2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第1講 函數(shù)及其表示

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1、 2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第1講 函數(shù)及其表示 最新考綱　1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡單函數(shù)的定義域和值域，了解映射的概念；2.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)；3.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單地應(yīng)用． 知 識(shí) 梳 理 1．函數(shù)的基本概念 (1)函數(shù)的定義 一般地，設(shè)A，B是非空數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)；那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A. (2)函數(shù)的定義域、值域 在函

2、數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域． (3)函數(shù)的三要素是：定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系． (4)表示函數(shù)的常用方法有：解析法、列表法和圖象法． (5)分段函數(shù) 在函數(shù)的定義域內(nèi)，對(duì)于自變量x的不同取值區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)法則，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)． 分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集． 2．函數(shù)定義域的求法 類型 x滿足的條件 ，n∈N* f(x)≥0 與[f(x)]0 f(x)≠0 logaf(x) f(x)＞0

3、 四則運(yùn)算組成的函數(shù) 各個(gè)函數(shù)定義域的交集 實(shí)際問題 使實(shí)際問題有意義 診 斷 自 測 1．判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)　精彩PPT展示 (1)f(x)＝與g(x)＝x是同一個(gè)函數(shù)．(×) (2)若兩個(gè)函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個(gè)函數(shù)相等．(×) (3)函數(shù)是特殊的映射．(√) (4)分段函數(shù)是由兩個(gè)或幾個(gè)函數(shù)組成的．(×) 2．下列函數(shù)中，不滿足f(2x)＝2f(x)的是(　　) A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x| C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x 解析　將f(2x)表示出來，看與2f(x)是否相等． 對(duì)于A，f(2x)＝|2x|

4、＝2|x|＝2f(x)； 對(duì)于B，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)； 對(duì)于C，f(2x)＝2x＋1≠2f(x)； 對(duì)于D，f(2x)＝－2x＝2f(x)， 故只有C不滿足f(2x)＝2f(x)，所以選C. 答案　C 3．(xx·山東卷)函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)?　　) A．(0,2) B．(0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 解析　由題意知解得x＞2，故選C. 答案　C 4．設(shè)f(x)＝g(x)＝則f(g(π))的值為(　　) A．1 B．0 C．－1 D．π 解析　g(π)＝0，f(g(π))＝f(0)＝0. 答案　B

5、 5．已知f(2x＋1)＝3x－4，f(a)＝4，則a＝________. 解析　令2x＋1＝a，則x＝， 則f(2x＋1)＝3x－4可化為f(a)＝－4， 因?yàn)閒(a)＝4，所以－4＝4，解得a＝. 答案　 考點(diǎn)一　求函數(shù)的定義域 例1 (1)(xx·杭州模擬)函數(shù)f(x)＝＋的定義域?yàn)?　　) A．(－3,0] B．(－3,1] C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1] (2)函數(shù)f(x)＝的定義域是(　　) A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞) C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞) 解析　(1)由題意知解得

6、－3＜x≤0，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－3,0]，故選A. (2)要使函數(shù)f(x)＝有意義，需滿足x＋1＞0且x－1≠0，得x＞－1且x≠1，故選C. 答案　(1)A　(2)C 規(guī)律方法　(1)給出解析式的函數(shù)的定義域是使解析式中各個(gè)部分都有意義的自變量的取值集合 ，在求解時(shí)，要把各個(gè)部分自變量的限制條件列成一個(gè)不等式(組)，這個(gè)不等式(組)的解集就是這個(gè)函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域要寫成集合或者區(qū)間的形式．(2)對(duì)于實(shí)際問題中求得的函數(shù)解析式，在確定定義域時(shí)，除了要考慮函數(shù)解析式有意義外，還要使實(shí)際問題有意義． 【訓(xùn)練1】 (1)函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)?　　) A．(－∞，2)

