2019年高考數(shù)學一輪復習 第2章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第9節(jié) 函數(shù)模型及其應用學案 理 北師大版

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1、 第九節(jié)　函數(shù)模型及其應用 [考綱傳真]　(教師用書獨具)1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長特征，結合具體實例體會直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義.2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應用． (對應學生用書第29頁) [基礎知識填充] 1．常見的幾種函數(shù)模型 (1)一次函數(shù)模型：y＝kx＋b(k≠0)． (2)反比例函數(shù)模型：y＝＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)． (3)二次函數(shù)模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)． (4)指數(shù)函數(shù)模型：y＝a·bx＋c(a，b，c為常數(shù)，

2、b＞0，b≠1，a≠0)． (5)對數(shù)函數(shù)模型：y＝mlogax＋n(m，n，a為常數(shù)，a＞0，a≠1，m≠0)． (6)冪函數(shù)模型：y＝a·xn＋b(a≠0)． 2．三種函數(shù)模型之間增長速度的比較 函數(shù) 性質　　 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0) 在(0，＋∞)上的增減性 單調遞增 單調遞增 單調遞增 增長速度 越來越快 越來越慢 因n而異 圖像的變化 隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行 隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行 隨n值變化而各有不同 值的比較 存在一個x0，當x＞x0時，有l(wèi)ogax＜xn＜ax 3.解函數(shù)應用

3、問題的步驟(四步八字) (1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系，初步選擇數(shù)學模型； (2)建模：將自然語言轉化為數(shù)學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型； (3)解模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結論； (4)還原：將數(shù)學問題還原為實際問題． 以上過程用框圖2-9-1表示如下： 圖2-9-1 [知識拓展]　“對勾”函數(shù) 形如f(x)＝x＋(a＞0)的函數(shù)模型稱為“對勾”函數(shù)模型： (1)該函數(shù)在(－∞，－]和[，＋∞)上單調遞增，在[－，0)和(0，]上單調遞減． (2)當x＞0時，x＝時取最小值2， 當x＜0時，x＝－時取最大值－2

4、. [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)函數(shù)y＝2x的函數(shù)值比y＝x2的函數(shù)值大．(　　) (2)冪函數(shù)增長比直線增長更快．(　　) (3)不存在x0，使a＜x＜logax0.(　　) (4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當x∈(4，＋∞)時，恒有h(x)＜f(x)＜g(x)．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)已知某種動物繁殖量y(只)與時間x(年)的關系為y＝alog3(x＋1)，設這種動物第2年有100只，到第8年它們發(fā)展到(　　) A．100只　

5、　　　　　 B．200只 C．300只 D．400只 B　[由題意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)，當x＝8時，y＝100log3 9＝200.] 3．某商品價格前兩年每年遞增20%，后兩年每年遞減20%，則四年后的價格與原來價格比較，變化的情況是(　　) A．減少7.84%　　　 B．增加7.84% C．減少9.5% D．不增不減 A　[設某商品原來價格為a，依題意得： a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.921 6a， (0.921 6－1)a＝－0.078 4a， 所以四年后的價格與原來價格比較，減

6、少7.84%.] 4．若一根蠟燭長20 cm，點燃后每小時燃燒5 cm，則燃燒剩下的高度h(cm)與燃燒時間t(h)的函數(shù)關系用圖像表示為(　　) B　[由題意h＝20－5t(0≤t≤4)，其圖像為B．] 5．某市生產總值連續(xù)兩年持續(xù)增加．第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，則該市這兩年生產總值的年平均增長率為________． －1　[設年平均增長率為x，則(1＋x)2＝(1＋p)·(1＋q)， 所以x＝－1.] (對應學生用書第30頁) 用函數(shù)圖像刻畫變化過程 　(1)某工廠6年來生產某種產品的情況是：前3年年產量的增長速度越來越快，后3年年產量保持不變

7、，則該廠6年來這種產品的總產量C與時間t(年)的函數(shù)關系圖像正確的是(　　) (2)如圖2-9-2所示的四個容器高度都相同，將水從容器頂部一個孔中以相同的速度注入其中，注滿為止．用容器下面所對的圖像表示該容器中水面的高度h和時間t之間的關系，其中正確的有(　　) 圖2-9-2 A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 (1)A　(2)C　[(1)前3年年產量的增長速度越來越快，說明呈高速增長，只有A、C圖像符合要求，而后3年年產量保持不變，產品的總產量應呈直線上升，故選A． (2)將水從容器頂部一個孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和時間t之間的關系可以

8、從高度隨時間的增長速度上反映出來，(1)中的增長應該是勻速的，故下面的圖像不正確；(2)中的增長速度是越來越慢的，正確；(3)中的增長速度是先快后慢再快，正確；(4)中的增長速度是先慢后快再慢，也正確，故(2)(3)(4)正確．選C．] [規(guī)律方法]　判斷函數(shù)圖像與實際問題中兩變量變化過程相吻合的兩種方法 (1)構建函數(shù)模型法：當根據(jù)題意易構建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結合模型選圖像. (2)驗證法：當根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時，則根據(jù)實際問題中兩變量的變化特點，結合圖像的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案. [跟蹤訓練]　設甲、乙兩地的距離

