20、cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期為π的所有函數(shù)的序號為( )
A．①②③ B．①③④
C．②④ D．①③
(2)若函數(shù)f(x)＝2tan的最小正周期T滿足1＜T＜2，則自然數(shù)k的值為________．
【解析】 (1)①y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期為π；
②由圖象知y＝|cos x|的最小正周期為π；
③y＝cos的最小正周期T＝＝π；
④y＝tan的最小正周期T＝，故選A.
(2)由題意知1＜＜2，
所以k＜π＜2k.
即＜k＜π，又k∈N，
所以k＝2或3.
【答案】 (1)A (2)2或3
(1)公式法：函數(shù)y＝A
21、sin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期T＝，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝；
(2)圖象法：利用三角函數(shù)圖象的特征求周期．
角度二 三角函數(shù)的奇偶性
已知函數(shù)f(x)＝3sin(2x－＋φ)，φ∈(0，π)．
(1)若f(x)為偶函數(shù)，則φ＝________；
(2)若f(x)為奇函數(shù)，則φ＝________.
【解析】 (1)因為f(x)＝3sin(2x－＋φ)為偶函數(shù)，
所以－＋φ＝kπ＋，k∈Z，
又因為φ∈(0，π)，所以φ＝.
(2)因為f(x)＝3sin(2x－＋φ)為奇函數(shù)，
所以－＋φ＝kπ，k∈Z，
又φ∈(0，π)，
22、
所以φ＝.
【答案】 (1) (2)
奇偶性的判斷方法：三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函數(shù)一般可化為y＝Acos ωx＋b的形式．
角度三 三角函數(shù)的對稱性
已知函數(shù)f(x)＝asin x＋cos x(a為常數(shù)，x∈R)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，則函數(shù)g(x)＝sin x＋acos x的圖象( )
A．關(guān)于點對稱 B．關(guān)于點對稱
C．關(guān)于直線x＝對稱 D．關(guān)于直線x＝對稱
【解析】 因為函數(shù)f(x)＝asin x＋cos x(a為常數(shù)，x∈R)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，
所以f(0)＝f，所以1＝a＋，a＝，
所以
23、g(x)＝sin x＋cos x＝sin(x＋)，
函數(shù)g(x)的對稱軸方程為x＋＝kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z，當k＝0時，對稱軸為直線x＝.
所以g(x)＝sin x＋acos x的圖象關(guān)于直線x＝對稱．
【答案】 C
(1)對于函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)，其圖象的對稱軸一定經(jīng)過函數(shù)圖象的最高點或最低點，對稱中心一定是函數(shù)的零點，因此在判斷直線x＝x0或點(x0，0)是否是函數(shù)圖象的對稱軸或?qū)ΨQ中心時，可通過檢驗f(x0)的值進行判斷．
(2)函數(shù)圖象的對稱性與周期T之間有如下結(jié)論：①若函數(shù)圖象相鄰的兩條對稱軸分別為x＝a與x＝b，則最小正周期T＝2|b－a|
24、；②若函數(shù)圖象相鄰的兩個對稱中心分別為(a，0)，(b，0)，則最小正周期T＝2|b－a|；③若函數(shù)圖象相鄰的對稱中心與對稱軸分別為(a，0)與x＝b，則最小正周期T＝4|b－a|.
1. 函數(shù)y＝sin的圖象與函數(shù)y＝cos的圖象( )
A．有相同的對稱軸但無相同的對稱中心
B．有相同的對稱中心但無相同的對稱軸
C．既有相同的對稱軸也有相同的對稱中心
D．既無相同的對稱中心也無相同的對稱軸
解析：選A.由2x－＝kπ＋，k∈Z，可解得函數(shù)y＝sin的對稱軸為x＝＋，k∈Z.由x－＝kπ，k∈Z，可解得函數(shù)y＝cos的對稱軸為x＝kπ＋，k∈Z.當k＝0時，函數(shù)有相同的對
25、稱軸．由2x－＝kπ，k∈Z，可解得函數(shù)y＝sin的對稱中心為，k∈Z.由x－＝kπ＋，k∈Z，可解得函數(shù)y＝cos的對稱中心為，k∈Z.
故兩個函數(shù)沒有相同的對稱中心，故選A.
