2021高考數(shù)學一輪復習 第2章 函數(shù) 第7節(jié) 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)教學案 理 北師大版

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1、第七節(jié)　對數(shù)與對數(shù)函數(shù) [最新考綱]　1.理解對數(shù)的概念及其運算性質，知道用換底公式將一般對數(shù)轉化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；了解對數(shù)在簡化運算中的作用.2.理解對數(shù)函數(shù)的概念及其單調性，掌握對數(shù)函數(shù)圖像通過的特殊點，會畫底數(shù)為2,10，的對數(shù)函數(shù)的圖像.3.體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.4.了解指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)互為反函數(shù)． 1．對數(shù)的概念 如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)． 2．對數(shù)的性質、換底公式與運算性質 (1)對數(shù)的性質： ①

2、alogaN＝N；②logaab＝b(a＞0，且a≠1)． (2)換底公式： logab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0)． (3)對數(shù)的運算性質： 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么： ①loga(M·N)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)． 3．對數(shù)函數(shù)的定義、圖像與性質 定義 函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù) 圖像 a＞1 0＜a＜1 定義 函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù) 性質 定義域：(0，＋∞) 值域：R 當x＝1時，y＝0

3、，即過定點(1,0) 當0＜x＜1時，y＜0； 當x＞1時，y＞0 當0＜x＜1時，y＞0； 當x＞1時，y＜0 在(0，＋∞)上為增函數(shù) 在(0，＋∞)上為減函數(shù) 4．反函數(shù) 指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖像關于直線y＝x對稱． 1．換底公式的兩個重要結論 (1)loga b＝；(2)logambn＝loga b. 其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m，n∈R，m≠0. 2．對數(shù)函數(shù)的圖像與底數(shù)大小的比較 如圖，作直線y＝1，則該直線與四個函數(shù)圖像交點的橫坐標為相應的底數(shù)，故0＜c＜d＜1＜a＜

4、b.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內從左到右底數(shù)逐漸增大． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)函數(shù)y＝log2(x＋1)是對數(shù)函數(shù)．(　　) (2)log2x2＝2log2x.(　　) (3)函數(shù)y＝ln與y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定義域相同．(　　) (4)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)的圖像過定點(1,0)，且過點(a,1)，，函數(shù)圖像不在第二、三象限．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 二、教材改編 1．(log29)·(log34)＝(　　) A．　　　　 B．　　　　 C．2　　　　 D．

5、4 D　[(log29)·(log34)＝×＝×＝4.故選D.] 2．已知a＝2，b＝log2，c＝log，則(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b D　[因為0＜a＜1，b＜0，c＝log＝log2 3＞1.所以c＞a＞b.故選D.] 3．函數(shù)y＝的定義域是________． [由log(2x－1)≥0， 得0＜2x－1≤1. ∴＜x≤1. ∴函數(shù)y＝的 定義域是.] 4．函數(shù)y＝loga(4－x)＋1(a＞0，且a≠1)的圖像恒過點________． (3,1)　[當4－x＝1即x＝3時，y＝loga1＋1＝1. 所

6、以函數(shù)的圖像恒過點(3,1)．] 考點1　對數(shù)式的化簡與求值 　對數(shù)運算的一般思路 (1)拆：首先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形，化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后利用對數(shù)運算性質化簡合并． (2)合：將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運算，然后逆用對數(shù)的運算性質，轉化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運算． 　1.設2a＝5b＝m，且＋＝2，則m等于(　　) A．　　　　　　　 B．10 C．20 D．100 A　[由已知，得a＝log2m，b＝log5m， 則＋＝＋ ＝logm2＋logm5＝logm10＝2. 解得m＝.] 2．計算：÷10

7、0＝________. －20　[原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝lg×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.] 3．計算：＝________. 1　[原式＝ ＝ ＝＝＝＝1.] 4．已知log23＝a,3b＝7，則log2的值為________． 　[由題意3b＝7，所以log3 7＝b. 所以log 2＝log＝＝＝＝.] 　對數(shù)運算法則是在化為同底的情況下進行的，因此經常會用到換底公式及其推論．在對含有字母的對數(shù)式進行化簡時，必須保證恒等變形． 考點2　對數(shù)函數(shù)的圖像及應用 　對數(shù)函數(shù)圖像的識別及應用方法 (1)在識別函數(shù)圖像時，要善于利用

