2021高考數(shù)學一輪復習 第11章 概率 規(guī)范答題系列4 高考中的概率與統(tǒng)計問題教學案 文 北師大版

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1、規(guī)范答題系列4 高考中的概率與統(tǒng)計問題 (對應學生用書第202頁) [命題解讀]　從近五年全國卷高考試題來看，概率與統(tǒng)計題多出現(xiàn)在第18題或第19題位置上，2019年全國卷Ⅰ，Ⅲ出現(xiàn)在第17題，全國卷Ⅱ出現(xiàn)在第19題，整體難度有所下降，本專題熱點題型有：一是考查用樣本估計總體，用頻率估計概率；二是考查概率與獨立性檢驗問題；三是考查概率與線性回歸問題． [典例示范]　(本題滿分12分)(2018·全國卷Ⅲ)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)任務的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人．第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第

2、二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務的工作時間(單位：min)繪制了如下莖葉圖： (1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由①； (2)求40名工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表②： 超過m 不超過m 第一種生產(chǎn)方式 第二種生產(chǎn)方式 (3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？③ 附：χ2＝， P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 [信息提取]　看到①想到莖葉圖的

3、數(shù)據(jù)特征及數(shù)據(jù)的分布特點． 看到②想到列聯(lián)表數(shù)據(jù)的獲得，想到先求m. 看到③想到先求χ2的值，再根據(jù)χ2的值判斷結論是否成立． [規(guī)范解答](1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高. 2分 理由如下： (ⅰ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務所需時間至少80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務所需時間至多79分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (ⅱ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)為85.5分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)為73.5分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (ⅲ)由莖

4、葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需平均時間高于80分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需平均時間低于80分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (ⅳ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間分布在莖8上的最多，關于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間分布在莖7上的最多，關于莖7大致呈對稱分布．又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間分布的區(qū)間相同，故可以認為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務所需的時間更少．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (以上給出了4種理由，答出其中任意一種或其他合理理由均可得

5、分) 5分 (2)由莖葉圖知m＝＝80. 7分 列聯(lián)表如下： 超過m 不超過m 第一種生產(chǎn)方式 15 5 第二種生產(chǎn)方式 5 15 9分 (3)因為χ2＝＝10>6.635， 11分 所以有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異.12分 [易錯防范]　 易錯點 防范措施 錯把平均數(shù)大的數(shù)據(jù)當成效率更高 審題要認真、仔細 把m值求錯 關鍵數(shù)據(jù)不能錯，多檢查一遍 K2的值求錯 注意K2公式中每一個字母的含義 [通性通法]　 1．通過莖葉圖中數(shù)據(jù)的分布情況，可大體判斷兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)的大小，方差的大小，中位數(shù)的大小等，從而得到統(tǒng)計結論． 2

6、．進行獨立性檢驗時，列2×2列聯(lián)表是解題的關鍵，應正確列出列聯(lián)表，再求χ2進行判斷． [規(guī)范特訓]　(2019·蘭州模擬)“一本書，一碗面，一條河，一座橋”曾是蘭州的城市名片，而現(xiàn)在“蘭州馬拉松”又成為了蘭州的另一張名片．隨著全民運動健康意識的提高，馬拉松運動不僅在蘭州，而且在全國各大城市逐漸興起，參與馬拉松訓練與比賽的人口逐年增加．為此，某市對人們參加馬拉松運動的情況進行了統(tǒng)計調查．其中一項調查是調查人員從參與馬拉松運動的人中隨機抽取200人，對其每周參與馬拉松長跑訓練的天數(shù)進行統(tǒng)計，得到以下統(tǒng)計表： 平均每周進行長跑訓練的天數(shù) 不大于2天 3天或4天 不少于5天 人數(shù) 30

7、 130 40 若某人平均每周進行長跑訓練天數(shù)不少于5天，則稱其為“熱烈參與者”，否則稱為“非熱烈參與者”． (1)經(jīng)調查，該市約有2萬人參與馬拉松運動，試估計其中“熱烈參與者”的人數(shù)； (2)根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，填寫下列2×2列聯(lián)表，并通過計算判斷是否能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“是否熱烈參與馬拉松”與性別有關？ 熱烈參與者 非熱烈參與者 總計 男 140 女 55 總計 參考公式及數(shù)據(jù)：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. P(χ2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 [解](1)以200人中“熱烈參與者”的頻率作為概率， 可得該市“熱烈參與者”的人數(shù)約為20 000×＝4 000. (2)由題可得2×2列聯(lián)表如下： 熱烈參與者 非熱烈參與者 總計 男 35 105 140 女 5 55 60 總計 40 160 200 則χ2＝＝≈7.292＞6.635， 所以能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“是否熱烈參與馬拉松”與性別有關． - 3 -