2．已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)的圖象經(jīng)過點(0，1)，且關(guān)于直線x＝對稱，則下列結(jié)論正確的是( )
A．f(x)在上是減函數(shù)
B．若x＝x0是f(x)圖象的對稱軸，則一定有f′(x0)≠0
C．f(x)≥1的解集是，k∈Z
D．f(x)圖象的一個對稱中心是
解析：選D.由f(x)＝2sin(ωx＋φ)的圖象經(jīng)過點(0，1)，得sin φ＝，又|φ|<，所以φ＝，則f(x)＝2sin.因為f
26、(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，所以存在m∈Z，使得ω＋＝mπ＋，得ω＝＋(m∈Z)，又0<ω<1，所以ω＝，則f(x)＝2sin.令2nπ＋≤x＋≤2nπ＋，n∈Z，得4nπ＋≤x≤4nπ＋，n∈Z，故A錯誤；若x＝x0是f(x)圖象的對稱軸，則f(x)在x＝x0處取得極值，所以一定有f′(x0)＝0，故B錯誤；由f(x)≥1得4kπ≤x≤4kπ＋，k∈Z，故C錯誤；因為f＝0，所以是其圖象的一個對稱中心，故D正確，選D.
三角函數(shù)中ω值的求法
一、利用三角函數(shù)的單調(diào)性求解
若函數(shù)f(x)＝sin ωx(ω>0)在區(qū)間上是減少的，則ω的取值范圍是________．
【解析】 令＋2
27、kπ≤ωx≤π＋2kπ(k∈Z)，得＋≤x≤＋，因為f(x)在上是減少的，所以得6k＋≤ω≤4k＋3.又ω>0，所以k≥0，又6k＋<4k＋3，得0≤k<，所以k＝0.即≤ω≤3.
【答案】
根據(jù)正弦函數(shù)的減區(qū)間，確定函數(shù)f(x)的減區(qū)間，根據(jù)函數(shù)f(x)＝sin ωx(ω>0)在區(qū)間上是減少的，建立不等式，即可求ω的取值范圍．
二、利用三角函數(shù)的對稱性求解
(1)已知函數(shù)f(x)＝cos(ω>0)的一條對稱軸為x＝，一個對稱中心為點，則ω有( )
A．最小值2 B．最大值2
C．最小值1 D．最大值1
(2)若函數(shù)y＝cos(ω∈N+)圖象的一個對稱中
28、心是，則ω的最小值為________．
【解析】 (1)因為函數(shù)的中心到對稱軸的最短距離是，兩條對稱軸間的最短距離是，所以中心到對稱軸x＝間的距離用周期可表示為－＝＋(k∈N，T為周期)，解得(2k＋1)T＝π，又T＝，所以(2k＋1)·＝π，則ω＝2(2k＋1)，當k＝0時，ω＝2最小．故選A.
(2)依題意得cos＝0，則＋＝＋kπ(k∈Z)?ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N+，所以ω的最小值為＝2.
【答案】 (1)A (2)2
三角函數(shù)兩條相鄰對稱軸或兩個相鄰對稱中心之間的“水平間隔”為，相鄰的對稱軸和對稱中心之間的“水平間隔”為，這就說明，我們可根據(jù)三角函數(shù)的對稱性來研究
29、其周期性，進而可以研究“ω”的取值．值得一提的是，三角函數(shù)的對稱軸必經(jīng)過其圖象上的最高點(極大值)或最低點(極小值)，函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的對稱中心就是其圖象與x軸的交點，這就說明，我們也可利用三角函數(shù)的極值點(最值點)、零點之間的“差距”來確定其周期，進而可以確定“ω”的取值．
三、利用三角函數(shù)的最值求解
(1)已知函數(shù)f(x)＝2sin ωx在區(qū)間上的最小值為－2，則ω的取值范圍是________．
(2)已知f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)，f＝f()，且f(x)在區(qū)間內(nèi)有最小值無最大值，則ω＝________．
【解析】 (1)顯然ω≠0.
若ω>0，
30、當x∈時，－ω≤ωx≤ω，因為函數(shù)f(x)＝2sin ωx在區(qū)間上的最小值為－2，所以－ω≤－，解得ω≥.
若ω<0，當x∈時，ω≤ωx≤－ω，因為函數(shù)f(x)＝2sin ωx在區(qū)間上的最小值為－2.所以ω≤－，解得ω≤－2.
綜上所述，符合條件的實數(shù)ω的取值范圍是(－∞，－2]∪.
(2)因為f＝f，而＝，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，又f(x)在區(qū)間內(nèi)有最小值無最大值，所以f(x)min＝f＝sin＝－1，所以＋＝kπ＋，k∈Z，解得ω＝4k＋.再由f(x)在區(qū)間內(nèi)有最小值無最大值，得＝T≥－，解得ω≤12，所以k＝0，ω＝.
【答案】 (1)(－∞，－2]∪ (2)
31、
利用三角函數(shù)的最值與對稱或周期的關(guān)系，可以列出關(guān)于ω的不等式，進而求出ω的值或取值范圍．
[基礎(chǔ)題組練]
1．函數(shù)y＝|cos x|的一個增區(qū)間是( )
A．[－，] B．[0，π]
C．[π，] D．[，2π]
解析：選D.將y＝cos x的圖象位于x軸下方的圖象關(guān)于x軸對稱翻折到x軸上方，x軸上方(或x軸上)的圖象不變，即得y＝|cos x|的圖象(如圖)．故選D.