9、為a(a>0)，小王騎自行車以勻速從甲地到乙地用了20分鐘，在乙地休息10分鐘后，他又以勻速從乙地返回到甲地用了30分鐘，則小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程y和其所用的時間x的函數(shù)圖像為(　　) 【導學號：79140066】 D　[y為“小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程”而不是位移，故排除A，C．又因為小王在乙地休息10分鐘，故排除B，故選D．] 應用所給函數(shù)模型解決實際問題 　(1)某航空公司規(guī)定，乘飛機所攜帶行李的重量(kg)與其運費(元)由如圖2-9-3所示的一次函數(shù)圖像確定，那么乘客可免費攜帶行李的重量最大為________ kg. 圖2-9-3 (2

10、)一個容器裝有細沙a cm3，細沙從容器底下一個細微的小孔慢慢地勻速漏出，t min后剩余的細沙量為y＝ae－b t(cm3)，經(jīng)過8 min后發(fā)現(xiàn)容器內還有一半的沙子，則再經(jīng)過________ min，容器中的沙子只有開始時的八分之一． (1)19　(2)16　[(1)由圖像可求得一次函數(shù)的解析式為y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19. (2)當t＝0時，y＝a，當t＝8時，y＝ae－8b＝a， 所以e－8b＝，容器中的沙子只有開始時的八分之一時，即y＝ae－b t＝a， e－b t＝＝(e－8 b)3＝e－24b，則t＝24，所以再經(jīng)過16 min.] [規(guī)律方

11、法]　求解所給函數(shù)模型解決實際問題的關注點 (1)認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù). (2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù). (3)利用該模型求解實際問題. 易錯警示：解決實際問題時要注意自變量的取值范圍. [跟蹤訓練]　(2017·西城區(qū)二模)某市家庭煤氣的使用量x(m3)和煤氣費f(x)(元)滿足關系f(x)＝已知某家庭2017年前三個月的煤氣費如下表： 【導學號：79140067】 月份 用氣量 煤氣費 一月份 4 m3 4元 二月份 25 m3 14元 三月份 35 m3 19元 若四月份該家庭使用了20 m3的煤氣，則其煤氣

12、費為(　　) A．11.5元 B．11元 C．10.5元 D．10元 A　[根據(jù)題意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝，C＝4，所以f(x)＝所以f(20)＝4＋(20－5)＝11.5，故選A．] 構建函數(shù)模型解決實際問題 　(2017·山西孝義?？?為了迎接世博會，某旅游區(qū)提倡低碳生活，在景區(qū)提供自行車出租．該景區(qū)有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費用是每日115元．根據(jù)經(jīng)驗，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超過6元，則每超出1元，租不出的自行車就增加3輛

13、．為了便于結算，每輛自行車的日租金x(元)只取整數(shù)，并且要求出租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費用，用y(元)表示出租自行車的日凈收入(即一日中出租自行車的總收入減去管理費用后的所得)． (1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式及其定義域； (2)試問當每輛自行車的日租金定為多少元時，才能使一日的凈收入最多？ [解]　(1)當x≤6時，y＝50x－115. 令50x－115＞0，解得x＞2.3. ∵x∈N＋，∴3≤x≤6，x∈N＋. 當x＞6時，y＝[50－3(x－6)]x－115. 令[50－3(x－6)]x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0. 又x∈N＋，∴6＜x≤

14、20(x∈N＋)， 故y＝ (2)對于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈N＋)，顯然當x＝6時，ymax＝185. 對于y＝－3x2＋68x－115＝－3＋(6＜x≤20，x∈N＋)， 當x＝11時，ymax＝270.又∵270＞185， ∴當每輛自行車的日租金定為11元時，才能使一日的凈收入最多． [規(guī)律方法]　構建函數(shù)模型解決實際問題的常見類型與求解方法 (1)構建二次函數(shù)模型，常用配方法、數(shù)形結合、分類討論思想求解. (2)構建分段函數(shù)模型，應用分段函數(shù)分段求解的方法. (3)構建f(x)＝x＋(a＞0)模型，常用基本不等式、導數(shù)等知識求解. 易錯警示：求解過程中不

15、要忽視實際問題是對自變量的限制. [跟蹤訓練]　(2016·四川高考)某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入，若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　　) A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年 B　[設2015年后的第n年該公司投入的研發(fā)資金開始超過200萬元．由130(1＋12%)n>200，得1.12n>，兩邊取常用對數(shù)，得n>≈＝，∴n≥4，∴從2019年開始，該公司投入的研發(fā)資金開始超過200萬元．] 6