020·江西上饒聯(lián)考)某共享汽車(chē)停放點(diǎn)的停車(chē)位成一排且恰好全部空閑，假設(shè)最先來(lái)停車(chē)點(diǎn)停車(chē)的3輛共享汽車(chē)都是隨機(jī)停放的，且這3輛共享汽車(chē)都不相鄰的概率與這3輛共享汽車(chē)恰有2輛相鄰的概率相等，則該停車(chē)點(diǎn)的車(chē)位數(shù)為_(kāi)_______． 解析：設(shè)停車(chē)位有n個(gè)，這3輛共享汽車(chē)都不相

35、鄰：相當(dāng)于先將(n－3)個(gè)停車(chē)位排放好，再將這3輛共享汽車(chē)，插入到所成的(n－2)個(gè)間隔中，故有A種．恰有2輛共享汽車(chē)相鄰，可先把其中2輛捆綁在一起看作一個(gè)復(fù)合元素，再和另一輛插入到將(n－3)個(gè)停車(chē)位排好所成的(n－2)個(gè)間隔中，故有AA種．因?yàn)檫@3輛共享汽車(chē)都不相鄰的概率與這3輛共享汽車(chē)恰有2輛相鄰的概率相等，所以A＝AA，解得n＝10. 答案：10 16．(2020·浙江嘉興一中、湖州中學(xué)聯(lián)考)用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字，可以組成________個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，也可以組成________個(gè)能被5整除且無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)． 解析：第一個(gè)空：第一步，先確定三位數(shù)的最高數(shù)位

36、上的數(shù)，有C＝5種方法；第二步，確定另外兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)，有A＝5×4＝20種方法，所以可以組成5×20＝100個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)． 第二個(gè)空：被5整除且無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)的個(gè)位數(shù)上的數(shù)有2種情況：當(dāng)個(gè)位數(shù)上的數(shù)字是0時(shí)，其他數(shù)位上的數(shù)有A＝5×4×3×2＝120種；當(dāng)個(gè)位數(shù)上的數(shù)字是5時(shí)，先確定最高數(shù)位上的數(shù)，有C＝4種方法，而后確定其他三個(gè)數(shù)位上的數(shù)有A＝4×3×2＝24種方法，所以共有24×4＝96個(gè)數(shù)．根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)算原理，可得共有120＋96＝216個(gè)數(shù)． 答案：100　216 [綜合題組練] 1．(2020·江西臨川一中等九校聯(lián)考)已知三棱錐的6條棱代表6種不同的化工產(chǎn)品，

37、有公共頂點(diǎn)的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉(cāng)庫(kù)是安全的，沒(méi)有公共頂點(diǎn)的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉(cāng)庫(kù)是危險(xiǎn)的．現(xiàn)用編號(hào)為1，2，3的三個(gè)倉(cāng)庫(kù)存放這6種化工產(chǎn)品，每個(gè)倉(cāng)庫(kù)放2種，那么安全存放的不同方法種數(shù)為(　　) A．12 B．24 C．36 D．48 解析：選D.設(shè)6種產(chǎn)品分別為a，b，c，d，e，f，如圖，根據(jù)題意，安全的分組方法有{ab，cf，de}，{ab，cd，ef}，{ac，be，df}，{ac，bf，de}，{ad，ef，bc}，{ad，eb，cf}，{ae，dc，bf}，{ae，df，bc}，共8種，每一種分組安排到3個(gè)倉(cāng)庫(kù)，有A種方法，故總的方法有8×A＝4

38、8種．故選D. 2．將標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5，6的6個(gè)小球放入3個(gè)不同的盒子中．若每個(gè)盒子放2個(gè)，其中標(biāo)號(hào)為1，2的小球放入同一盒子中，則不同的方法共有(　　) A．12種 B．16種 C．18種 D．36種 解析：選C.先將標(biāo)號(hào)為1，2的小球放入盒子，有3種情況；再將剩下的4個(gè)球平均放入剩下的2個(gè)盒子中，共有·A＝6種情況，所以不同的方法共有3×6＝18(種)． 3．從正方體六個(gè)面的對(duì)角線(xiàn)中任取兩條作為一對(duì)，其中所成的角為60°的共有________對(duì)． 解析：如圖．它們的棱是原正方體的12條面對(duì)角線(xiàn)． 一個(gè)正四面體中兩條棱成60°角的有(C－3)對(duì)，兩個(gè)正四面體有(C－

39、3)×2對(duì)．又正方體的面對(duì)角線(xiàn)中平行成對(duì)，所以共有(C－3)×2×2＝48(對(duì))． 答案：48 4．?dāng)?shù)字1，2，3，4，5，6按如圖形式隨機(jī)排列，設(shè)第一行的數(shù)為N1，其中N2、N3分別表示第二、三行中的最大數(shù)，則滿(mǎn)足N1

40、盒子中． (1)不出現(xiàn)空盒時(shí)的放入方式共有多少種？ (2)可出現(xiàn)空盒時(shí)的放入方式共有多少種？ 解：(1)將7個(gè)相同的小球排成一排，在中間形成的6個(gè)空隙中插入無(wú)區(qū)別的3個(gè)“隔板”將球分成4份，每一種插入隔板的方式對(duì)應(yīng)一種球的放入方式，則共有C＝20種不同的放入方式． (2)每種放入方式對(duì)應(yīng)于將7個(gè)相同的小球與3個(gè)相同的“隔板”進(jìn)行一次排列，即從10個(gè)位置中選3個(gè)位置安排隔板，故共有C＝120種放入方式． 6．已知10件不同的產(chǎn)品中有4件是次品，現(xiàn)對(duì)它們進(jìn)行測(cè)試，直至找出所有的次品為止． (1)若恰在第5次測(cè)試才測(cè)試到第1件次品，第10次才找到最后一件次品，則這樣的不同測(cè)試方法數(shù)是多少？ (2)若恰在第5次測(cè)試后就找出了所有次品，則這樣的不同測(cè)試方法數(shù)是多少？ 解：(1)先排前4次測(cè)試，只能取正品，有A種不同的測(cè)試方法，再?gòu)?件次品中選2件排在第5次和第10次的位置上測(cè)試，有A種測(cè)試方法，再排余下4件的測(cè)試位置，有A種測(cè)試方法．所以共有A·A·A＝103 680種不同的測(cè)試方法． (2)第5次測(cè)試的產(chǎn)品恰為最后一件次品，另3件在前4次中出現(xiàn)，從而前4次有一件正品出現(xiàn)，所以共有C·C·A＝576種不同的測(cè)試方法． 15