8、已知函數(shù)的性質、函數(shù)圖像上的特殊點(與坐標軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項． (2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉化為相應的函數(shù)圖像問題，利用數(shù)形結合法求解． 　(1)(2019·浙江高考)在同一直角坐標系中，函數(shù)y＝，y＝loga(a＞0，且a≠1)的圖像可能是(　　) A　　　　　　 　B　　　　　 C　　　　　 　　D (2)當0＜x≤時，4x＜logax，則a的取值范圍是(　　) A. B. C.(1，) D.(，2) (1)D　(2)B　[(1)對于函數(shù)y＝loga，當y＝0時，有x＋＝1，得x＝，即y＝loga的圖像恒過定點，排除選項A、C；函數(shù)

9、y＝與y＝loga在各自定義域上單調性相反，排除選項B，故選D. (2)構造函數(shù)f(x)＝4x和g(x)＝logax，當a＞1時不滿足條件，當0＜a＜1時，畫出兩個函數(shù)在上的圖像，可知f＜g，即2＜loga， 則a＞， 所以a的取值范圍為.] [母題探究] 1．(變條件)若本例(2)變?yōu)椋喝舨坏仁絰2－logax＜0對x∈恒成立，求實數(shù)a的取值范圍． [解]　由x2－logax＜0得x2＜logax，設f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，要使x∈時，不等式x2＜logax恒成立，只需f1(x)＝x2在上的圖像在f2(x)＝logax圖像的下方即可．當a＞1時，顯然不成立；

10、當0＜a＜1時，如圖所示． 要使x2＜logax在x∈上恒成立，需f1≤ f2，所以有2≤loga，解得a≥，所以≤a＜1. 即實數(shù)a的取值范圍是. 2．(變條件)若本例(2)變?yōu)椋寒?＜x≤時，＜logax，求實數(shù)a的取值范圍． [解]　若＜logax在x∈成立，則0＜a＜1，且y＝的圖像在y＝logax圖像的下方，如圖所示， 由圖像知＜loga，所以解得＜a＜1. 即實數(shù)a的取值范圍是. 　1．(2019·合肥模擬)函數(shù)y＝ln(2－|x|)的大致圖像為(　　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　　　D A　[令f(x)＝ln(2－|x|)，易知函數(shù)f

11、(x)的定義域為{x|－2＜x＜2}，且f(－x)＝ln(2－|－x|)＝ln(2－|x|)＝f(x)， 所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，排除選項C，D. 當x＝時，f＝ln ＜0， 排除選項B，故選A.] 2．已知函數(shù)y＝loga(x＋c)(a，c為常數(shù)，其中a＞0，a≠1)的圖像如圖，則下列結論成立的是(　　) A．a＞1，c＞1 B．a＞1,0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1,0＜c＜1 D　[由對數(shù)函數(shù)的圖像和性質及函數(shù)圖像的平移變換知0＜a＜1,0＜c＜1.] 3．設方程10x＝|lg(－x)|的兩個根分別為x1，x2，則(　　) A．x1x2＜0 B

12、．x1x2＝0 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1 D　[作出y＝10x與y＝|lg(－x)|的大致圖像，如圖． 顯然x1＜0，x2＜0. 不妨令x1＜x2，則x1＜－1＜x2＜0， 所以10x1＝lg(－x1)，10x2＝－lg(－x2)， 此時10x1＜10x2，即lg(－x1)＜－lg(－x2)， 由此得lg(x1x2)＜0，所以0＜x1x2＜1，故選D.] 考點3　對數(shù)函數(shù)的性質及應用 　解與對數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)性質問題的3個關注點 (1)定義域，所有問題都必須在定義域內討論． (2)底數(shù)與1的大小關系． (3)復合函數(shù)的構成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復合而