7、 B．(2，＋∞) C．(2,3)∪(3，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞) (2)函數(shù)f(x)＝ln＋的定義域?yàn)開_______． 解析　(1)由題意知解得所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?2,3)∪(3，＋∞)． (2)由條件知??x∈(0,1]． 答案　(1)C　(2)(0,1] 考點(diǎn)二　求函數(shù)的解析式 例2 (1)如果f＝，則當(dāng)x≠0且x≠1時(shí)，f(x)等于(　　) A. B． C. D．－1 (2)已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，則f(x)＝________. (3)已知f(x)滿足2f(x)＋f＝3x，則f(x)＝__

8、______. 解析　(1)令t＝，得x＝，∴f(t)＝＝， ∴f(x)＝. (2)設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)， 則3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b ＝ax＋5a＋b， 即ax＋5a＋b＝2x＋17不論x為何值都成立， ∴解得 ∴f(x)＝2x＋7. (3)∵2f(x)＋f＝3x， ① 把①中的x換成，得 2f＋f(x)＝. ② ①×2－②得3f(x)＝6x－， ∴f(x)＝2x－(x≠0)． 答案　(1)B　(2)2x＋7　(3)2x－(x≠0) 規(guī)律方法　求函數(shù)解析式的常用方法：(1)待定系數(shù)法，若已知函數(shù)的類型(

9、如一次函數(shù)、二次函數(shù))，可用待定系數(shù)法；(2)換元法，已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍；(3)配湊法，由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(4)方程法，已知關(guān)于f(x)與f或f(－x)的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)． 【訓(xùn)練2】 (1)已知f＝x2＋，則f(x)＝________. (2)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，且f(x)＝2f·－1，則f(x)＝________. 解析　(1)∵f＝x2＋＝2－2，

10、 且x＋≥2或x＋≤－2， ∴f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)． (2)在f(x)＝2f－1中，用代替x， 得f＝2f(x)－1， 將f＝－1代入f(x)＝2f－1中， 可求得f(x)＝＋. 答案　(1)x2－2(x≥2或x≤－2)　(2)＋ 考點(diǎn)三　分段函數(shù) 例3 (1)(xx·山西四校聯(lián)考)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝則f(3)的值為(　　) A．1 B．2 C．－2 D．－3 (2)(xx·新課標(biāo)全國Ⅰ卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝則使得f(x)≤2成立的x的取值范圍是________． 解析　(1)f(3)＝f(2)－f(1)＝f(1)－f(0)－f

11、(1)＝－f(0)＝－log28＝－3. (2)當(dāng)x＜1時(shí)，ex－1≤2成立，解得x≤1＋ln 2， ∴x<1. 當(dāng)x≥1時(shí)，≤2，解得x≤8，∴1≤x≤8. 綜上可知x∈(－∞，8]． 答案　(1)D　(2)(－∞，8] 規(guī)律方法　(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．(2)求某條件下自變量的值，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記代入檢驗(yàn)，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍． 【訓(xùn)練3】 (xx·浙江卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(f

12、(a))＝2，則a＝________. 解析　當(dāng)a＞0時(shí)，f(a)＝－a2＜0，f(f(a))＝a4－2a2＋2＝2，解得a＝ . 當(dāng)a≤0時(shí)，f(a)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1＞0， f(f(a))＝－(a2＋2a＋2)2＝2，此方程無解． 答案　 微型專題　抽象函數(shù)的定義域問題 抽象函數(shù)是指沒有明確給出具體解析式的函數(shù)，其有關(guān)問題對(duì)同學(xué)們來說具有一定難度，特別是求其定義域時(shí)，許多同學(xué)解答起來總感覺棘手，在高考中一般不會(huì)單獨(dú)考查，但從提升能力方面考慮，還應(yīng)有所涉及． 例4】 若函數(shù)y＝f(x)的定義域是[1,2 015]，則函數(shù)g(x)＝的定義域是(　　) A．[0