2．設(shè)函數(shù)f(x)＝cos，則下列結(jié)論錯誤的是( )
A．f(x)的一個周期為－2π
B．y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱
C．f(x＋π)的一個零點為x＝
D．f(x)在上是
32、減少的
解析：選D.函數(shù)f(x)＝cos的圖象可由y＝cos x的圖象向左平移個單位得到，如圖可知，f(x)在上先減后增，D選項錯誤．
3．(2020·河北衡水第十三中學質(zhì)檢(四))同時滿足f(x＋π)＝f(x)與f＝f的函數(shù)f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝cos 2x B．f(x)＝tan x
C．f(x)＝sin x D．f(x)＝sin 2x
解析：選D.由題意得所求函數(shù)的周期為π，且圖象關(guān)于x＝對稱．
A．f(x)＝cos 2x的周期為π，而f＝0不是函數(shù)的最值．
所以其圖象不關(guān)于x＝對稱．
B．f(x)＝tan x的周期為π，但圖象不關(guān)于x
33、＝對稱．
C．f(x)＝sin x的周期為2π，不合題意．
D．f(x)＝sin 2x的周期為π，且f＝1為函數(shù)最大值，
所以D滿足條件，故選D.
4．(2020·河南六市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝2sin(ω>0)的圖象與函數(shù)g(x)＝cos(2x＋φ)的圖象的對稱中心完全相同，則φ為( )
A. B．－
C. D．－
解析：選D.因為函數(shù)f(x)＝2sin(ω>0)的圖象與函數(shù)g(x)＝cos(2x＋φ)的圖象的對稱中心完全相同，
所以ω＝2，φ＝－＋2kπ(k∈Z)，
即φ＝－＋2kπ(k∈Z)，
因為|φ|<，所以φ＝－，選D.
5．(2020·河南中原名校聯(lián)
34、盟聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝4sin(ωx＋φ)(ω>0)．在同一周期內(nèi)，當x＝時取最大值，當x＝－時取最小值，則φ的值可能為( )
A. B．
C. D．
解析：選C.T＝＝2＝π，故ω＝2，又2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，所以φ＝2kπ＋，k∈Z，所以φ的值可能為.故答案為C.
6．函數(shù)f(x)＝sin的減區(qū)間為________．
解析：由已知可得函數(shù)為f(x)＝－sin，欲求函數(shù)f(x)的減區(qū)間，只需求y＝sin的增區(qū)間．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)．
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
故所求函數(shù)f(x)的減區(qū)間為
(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
7．
35、已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的圖象的一條對稱軸為x＝π，其中ω為常數(shù)，且ω∈(1，2)，則函數(shù)f(x)的最小正周期為________．
解析：由函數(shù)f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的圖象的一條對稱軸為x＝π，可得ωπ－＝kπ＋，k∈Z，
所以ω＝k＋，又ω∈(1，2)，所以ω＝，從而得函數(shù)f(x)的最小正周期為＝.
答案：
8．已知函數(shù)f(x)＝2sin的圖象的一個對稱中心為，其中ω為常數(shù)，且ω∈(1，3)．若對任意的實數(shù)x，總有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，則|x1－x2|的最小值是________．
解析：因為函數(shù)f(x)＝2sin的圖象的一個
36、對稱中心為，所以ω＋＝kπ，k∈Z，所以ω＝3k－1，k∈Z，由ω∈(1，3)得，ω＝2.由題意得|x1－x2|的最小值為函數(shù)的半個周期，即＝＝.
答案：
9．已知函數(shù)f(x)＝(sin x＋cos x)2＋2cos2x－2.
(1)求f(x)的增區(qū)間；
(2)當x∈時，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值．
解：f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin.
(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
則kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故f(x)的增區(qū)間為，k∈Z.
(2)因為x∈，
所以≤2x＋≤，
所以－1≤sin≤ ，
所以－≤f(x)≤1，所以當x∈時，函數(shù)f(x
37、)的最大值為1，最小值為－.