13、成的． 　比較大小 　(1)(2019·天津高考)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，則a，b，c的大小關系為(　　) A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b (2)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，則a，b，c的大小關系為(　　) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b (1)A　(2)D　[(1)因為a＝log52＜log5＝，b＝log0.50.2＞log0.50.5＝1，c＝0.50.2＝＞，0.50.2＜1，所以a＜c＜b，故選A. (2)因為a＝log2e＞1，b＝ln 2∈(0

14、,1)，c＝log＝log23＞log2e＞1，所以c＞a＞b，故選D.] 　對數(shù)值大小比較的主要方法 (1)化同底數(shù)后利用函數(shù)的單調性． (2)化同真數(shù)后利用圖像比較． (3)借用中間量(0或1等)進行估值比較． 　解簡單對數(shù)不等式 　(1)若loga＜1(a＞0且a≠1)，則實數(shù)a的取值范圍是________． (2)若loga(a2＋1)＜loga2a＜0，則a的取值范圍是________． (1)∪(1，＋∞)　(2)　[(1)當0＜a＜1時，loga＜logaa＝1，∴0＜a＜； 當a＞1時，loga＜logaa＝1，∴a＞1. ∴實數(shù)a的取值范圍是∪(1，＋∞)

15、． (2)由題意得a＞0且a≠1，故必有a2＋1＞2a， 又loga(a2＋1)＜loga2a＜0，所以0＜a＜1， 同時2a＞1，所以a＞.綜上，a∈.] 　對于形如logaf(x)＞b的不等式，一般轉化為logaf(x)＞logaab，再根據底數(shù)的范圍轉化為f(x)＞ab或0＜f(x)＜ab.而對于形如logaf(x)＞logbg(x)的不等式，一般要轉化為同底的不等式來解． 　和對數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù) 　解決與對數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)的單調性問題的步驟 　已知函數(shù)f(x)＝loga(3－ax)． (1)當x∈[0,2]時，函數(shù)f(x)恒有意義，求實數(shù)a的取值范圍

16、； (2)是否存在這樣的實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由． [解]　(1)因為a＞0且a≠1，設t(x)＝3－ax， 則t(x)＝3－ax為減函數(shù)， x∈[0,2]時，t(x)的最小值為3－2a， 當x∈[0,2]時，f(x)恒有意義，即x∈[0,2]時，3－ax＞0恒成立． 所以3－2a＞0.所以a＜. 又a＞0且a≠1，所以a∈(0,1)∪. (2)t(x)＝3－ax，因為a＞0， 所以函數(shù)t(x)為減函數(shù)． 因為f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù)， 所以y＝logat為增函數(shù)， 所以

17、a＞1，當x∈[1,2]時，t(x)最小值為3－2a，f(x)最大值為f(1)＝loga(3－a)， 所以即 故不存在這樣的實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù)，并且最大值為1. 　利用對數(shù)函數(shù)的性質，求與對數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)值域、最值和復合函數(shù)的單調性問題，必須弄清三方面的問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內討論；二是底數(shù)與1的大小關系；三是復合函數(shù)的構成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復合而成的，另外，解題時要注意數(shù)形結合、分類討論、轉化與化歸思想的使用． 　1.已知函數(shù)f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)單調遞減，則a的取值范圍為(　　) A．(

18、－∞，4] B．[4，＋∞) C．[－4,4] D．(－4,4] D　[令g(x)＝x2－ax＋3a， 因為f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)單調遞減， 所以函數(shù)g(x)在區(qū)間[2，＋∞)內單調遞增，且恒大于0，所以a≤2且g(2)＞0， 所以a≤4且4＋a＞0，所以－4＜a≤4.故選D.] 2．函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)在[2,4]上的最大值與最小值的差是1，則a＝________. 2或　[分兩種情況討論：①當a＞1時，有l(wèi)oga4－loga2＝1，解得a＝2；②當0＜a＜1時，有l(wèi)oga2－loga4＝1，解得a＝. 所以a＝2或.] 3．設函數(shù)f(x)＝若f(a)＞f(－a)，則實數(shù)a的取值范圍是________． (－1,0)∪(1，＋∞)　[由題意得 或 解得a＞1或－1＜a＜0.] 10