13、,2 014] B．[0,1)∪(1,2 014] C．(1,2 015] D．[－1,1)∪(1,2 014] 點(diǎn)撥　先利用換元法求出函數(shù)f(x＋1)的定義域，則函數(shù)g(x)的定義域?yàn)閒(x＋1)的定義域與不等式x－1≠0的解集的交集． 解析　要使函數(shù)f(x＋1)有意義，則有1≤x＋1≤2 015，解得0≤x≤2 014，故函數(shù)f(x＋1)的定義域?yàn)閇0,2 014]． 所以使函數(shù)g(x) 有意義的條件是解得0≤x＜1或1＜x≤2 014. 故函數(shù)g(x)的定義域?yàn)閇0,1)∪(1,2 014]，故選B. 答案　B 點(diǎn)評(píng)　函數(shù)的定義域是函數(shù)解析式中自變量的取值范圍，即f(x)與

14、f(g(x))的定義域都是自變量x的取值范圍，常見有如下兩種類型：(1)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，則函數(shù)f(g(x))的定義域就是不等式g(x)∈D的解集；(2)已知函數(shù)f(g(x))的定義域?yàn)镈，則函數(shù)f(x)的定義域就是函數(shù)y＝g(x)(x∈D)的值域． [思想方法] 1．在判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)時(shí)，要緊扣兩點(diǎn)：一是定義域是否相同；二是對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同． 2．函數(shù)的定義域是函數(shù)的靈魂，它決定了函數(shù)的值域，并且它是研究函數(shù)性質(zhì)和圖象的基礎(chǔ)．因此，我們一定要樹立函數(shù)定義域優(yōu)先意識(shí)． 3．函數(shù)解析式的幾種常用求法：待定系數(shù)法、換元法、配湊法、方程法． [易錯(cuò)防范] 1．求

15、函數(shù)的解析式時(shí)要充分根據(jù)題目的類型選取相應(yīng)的方法，同時(shí)要注意函數(shù)的定義域，如已知f()＝x＋1，求函數(shù)f(x)的解析式時(shí)，通過換元的方法可得f(x)＝x2＋1，這個(gè)函數(shù)的定義域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)． 2．求分段函數(shù)應(yīng)注意的問題：在求分段函數(shù)的值f(x0)時(shí)，首先要判斷x0屬于定義域的哪個(gè)子集，然后再代入相應(yīng)的關(guān)系式；分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集. 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40分鐘) 一、選擇題 1．(xx·廣州調(diào)研)若函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镸＝{x|－2≤x≤2}，值域?yàn)镹＝{y|0≤y≤2}，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是

16、(　　) 解析　可以根據(jù)函數(shù)的概念進(jìn)行排除，使用篩選法得到答案． 答案　B 2．(xx·鄭州模擬)函數(shù)f(x)＝＋lg(3x＋1)的定義域是(　　) A. B． C. D． 解析　由得所以定義域?yàn)? 答案　A 3．設(shè)函數(shù)f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，則g(x)的表達(dá)式是(　　) A．2x＋1 B．2x－1 C．2x－3 D．2x＋7 解析　∵g(x＋2)＝f(x)＝2x＋3＝2(x＋2)－1， ∴g(x)＝2x－1. 答案　B 4．(xx·合肥檢測)已知函數(shù)f(x)＝則f(2 014)＝(　　) A．2 014 B． C．2 015 D

17、． 解析　f(2 014)＝f(2 013)＋1＝…＝f(0)＋2 014＝f(－1)＋2 015＝2－1＋2 015＝. 答案　D 5．某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會(huì)，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時(shí)再增選一名代表．那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y＝[x]([x]表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 解析　法一　取特殊值法，若x＝56，則y＝5，排除C，D； 若x＝57，則y＝6，排除A，選B. 法二　設(shè)x＝10m＋α(0≤α≤9，m，α∈N)，當(dāng)0≤α≤6時(shí)，＝＝m＝，