10．已知函數(shù)f(x)＝4sin(x－)cos x＋.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和增區(qū)間；
(2)若函數(shù)g(x)＝f(x)－m在[0，]上有兩個不同的零點x1，x2，求實數(shù)m的取值范圍，并計算tan(x1＋x2)的值．
解：(1)f(x)＝4sin(x－)cos x＋＝4(sin x－cos x)cos x＋＝2sin xcos x－2cos2x＋＝sin 2x－cos 2x＝2sin(2x－)．
所以函數(shù)f(x)的最小正周期為T＝π.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函數(shù)f(x)的增區(qū)間為[kπ
38、－，kπ＋](k∈Z)．
(2)函數(shù)g(x)＝f(x)－m在[0，]上有兩個不同的零點x1，x2，即函數(shù)y＝f(x)與y＝m在[0，]上的圖象有兩個不同的交點，在直角坐標系中畫出函數(shù)y＝f(x)＝2sin(2x－)在[0，]上的圖象，如圖所示，
由圖象可知，當且僅當m∈[，2)時，方程f(x)＝m有兩個不同的解x1，x2，且x1＋x2＝2×＝，
故tan(x1＋x2)＝tan＝－tan ＝－.
[綜合題組練]
1．(2019·高考全國卷Ⅰ)關(guān)于函數(shù)f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四個結(jié)論：
①f(x)是偶函數(shù)；
②f(x)在區(qū)間遞增；
③f(x)在[－π，π]有
39、4個零點；
④f(x)的最大值為2.
其中所有正確結(jié)論的編號是( )
A．①②④ B．②④
C．①④ D．①③
解析：選C.通解：f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，故①正確；當
40、是①④.故選C.
優(yōu)解：因為f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，故①正確，排除B；當0)，已知f(x)在[0，2π]有且僅有5個零點．下述四個結(jié)論：
①f(x)在(0，2π)有且僅有3個極大值點
②f(x)在(0，2π)有且僅有2個極小值點
41、
③f(x)在遞增
④ω的取值范圍是
其中所有正確結(jié)論的編號是( )
A．①④ B．②③
C．①②③ D．①③④
解析：選D.如圖，根據(jù)題意知，xA≤2π0)，f()＋f()＝0，且f(x)在區(qū)間(，)上是減少的，則ω＝________.
解
42、析：因為f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin(ωx＋)，
由＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ，k∈Z，
得＋≤x≤＋，因為f(x)在區(qū)間(，)上遞減，所以(，)?[＋，＋]，從而有，
解得12k＋1≤ω≤，k∈Z，
所以1≤ω≤，因為f()＋f()＝0，
所以x＝＝為f(x)＝2sin(ωx＋)的一個對稱中心的橫坐標，
所以ω＋＝kπ(k∈Z)，ω＝3k－1，k∈Z，
又1≤ω≤，所以ω＝2.
答案：2
4．(2020·江贛十四校第二次聯(lián)考)如果圓x2＋(y－1)2＝m2至少覆蓋函數(shù)f(x)＝2sin2－ cos(m>0)的一個最大值點和一個最小值點，則m的取值范圍是__
43、______．
解析：化簡f(x)＝2sin2－cos得f(x)＝2sin＋1，所以，函數(shù)f(x)的圖象靠近圓心(0，1)的最大值點為，最小值點為，
所以只需解得m≥.
答案：
5．已知函數(shù)f(x)＝2sin2－cos 2x－1，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若h(x)＝f(x＋t)的圖象關(guān)于點對稱，且t∈(0，π)，求t值；
(3)當x∈時，不等式|f(x)－m|<3恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
解：(1)因為f(x)＝－cos－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x
＝2
＝2sin(2x－)．
故f(x)的最小正周期為T＝＝π.
(2)由(
44、1)知h(x)＝2sin.
令2×＋2t－＝kπ(k∈Z)，
得t＝＋(k∈Z)，
又t∈(0，π)，故t＝或.
(3)當x∈時，2x－∈，
所以f(x)∈[1，2]．
又|f(x)－m|<3，
即f(x)－30，函數(shù)f(x)＝－2asin(2x＋)＋2a＋b，當x∈[0，]時，－5≤f(x)≤1.
(1)求常數(shù)a，b的值；
(2)設(shè)g(x)＝f(x＋)且lg g(x)>0，求g(x)的單調(diào)區(qū)間．
解：(1)因為x∈[0，]，
所以2x＋∈[，]，
所以sin(
45、2x＋)∈[－，1]，
所以－2asin(2x＋)∈[－2a，a]，
所以f(x)∈[b，3a＋b]，又因為－5≤f(x)≤1，
所以b＝－5，3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.
(2)由(1)得f(x)＝－4sin(2x＋)－1，
g(x)＝f(x＋)＝－4sin(2x＋)－1
＝4sin(2x＋)－1，
又由lg g(x)>0，得g(x)>1，
所以4sin(2x＋)－1>1，
所以sin(2x＋)>，
所以2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，
其中當2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z時，
g(x)是增加的，即kπ
2021版高考數(shù)學一輪復(fù)習 第四章 三角函數(shù)、解三角形 第4講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)教學案 理 北師大版