18、當(dāng)6<α≤9時(shí)，＝＝m＋1＝＋1，所以選B. 答案　B 二、填空題 6．下列集合A到集合B的對(duì)應(yīng)f中： ①A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的數(shù)平方； ②A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的數(shù)開方； ③A＝Z，B＝Q，f：A中的數(shù)取倒數(shù)； ④A＝R，B＝{正實(shí)數(shù)}，f：A中的數(shù)取絕對(duì)值， 是從集合A到集合B的函數(shù)的為________． 解析　其中②，由于1的開方數(shù)不唯一，因此f不是A到B的函數(shù)；其中③，A中的元素0在B中沒有對(duì)應(yīng)元素；其中④，A中的元素0在B中沒有對(duì)應(yīng)元素． 答案?、? 7．已知f＝，則f(x)的解析式為________． 解

19、析　令t＝，由此得x＝(t≠－1)， 所以f(t)＝＝， 從而f(x)的解析式為f(x)＝(x≠－1)． 答案　f(x)＝(x≠－1) 8．(xx·武漢一模)若函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)镽，則a的取值范圍是________． 解析　由題意知2x2＋2ax－a－1≥0恒成立． ∴x2＋2ax－a≥0恒成立， ∴Δ＝4a2＋4a≤0，∴－1≤a≤0. 答案　[－1,0] 三、解答題 9．已知f(x)是二次函數(shù)，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1.求函數(shù)f(x)的解析式． 解　設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝0， ∴c＝0，即f(x)＝ax2＋

20、bx.又f(x＋1)＝f(x)＋x＋1. ∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋(b＋1)x＋1. ∴(2a＋b)x＋a＋b＝(b＋1)x＋1， ∴解得∴f(x)＝x2＋x. 10.根據(jù)如圖所示的函數(shù)y＝f(x)的圖象，寫出函數(shù)的解析式． 解　當(dāng)－3≤x＜－1時(shí)，函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條線段(右端點(diǎn)除外)，設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，將點(diǎn)(－3,1)，(－1，－2)代入，可得f(x)＝－x－； 當(dāng)－1≤x＜1時(shí)，同理可設(shè)f(x)＝cx＋d(c≠0)， 將點(diǎn)(－1，－2)，(1,1)代入，可得f(x)＝x－； 當(dāng)1≤x＜2時(shí)，f(x)＝1. 所以f(x)＝ 能力

21、提升題組 (建議用時(shí)：25分鐘) 11．設(shè)f(x)＝lg，則f＋f的定義域?yàn)?　　) A．(－4,0)∪(0,4) B．(－4，－1)∪(1,4) C．(－2，－1)∪(1,2) D．(－4，－2)∪(2,4) 解析　∵＞0，∴－2＜x＜2， ∴－2＜＜2且－2＜＜2， 取x＝1，則＝2不合題意(舍去)， 故排除A，取x＝2，滿足題意，排除C，D，故選B. 答案　B 12．(xx·包頭測試與評(píng)估)設(shè)函數(shù)f(x)＝則 滿足f(x)≤3的x的取值范圍是(　　) A．[0，＋∞) B．[－1,3] C．[0,3] D．[1，＋∞) 解析　依題意，不等式f(x)≤3等價(jià)

22、于①或 ②解①得0≤x≤1，解②得x＞1.因此，滿足f(x)≤3的x的取值范圍是[0,1]∪(1，＋∞)＝[0，＋∞)． 答案　A 13．(xx·杭州質(zhì)檢)函數(shù)f(x)＝ln的值域是________． 解析　依題意，因?yàn)?|x|＋1≥1，則0＜≤1， ln≤ln 1＝0，即函數(shù)的值域是(－∞，0]． 答案　(－∞，0] 14．某人開汽車沿一條直線以60 km/h的速度從A地到150 km遠(yuǎn)處的B地．在B地停留1 h后，再以50 km/h的速度返回A地，把汽車與A地的距離x(km)表示為時(shí)間t(h)(從A地出發(fā)開始)的函數(shù)，并畫出函數(shù)的圖象． 解　x＝ 其圖象如圖所示．